книги / Элементы механики кусочно-однородных тел с неканоническими поверхностями раздела
..pdfНомер |
|
|
|
Функция |
|
|
Параметр |
||||
1 |
|
|
|
|
г |
|
|
0 < |
е < |
п-1 |
|
2 |
|
|
|
|
С" |
|
е = |
п~1 |
|
||
3 |
|
|
|
|
|
0 < |
в < п-1 |
||||
|
|
|
|
Г " |
|
||||||
4 |
|
|
|
|
г |
п |
|
е = |
п~х |
|
|
5 |
|
|
|
|
г |
|
|
N |
< 1 |
|
|
6 |
|
|
|
|
г |
2 |
|
М = |
V, |
ЧА |
|
7 |
|
|
|
|
г * |
|
N |
- V . + V, |
|||
8 |
|
|
|
|
г |
|
|
181 = |
v 10 |
|
|
9 |
|
|
|
|
£—5 |
|
161 = |
v 15 |
|
||
10 |
у—(п—И |
, |
( п - |
1) (« 2) |
|
|
|
2 |
|
||
|
‘ |
|
+ |
2д (2я — 1) |
Х |
е ~ |
п(я— 1) |
||||
|
х Г - в » -.| |
. |
(« -!)* (/■ - 2 ) |
|
( « > 2 ) |
||||||
|
* |
Ь |
|
+ |
3«а (3п — 1) Л |
|
|
|
|
||
|
X |
|
|
+ . . . |
|
|
|
|
|
|
|
11 |
J7 1 — 0,1524^ |
3 — 0,0591^ |
5 — |
в = |
0,643 |
|
|||||
|
— 0,0171 ^ |
7 |
|
|
|
е = |
0,629 |
|
|||
12 |
?~1 — о,089£—3 |
|
|
|
|||||||
13 |
Г*1 + |
0.163Г 3 |
|
|
в = |
0,301 |
|
||||
14 |
—р 1 + 0,3452? ~ 2 — |
|
в = |
0,4245 |
|
||||||
|
— 0,191Э р 3 — 0.1455С-4 + |
|
|
|
|
|
|||||
|
+ |
0,0073?~5 |
|
|
|
е = |
0,3125 |
|
|||
15 |
— |
— 0,5?~2 — 0,1625?-3 + |
|
||||||||
|
+ |
0.0062?-4 + |
0,0484? “ 5 |
|
8 = |
0,1415 |
|
||||
16 |
Р |
1 + 0.4806?-2 — 0,7157^ |
3 + |
|
|||||||
|
+ |
0,2736?-4 + |
0.0132?-5 |
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 2.7
Название кривой
Эпитрохоида
Эпициклоида
Гипотрохоида
Гипоциклоида
Эллипс
Равносторонний тре угольник
Квадрат
Пятиугольник
Шестиугольник
Правильный /i-уголь- ник
Пр ямоугольник с от ношением сторон 5 : 1
Пр 'ямоугольник с двумя полуокружнос тями
Овал Равнобедренная тра пеция с углом л/3
Замкнутая полуокруж ность Свод
{N + |
1)- |
угольны е контуры |
(с округленными |
углами) поперечных |
||||
сечений соответствую щ их некруговы х |
цилиндрических поверхностей |
|||||||
разд ел а . Д иф ф еренциальны е |
операторы |
Л}п) при |
п = |
О, 1 ,2 получа |
||||
ю тся |
из (2.173) как частный случай |
(а — 0). |
|
|
||||
В табл. 2.7 систематизированы |
известные [31, 58, |
128] аналитиче |
||||||
ские вы раж ения функции / (С) и соответствующие им значения малого |
||||||||
парам етра |
е для ряда |
контуров, |
представляющ их поперечные сече |
|||||
ния |
рассмотренных в |
§ 2 ортогональны х некруговых цилиндрических |
поверхностей, которые описываю тся конформно отображающей функ цией (2.117). П ри этом приведенными под номерами 6—9 функциями
описываю тся |
правильны е многоугольники с округленными углами |
и несколько |
искривленными сторонами, как это проиллюстрировано в |
монографии |
158]. При учете последующих членов на основании общего |
вида функции f (Q, приведенной под номером 10, стороны правильны х
61
м ногоугольников вы п рям ляю тся, |
а |
углы заостряю тся . Н а |
рис. |
2.1 |
||||||||
показаны |
некоторы е |
некруговы е |
цилиндрические |
поверхности, |
по |
|||||||
строенны е |
на |
основе |
ф ункций табл . |
2.3 при |
р = 1 |
(а — № 2, п = |
4; |
|||||
б — № 4, |
п = |
2; в — № 4, п = |
3; |
|
г — № |
10, п = |
3; д — № |
10, |
п = |
|||
= |
4; е — № 10, п = |
5; ж |
— № |
10, п = 6; з — № |
11, и — № |
12, к — |
||||||
№ |
н , л — № |
15, м |
— № |
16). |
|
|
|
|
|
|
|
62
§ 3. М ногослой ны е тела вращ ения с зам кнуты м и п оверхностям и р а зд е л а
