9027
.pdf
|
|
В |
качестве Г |
|
рассмотрим |
|
|
график |
функции |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y f (x) . |
|
|
|
Если |
для |
его |
|
|
наклонной |
асимптоты |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
l записать уравнение |
y kx d , то коэффициенты k и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
d можно найти по формулам |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
k |
|
|
lim |
|
f x |
, d |
|
lim |
f |
|
x |
|
|
kx . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Выразим |
|
|
|
|
теперь |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
из |
|
|
|
|
уравнения |
(2.2): |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
y |
|
|
x2 |
a2 и |
используем |
|
|
для полученных |
двух |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
функций эти формулы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
lim |
|
|
f |
x |
|
lim |
b |
|
1 |
a |
2 |
|
|
|
|
b |
; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
a |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
x |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
lim |
f x kx |
lim |
|
|
|
|
|
x2 a2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
b |
|
|
lim |
|
|
x2 a2 x |
x2 a2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a xx |
|
|
|
|
|
x2 a2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
b |
|
lim |
|
|
x2 a2 x2 |
|
b |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
0. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
x2 a2 |
x |
|
|
x |
|
|
|
|
x2 a2 x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
Следовательно, |
прямые |
|
|
y |
b |
x |
|
|
являются |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
наклонными асимптотами |
|
гиперболы |
при |
x и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
при |
|
|
x . |
|
Поэтому |
построение |
|
|
гиперболы |
по |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
каноническому |
|
уравнению |
|
(2.2) |
|
|
следует начинать |
с |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
изображения основного прямоугольника, продолжая диагонали которого получаем прямые с уравнениями
y |
b |
x . |
Обе |
бесконечные |
ветви |
рисуем |
|
||||||
|
a |
|
|
|
|
неограниченно приближающимися к ним (рис. 2.11).
Рис. 2.11
Фокусы находятся на расстоянии c от начала координат.
Гипербола с равными полуосями называется равносторонней, её каноническое уравнение имеет вид x2 y2 a2 . Основной прямоугольник равносторонней гиперболы становится квадратом, прямые y x и являются асимптотами, перпендикулярными друг к другу (рис. 2.12).
31
Рис. 2.12
Отношение расстояния между фокусами к расстоянию между вершинами гиперболы называется эксцентриситетом гиперболы и обозначается буквой :
ac . Для гиперболы 1, поскольку c a . Так как
|
2 |
|
c2 |
a2 b2 |
b 2 |
|
b 2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
, |
то |
1 |
|
|
и |
|
a |
2 |
a |
2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
a |
|
ba 2 1 .
Следовательно, как и для эллипса, эксцентриситет гиперболы определяется отношением её осей. Он характеризует форму её основного прямоугольника. Чем меньше эксцентриситет, тем меньше отношение b к a , то есть основной прямоугольник более вытянут в направлении действительной оси. Для равносторонней гиперболы
2 .
32
2.4. Ещё одна знаменитая кривая второго порядка – это парабола. Для её определения нужна прямая L на плоскости и не лежащая на прямой точка F . Множество всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки F (называемой фокусом) и данной прямой L (называемой директрисой), называется параболой. Расстояние от фокуса до директрисы параболы принято обозначать через p (рис. 2.13).
Величину p называют фокальным параметром параболы.
Рис. 2.13
Для получения уравнения параболы необходимо ввести систему координат на плоскости. Проведём ось абсцисс через фокус параболы перпендикулярно директрисе и будем считать её направленной от директрисы к фокусу; начало координат расположим посередине между фокусом и директрисой (рис. 2.14).
33
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Тогда фокус |
|
F |
приобретёт |
координаты |
|||||||||||||||||||||
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
;0 , |
|
а |
уравнение |
директрисы в |
этой |
системе |
||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
координат будет иметь вид |
x |
p |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Координаты произвольной точки |
M параболы |
||||||||||||||||||||||||
обозначим |
|
x , |
|
y |
|
и |
|
запишем |
|
расстояние |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p 2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
MF |
|
x |
|
|
|
y |
|
|
. |
|
Расстояние |
от |
|
M |
до |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
директрисы равно MQ , где Q - |
|
основание |
||||||||||||||||||||||||||
перпендикуляра, |
опущенного |
|
из |
M на |
директрису. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
||
Поскольку |
имеет |
|
координаты |
|
|
; y , |
то |
|||||||||||||||||||||
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
MQ x |
p |
|
. Тогда для параболы получаем |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p 2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
p |
. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
34 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Возведём обе части полученного равенства в квадрат
x2 px |
p2 |
y2 x2 |
px |
p2 |
|
|
|
||||
4 |
|
4 |
|
||
и запишем каноническое уравнение параболы |
|||||
|
|
|
|
||
|
|
y2 2 px . |
(2.3) |
||
|
|
|
|
|
|
Как уравнения эллипса и гиперболы, оно тоже является уравнением второго порядка.
Так как уравнение (2.3) содержит переменную y только в чётной степени, то парабола симметрична
относительно оси Ox . Так как p 0 , то x 0 . Это означает, что парабола расположена справа от оси Oy .