Объектами исследований настоящ его параграф а являю тся многослой ные тела вращ ения с замкнутыми ортогональными поверхностями раз дела одного семейства, близкими к сферическим [80]. Они включаюттолстостенные многослойные оболочки вращ ения, бесконечные мно гослойные среды с ортогональными неканоническими полостями и вклю чениям и, а такж е конечные составные тела вращ ения с ортого нальными поверхностями раздела. Эти объекты имеют определенную аналогию с рассмотренными в § 2, связанную с тем, что поперечные сечения многослойных тел с некруговыми цилиндрическими поверх ностями раздела и меридианные сечения рассматриваемых здесь тел
вращ ения с замкнутыми поверхностями раздела описываются |
одной |
и той ж е конформно отображаю щ ей функцией (2.117). Поэтому |
и ма |
тематический аппарат этих двух классов пространственных краевых задач в определенном смысле аналогичен. Это позволяет существенносократить математические вы кладки, излож ив только отличительныемоменты.
3.1 П остановка задачи . Рассмотрим толстостенную многослойнуюоболочку вращ ения, у которой граничная поверхность 5 0 совпадает с координатной поверхностью р = р„ криволинейной ортогональной
системы координат |
р, у, |
<р (координат тела вращ ения, причем у — |
||
угол ш ироты, ф — угол |
долготы). П редполож им, что контур |
Г0 ме |
||
ридианного сечения |
S„ |
описывается функцией |
|
|
г + iR = |
rif’w (£) = £ + е/ (Q = re £B |
(£ = peiv), |
(2.1 74) |
|
где R — расстояние от оси вращ ения 0г\ г, в, а |
— сферические |
коор |
динаты, причем R , z, г — безразмерные переменные, отнесенные к ха
рактерной |
постоянной /■„; в — малый |
параметр (| в | |
1), |
характери |
||||||||||
зую щ ий отклонение |
поверхности |
|
S 0 |
от |
соответствующей |
сферы. |
||||||||
П редполож им , что |
поверхность |
S t |
раздела I-го и (/ + |
1)-го слоев,, |
||||||||||
а такж е внутренняя поверхность |
S n |
совпадают с координатными ‘по |
||||||||||||
верхностями соответственно р |
= |
р/ < |
1 |
и р |
= рл/ <С 1. Тогда |
соглас |
||||||||
но (2.119), |
(2.174) |
их |
уравнения |
имеют |
вид |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
z = |
Re |
ре*у + |
|
ft., |
a kp V ftv |
|
|
|
|||
|
|
|
е V |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
*=i |
|
|
p=p« |
|
|
(2.175) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R = |
Im |
pe‘‘v 4- g £ |
a kpV *v |
p=p„ |
(m = |
0, 1 ,2 , . . . , |
N), |
|
||||||
|
|
|
|
k—\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где R e и Im — символы |
действительной |
и мнимой частей выражения |
||||||||||||
в квадратны х |
скобках. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В данном |
случае |
наблюдается соответствие типа (2.122), а условия |
||||||||||||
ортогональности |
в |
произвольной |
точке |
поверхности |
раздела Si |
|||||||||
(а такж е граничных |
поверхностей |
S 0, Sn) имеют вид |
|
|
|
|||||||||
6у,т ■?n,m ~ 0, |
Сф,т |
Ип,т ~ 0 |
(®р.,п |
£п,т = |
1, /И — 0». |
1, |
2, |
N). |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.176) |
63
Д о п у сти м , |
что контур |
Г 0 |
м еридианного |
сечения |
поверхности |
S„ |
|||||||||||||||||||||
'о п и сы вается |
ф ункцией |
(2.174), |
конф ормно |
отображ аю щ ей |
внеш ность |
||||||||||||||||||||||
I £ | > |
|
1 |
единичной |
окруж ности |
на |
внеш ность |
Г 0, и, |
следовательно, |
|||||||||||||||||||
ф у н к ц и я |
f (£) д оп ускает представление (2.120). В этом |
случае |
поверх |
||||||||||||||||||||||||
н ость |
S/ |
р азд ел а l-то |
и (/ + |
|
1)-го слоев, а так ж е внеш няя поверхность |
||||||||||||||||||||||
-Sn совпадаю т с |
координатны ми поверхностям и p = |
p ^ > l и p |
= |
p^v>■ |
|||||||||||||||||||||||
О |
1, |
а |
их |
уравн ен и я |
приобретаю т |
форму |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z = |
Re pe£v + |
е V |
ckр- -kg—iky |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
fe=i |
|
|
Jp=P |
|
|
|
|
(2.177) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R = |
Im |
pe'v |
+ е £ |
ckp - ke - ik4 |
|
|
|
(m = |
0, |
1, 2, . |
. |
N ). |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ft=i |
|
|
|
|
P=Pn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
П р и |
этом |
соответствие |
меж ду |
координатны ми |
поверхностям и |
р = |
рт |
||||||||||||||||||||
< т |
= |
0, |
1, |
2, |
N) |
и |
S 0, S h |
S n |
аналогично |
(2.125), |
причем |
на |
них |
||||||||||||||
т а к ж е |
вы полняю тся условия |
ортогональности |
(2.176). П редполож им , |
||||||||||||||||||||||||
•что |
требуется |
исследовать |
напряж енно-деф орм ированное состояние |
||||||||||||||||||||||||
•рассм атриваем ого |
м ногослойного |
изотропного |
упругого тела |
вращ е |
|||||||||||||||||||||||
н и я |
при |
задан н ы х |
на |
граничны х |
поверхностях S 0, S n |
перемещ ениях |
|||||||||||||||||||||
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.Uj,о, |
м/.дг |
или н ап р яж ен и ях |
сгр/,о, |
а р/,л/. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
С ледовательно, |
в статических |
граничны х зад ачах |
необходимо |
най |
||||||||||||||||||||||
т и |
реш ение |
уравнений |
равновесия |
в н ап ряж ен и ях |
(2.12) |
или |
переме |
||||||||||||||||||||
щ ен и ях |
(2.13) |
при |
следую щ их |
краевы х |
условиях |
на |
ортогональны х |
||||||||||||||||||||
п о вер х н о стях : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
на |
поверхности S n |
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Щл |р—ро ~ |
^/,о |
или Op/л |р—р0 = а р/,0; |
|
|
|
(2.178) |
||||||||||||||
|
н а |
поверхности |
S n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Цр/,Л/ |p=p^v ~ |
|
|
|
ИЛИ |
Uf,N |р=рд/ = Uj.N' |
|
|
(2.179) |
||||||||||||
В сл у чае идеального контакта слоев |
условиям и |
сопряж ен и я |
на |
по |
|||||||||||||||||||||||
верхн ости |
раздела |
S/ |
будут |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
и1Л |р=р; = |
И/./+1 |р=р(. |
|
Цр/,/ |р=Р/ = |
Цр/,/+1 |р=Р| |
|
(2-180) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(/ = |
|
р. Y. <р; |
I |
= |
|
1. 2, |
. . . , |
N |
— |
1). |
|
|
|
|
|
|
||||
|
Е сли |
ж е контакт слоев на |
поверхности раздела |
неидеальны й |
(ког |
||||||||||||||||||||||
д а |
возмож но проскальзы вание без отслаивания), условия |
соп ряж ения |
|||||||||||||||||||||||||
прим ут |
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
UP.I |р=Р/ = |
ЫР.Ж |
|р=Р,> |
|
а РР./ |р=Рг = |
a pp,i+ l |р=Р/' |
|
|
|
. 01 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
Цру,/ |Р=Р/ = |
0* |
^pv.h-i Ip—р^ = |
0» |
°Рф,/ |Р=р; = |
0, |
|
(2.181) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
°р<р.Ж |р=рг = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Т акого |
типа |
условия |