При x 0 |
получаем y 0 . |
|
|
|
При возрастании |
x возрастает и y , причём, |
|||
если x , то y . |
Построив в первой четверти |
|||
|
|
|
|
|
график |
функции y |
|
2 px , и, отразив его |
симметрично относительно оси Ox , получим геометрическое изображение параболы (рис. 2.15).
Рис. 2.15
35
Ось симметрии параболы (в данном случае совпадающая с осью Ox ) называется её осью. Точка, в которой парабола пересекает свою ось, называется её вершиной (в нашем случае вершина совпадает с началом координат). Для описания геометрического смысла фокального параметра p можно взять какое-
либо значение абсциссы, например, x 1. Из уравнения (2.3) найдём соответствующие ему значения ординаты:
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 p . |
Это |
даёт |
на |
параболе две |
точки |
||||||||
M1 1; |
|
|
|
M 2 1; |
|
, расстояние |
|
||||||
2 p |
и |
2 p |
между |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
которыми равно |
2 |
|
2 p |
(рис. |
2.16). Тем самым, чем |
||||||||
больше |
|
|
p , |
|
тем |
|
больше |
|
расстояние |
M1M 2 . |
Следовательно, параметр p характеризует «ширину» области, ограниченной параболой.
Рис. 2.16
В трёх рассмотренных случаях мы двигались от определений конкретных линий к их уравнениям, которые оказались уравнениями второго порядка. Можно поставить обратную задачу: начать сразу с анализа уравнения.
36
2.5. Рассмотрим уравнение вида |
|
Ax2 2Bxy Cy2 2Dx 2Ey F 0 , |
(2.4) |
где коэффициенты A, B,C, D, E и F — любые действительные числа, но, по крайней мере, одно из
чисел A, |
B |
или C |
отлично от нуля (т.е. |
|
A2 B2 C2 |
0 ). |
Оно |
называется |
общим |
уравнением линии (кривой) второго порядка.
Например, уравнение x2 + xy + y2 - y - 5 = 0
относится к классу уравнений второго порядка и получается из общего вида (2.4) при конкретном значении коэффициентов: A = 1, B = 0,5, C = 1,
D = 0 , E = - 0,5, F = - 5.
Кроме рассмотренных классических кривых (эллипса, гиперболы и параболы), уравнение (2.4) может привести ещё к нескольким случаям, называемым вырожденными.
Если в уравнении (2.4) B D E F 0 , то остаётся только два слагаемых, т.е. Ax2 Cy2 0 .
При одинаковых знаках A и C уравнению соответствует на плоскости одна точка – начало
координат. При разных знаках |
A |
и |
C – |
пара |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
пересекающихся прямых y |
|
A |
|
x . |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
C |
|
|
|
||
Если в уравнении (2.4) остаются ненулевыми |
|||||||
два других слагаемых, например, |
оно |
имеет |
вид |
||||
Cy2 F 0 , то возможны |
две |
ситуации: |
при |
одинаковых знаках коэффициентов C и F решений нет, а при разных знаках C и F получаются две параллельные прямые.
37
Если из уравнения (2.4) остаётся одно слагаемое
Cy2 0 или |
Ax2 |
0 , то на плоскости |
получается |
||
одна прямая. |
Если |
B D E 0 |
и в |
уравнении |
|
Ax2 Cy2 F 0 |
коэффициенты |
A 0 , |
C 0, |
F 0, то опять ему не удовлетворяют координаты ни одной точки плоскости.
2.6. Итак, после преобразований уравнения (2.4) получаются три основные линии: эллипс, гипербола и парабола или линии, отнесённые к вырожденным случаям. Все эти ситуации разбиваются на три типа, соответствующие трём основным линиям.
I. Эллиптический тип:
1) |
|
x2 |
+ |
y2 |
|
|
= 1 (эллипс или окружность), |
||
|
a2 |
b2 |
|
|
|||||
2) |
|
x2 |
|
+ |
y2 |
|
|
= 0 (точка), |
|
|
a2 |
|
b2 |
|
|
||||
3) |
|
x2 |
|
|
+ |
y2 |
|
|
= - 1 (пустое множество). |
|
a2 |
b2 |
|
|
II. Гиперболический тип:
|
x2 |
|
y2 |
|
4) |
|
- |
|
= 1 (гипербола), |
a2 |
b2 |
38
|
x2 |
|
y2 |
|
5) |
|
- |
|
= 0 (пара пересекающихся |
a2 |
b2 |
прямых).
III. Параболический тип:
6)y2 = 2 px (парабола),
7)y2 = a2 (пара параллельных прямых),
8)y2 = 0 (прямая),
9)y2 = - a2 (пустое множество).
Если для каждого из уравнений вычислить число
AC B2 , то можно заметить, что оно положительно для уравнений первого типа, отрицательно для второго и равно нулю для уравнений третьего типа. Оказывается, это выполняется в общем случае. То есть по исходным коэффициентам уравнения (2.4), которые присутствуют в конкретной задаче, можно сразу определить, к какому типу относится линия, задаваемая этим уравнением:
I. |
Если |
AC B2 0 , то уравнение задаёт линию, |
|
относящуюся к эллиптическому типу (случаи 1; 2 |
|
|
или 3). |
|
II. |
Если |
AC B2 0 , то уравнение задаёт линию, |
|
относящуюся к гиперболическому типу (случаи 4 |
|
|
или 5). |
|
39