сопряж ения |
|
на |
поверхности |
раздела |
рассм атри |
|||||||||||||||||||
вали сь |
в |
работе 1155]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
К ак частные случаи рассмотренная |
постановка содерж ит и |
более |
про |
||||||||||||||||||||||||
стые задачи . Т ак, например, |
если |
|
исследуется |
задача |
|
для |
сплош ного |
64
конечного составного тела |
(внутренняя задача), находящегося под |
|
о |
действием внеш них усилий |
а р,\о, то на S 0 краевые условия в напря |
ж ен и ях будут иметь вид (2.178), а условия сопряж ения на S/ останут ся без изменений. В случае когда рассматривается задача для беско нечной многослойной среды со свободной от напряжений ортогональ
ной неканонической |
полостью |
(внеш няя |
задача), граничные условия |
||||
на |
S 0 (р = |
ро = 1) |
имеют вид |
|
|
|
|
|
|
|
Gp/.i |р=ро = |
0 (/ = |
р, |
у. ф). |
(2.182) |
а |
условия |
сопряж ения на поверхности |
раздела |
Sw -i (р = p,v-i), |
граничащ ей с внешней бесконечной средой (в этом случае поверхность S n рассмотренной выше толстостенной оболочки удалена на бесконеч
ность, т. е. |
рл/ |
оо), будут следующими: |
|
|
|
||
в случае |
идеального |
контакта |
|
|
|
||
II/,N—I lp=p,v—1 = |
(uj,N + |
K/)p=Pjv_i« |
CP/.W—1/P=PjV_I ~ |
||||
|
|
|
— (Vpf.N + CTpy')p=Pyv_i> |
(2.183) |
|||
в случае |
неидеального контакта |
|
|
|
|||
|
|
|
|
л |
|
|
|
UP.N—1 |р=РДГ_[ = |
(Wp.AT + |
Up)р=РДГ р |
Tpp.W—1 Jp=P;V--1 — |
||||
|
|
|
— (°PP,N + °рр)р=р#_1> |
|
|||
|
|
|
|
|
|
Л |
|
|
|
!р==рл/—i == |
(a Pv.w |
^pv)p=p;v—i ~ |
(2.184) |
||
|
|
|
|
|
|
/4 |
|
|
< W v -i |р=рд/_| = 0, |
(сГ рф + |
|
^рф)р=рл(—i ~ |
0- |
лл
Здесь компоненты и-п оц соответствуют заданной нагрузке на беско нечности. У словия сопряж ения на других поверхностях раздела 5 , ( / <
С |
N — |
1) |
останутся без изменений, |
т. е. в |
виде (2.180) или (2.181). |
||||||||||||
|
П ри |
рассмотрении |
задачи для |
бесконечной |
многослойной |
среды |
|||||||||||
с ж естким неканоническим включением краевы е условия на |
его |
по |
|||||||||||||||
верхности |
S 0 |
(р = Ро — 1) |
имеют |
форму |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
«/л |р=ро = |
0 |
(/ = |
р, у, |
ф), |
|
|
|
(2.185) |
|||||
а |
условия |
сопряж ения |
на поверхностях |
раздела S t (I = |
1 ,2 , |
.... N |
— |
||||||||||
|
2) и S/v-i |
будут иметь вид (2.180), |
(2.183) или (2.181), |
(2.184). |
|
||||||||||||
|
Н есмотря |
на внешнюю |
простоту |
приведенных |
краевых |
условий |
|||||||||||
в координатах р, у, ф ввиду сложности поверхностей раздела S, и гра |
|||||||||||||||||
ничных |
поверхностей |
S„, |
S n, |
описываемых |
уравнениями |
(2.175), |
|||||||||||
(2.177), получить точное общее |
реш ение уравнений |
равновесия |
в |
на |
|||||||||||||
пряж ениях |
(2,12) или |
перемещ ениях |
(2.13) |
в переменных р, у, |
ф |
и, |
|||||||||||
следовательно, реш ить |
точно поставленную |
краевую задачу |
не |
пред |
ставляется возможным. С этой целью ниже изложен приближенный аналитический метод,
3.2. Рекуррентные соотнош ения. К ак и в § 2 наличие в уравне н и ях (2.175), (2.177) малого параметра е, характеризую щ его отклонение
65
рассм атриваем ой |
ортогональной неканонической |
поверхности от |
со |
||||||||
ответствую щ ей |
сферы , |
п озволяет |
и скать |
реш ение |
поставленной |
в |
|||||
п. 3.1 задачи в виде рядов типа (2.133). Д л я |
определения компонентов |
||||||||||
п р ои зво льн о го |
при бли ж ения использую тся |
ф ормулы |
преобразований |
||||||||
(2 .135), (2.136) |
ком понентов |
тензора |
второго р а н га м |
вектора при по |
|||||||
вороте системы |
коорди н ат на угол |
р, которы е в |
рассм атриваем ом сл у |
||||||||
чае прим ут вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CFpp,/ = |
Orrj + - i - |
(ae0i/ — a n ,i) (1 — cos 2p) |
+ |
0y9,/ sin 2|5, |
|
||||||
Oyyj = |
a e0,/------(O00.Z — orrJ) (1 — cos 2(3) — a r9f, sin 20, |
|
|||||||||
Ффф,/ — Gaa.h |
вру,l — ~n~ (ввв,1 — e rr,i) sin 20 -f- @rd,l COS 20, |
|
|||||||||
|
|
e p(p.i = |
вга,,i cos 0 |
-f- O0a,; sin p, |
|
(2.186) |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
вуц>,1 = |
Cf0a,/ COS p |
Ofa,/ sin p, |
|
|
|
||||
|
|
Up,i = |
cos p 4- ue.i sin p, |
|
|
|
|
||||
|
Uy.l — Uqj cos P — Ur,l sin P, |
Uy,i = |
|
|
|
П ри этом экспонента угла Р между радиальны м и норм альны м н ап рав
лениям и |
определяется |
через |
|
конформно отображ аю щ ую |
ф ункцию |
|||||||||||
(2.174) по ф ормуле (2.137). Сферические координаты |
г, |
6 вы раж аю тся |
||||||||||||||
через эту ф ункцию |
соотнош ениями типа |
(2.143). В связи с этим |
пред |
|||||||||||||
ставление произвольной скалярной функции Ф* (г, 0, а ), а |
так ж е ком |
|||||||||||||||
понентов at*./ (г, 0, а ) |
и u s,i (г, 0, а ) |
(как слож ных ф ункций относи |
||||||||||||||
тел ьн о парам етра |
е) по аналогии |
с (2.156) имеет форму |
|
|
||||||||||||
|
|
|
{Ф/ (г, 0, a ), oks,i (г, |
0, |
a ), |
u s,i (г, 0, |
а)} |
= |
|
|
|
|||||
= |
2 |
|
|
|
|
|
-V. ф). |
» & " ’ (р. т .ф ) . |
|
|
Т .Ф )). |
|||||
|
т = 0 |
п=О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.187) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П одставляя |
соответствую щ ие |
ряды |
типа |
(2.133), |
(2.138), |
(2.187) |
||||||||||
в зависимости |
(2.186) |
и сравнивая |
вы раж ения |
при одинаковы х |
степе |
|||||||||||
нях |
парам етра |
е, |
получаем |
следую щ ие |
рекуррентны е соотнош ения: |
|||||||||||
д л я составляю щ их |
тензора |
напряж ений |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
< С = £ ( Л Г - У Я + л Г " “ ( < * - « Я ) + л Г " ’о Ж ь |
|||||||||||||||
|
|
|
т=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ГТ<П), — V |
г А(п—т) (т) |
д (п—т) ,( т ) |
(т) ч |
М |
(п— |
|
|
||||||||
|
UyyJ |
-- |
1Л[ |
сое,/ — |
А-2 |
(a0o;/ — Q}r 'i) |
|
Огв,1\’ |
(2.188) |
|||||||
|
|
т —0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
„(п) |
|
д (п—т ) (т ) |
П{п) |
£ |
[М " - ” В Д |
|
|
|
|
|
|
|||||
ОфФ,/ |
Ai |
Оаа,/» |
а РУЛ |
* |
|
|
|
|
|
|||||||
|
т —0 |
|
|
|
т —0 L |
|
|
|
|
|
|
|
|
66
|
п |
|
|
п |
|
для компонент |
вектора |
перемещений |
|
П |
|
« $ |
= S |
[Л5,_М)«Й ) + л Г " 0* ® , |
|
т=О |
(2.189) |
|
11 |
|
|
|
|
|
|
П |
Рекуррентны е соотношения для определения произвольной скалярной
функции Ф /'° и ее нормальной |
производной (дФ//др)(,1) в произволь |
||||||||
ном |
приближ ении |
аналогичны |
(2.159), |
(2.160). |
Дифференциальные |
||||
операторы |
Л /1’ |
(/ = |
1, |
2, ..., |
6) |
в общем случае |
имеют вид (2.161), |
||
а для функции |
/ (£) = |
t ~ N + |
а£Гк в первых трех приближениях — |
||||||
(2.173). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Согласно |
(2.187) |
компоненты, |
фигурирую щ ие в |
правых частях ре |
|||||
куррентны х |
соотношений (2.188), (2.189) |
зависят |
от переменных р, |
||||||
V, ф, |
т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.190) |
Это означает, что для получения |
их конкретных аналитических выра |
ж ений достаточно в соответствующих им формулах формально заменить сферические координаты г, 0, а на криволинейные ортогональные ко ординаты р, у, ф. В частности, при решении трехмерных статических краевы х задач для упругой слоистой толстостенной трансверсально изотропной оболочки на основе (2.85) для компонентов перемещений можно записать
(2.191)
67
З д е с ь Y m (у, ф) — сф ерические ф ун кции ; |
v £ ,, |
^ |
— |
констан |
|||
ты , |
которы е определяю тся |
по ф орм улам |
(2.84) через упругие |
постоян |
|||
ны е |
c tjj тр ан свер сал ьн о |
изотропного |
1-го |
слоя; |
А%1,, |
Bml.i — про |
|
и зво л ьн ы е постоянны е, которы е долж ны быть определены |
из соответ |
ствую щ их условий сопряж ен и й и краевы х условий в л-м приближ ении .
Э тим и усл ови ям и |
на основе |
(2.133), (2.178), |
(2.179), (2.182), |
(2.185) |
||||||||||||
соответственно |
будут: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
на |
поверхности S„ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
U/Л )р=Ро == |
и{/% |
или |
o f/i |р=Ро = |
Ордо; |
|
|
(2.192) |
|||||
на |
поверхности |
S n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
_(«) |
I |
|
= |
a jjU , |
или u f N |Р=РЛ/ = и % \ |
|
|
(2.193) |
||||
|
|
|
|
°РIM |р=рдг |
|
|
||||||||||
когд а вн у тр ен н яя |
поверхность |
|
S 0 бесконечной среды свободна от |
|||||||||||||
н а п р я ж ен и й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
оЙ1 1р=р. = 0 |
|
(/ = р. V» ф); |
|
|
(2 -194) |
|||||
на |
поверхность S 0 ж есткого вклю чения |
в бесконечной среде |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
«Л1|Р=р, = 0 |
|
(/' = р, |
у, Ф). |
|
|
|
(2.195) |
|||
У сл о в и я сопряж ен и я |
на |
ортогональной |
поверхности |
разд ел а |
St на |
|||||||||||
основе |
(2.133), |
(2.180), (2.181) в л-м приближ ении будут иметь следую |
||||||||||||||
щ ий |
вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в сл у ч ае |
идеального |
контакта |
|
|
|
|
|
|
||||||||
и)'} 1p=Pj = |
м/./+1 |р=р/’ |
Gp/J ]р=Р/ ~ Gpf.l+l |р=Р/ |
(/ = Р» Y* ф)» |
(2.196) |
||||||||||||
в сл у чае |
неидеального |
контакта |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
(ГС) . |
|
_ |
(п) |
I |
|
|
(ГС) I |
_ |
(ГС) |
I |
|
|
|
|
|
Up,l \p=pt — %>./+! 1Р=Р/» |
°РР.1 Ф=Р/ — а РР.Ж |р=Р|' |
|
(2.197) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a pv./ 1р=рг = 0, |
|
cfpv.z+i |р=р; ~ 0, |
Орф./ |р=р; = 0, |
сгрф./_[_1 |Р= Р/ |
= |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
0. |
|
|
|
|
|
А налогично |
записы ваю тся |
условия сопряж ения в |
л-м |
приближ е |
||||||||||||
нии на |
поверхности |
раздела S ^ _ i, |
граничащ ей с внеш ней бесконечной |
|||||||||||||
средой, |
которы е отвечаю т (2.183), |
(2.184). |
|
|
|
|
|
|||||||||
Зам етим , что уравнения |
(2.192) — (2.197) с помощью рекуррентны х |
|||||||||||||||
соотнош ений |
(2.188), |
(2.189) могут |
быть |
записаны в |
другой эк ви в а |
лентной форме, которая используется при реш ении конкретны х задач .
В частности, условия (2.195) на поверхности |
ж есткого неканониче |
|
ского вклю чения |
преобразую тся к виду |
|
|
п—1 |
|
и™ (р, у, ф) |р=1 = |
— S 1Д-5* ”V ? i4 p . Y* Ф) •+ |
Лб‘ т)и1л (р. Y> ф)1р=1» |
|
т = ° |
(2.198) |
68
м
» £ i (р. y. ф> I p - i= |
- s ' ( а г ' - ’и й |
(р, т. ч>) - л у - ч * ? (р, т . » ) ) ,.„ |
|
гп=0 |
|
« а (р, |
Y. ф) I»-. = - s ' |
А Г - ” >И£ | (р, у, V) | _ . |
|
/72=0 |
|
Таким образом, поставленная в п. 3.1 пространственная краевая задача о напряженно-деформированном состоянии толстостенной мно гослойной оболочки вращ ения с ортогональными неканоническими по верхности раздела и граничными поверхностями одного семейства с помощью излож енного метода возмущ ения формы границы сведена к
69
р ек у р р ен тн о й последовательности |
|
соответствую щ их |
краевы х |
задач |
|||||||||||||||||||||||
д л я за м к н у то й |
м ногослойной |
толстостенной |
сферической |
|
оболочки. |
||||||||||||||||||||||
З ам еч ан и е . П риведенны е |
в |
таб л . |
|
2 .7 |
конкретны е |
вы раж ен и я д л я |
|||||||||||||||||||||
ф у н кц и и |
f (С) и отвечаю щ ие |
|
им зн ачен и я |
м алого п арам етра |
е соответ |
||||||||||||||||||||||
ствую т кон тур ам м еридианного |
сечения |
рассм отренны х |
в § 3 |
ортого |
|||||||||||||||||||||||
нальн ы х |
поверхностей |
вращ ения. О твечаю щ ие |
этим |
ф ункциям |
неко |
||||||||||||||||||||||
торы е поверхности вращ ения показаны |
на |
рис. |
2 .2, |
где алф авитны й |
|||||||||||||||||||||||
п о р яд ок |
соответствует рис. 2.1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
К а к |
видно |
из |
сравн ен и я |
рис. |
|
2.1 |
и |
рис. |
2 .2 кл асс |
поверхностей |
|||||||||||||||||
вр ащ ен и я, |
отвечаю щ их |
одной |
и |
|
той |
ж е |
конф орм но |
отображ аю щ ей |
|||||||||||||||||||
ф ун кц и и |
(2 .17 4), |
н есколько |
ш ире |
соответствую щ его |
ему |
класса |
не |
||||||||||||||||||||
к р у го в ы х цили н дрически х |
поверхностей, |
что |
связан о |
с количеством |
|||||||||||||||||||||||
осей |
сим м етрии |
у |
рассм атриваем ы х |
контуров. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
§ 4. М н о го с в я зн ы е т е л а с н екруговы м и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
ц и л и н д р и ч еск и м и п овер х н о стям и р а з д е л а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
О тли чительн ой |
чертой рассм атриваем ы х здесь пространственны х к р ае |
||||||||||||||||||||||||||
вы х |
зад ач |
явл яется то, что каж ды й контур |
поперечного сечения м но |
||||||||||||||||||||||||
го связн ого |
тел а |
описы вается своей ф ункцией |
и, кром е этого, |
в |
своей |
||||||||||||||||||||||
системе координат. Эта особенность приводит к сущ ественны м |
у сл ож |
||||||||||||||||||||||||||
нениям при реш ении конкретны х краевы х задач . Э то одна из основны х |
|||||||||||||||||||||||||||
причин |
того, |
что |
не только |
в трехм ерной |
постановке, |
но |
и в |
класси |
|||||||||||||||||||
ческой |
теории |
тонких |
оболочек |
|
с |
криволинейны м и |
отверстиям и |
и |
|||||||||||||||||||
вклю чениям и |
количество реш енны х |
конкретны х задач |
(с |
доведением |
|||||||||||||||||||||||
до числовы х |
результатов) |
незначительно |
1301. О днако, |
рассм атривае |
|||||||||||||||||||||||
мый |
здесь |
кл асс |
трехм ерны х |
краевы х |
задач |
127, |
73] |
п редставляет |
|||||||||||||||||||
не |
то л ько |
теоретический, |
н о .и |
значительны й |
прикладной |
интерес. |
|||||||||||||||||||||
Т ак , на |
основе решений задач такого класса |
можно |
изучить взаим ное |
||||||||||||||||||||||||
вл и ян и е различн ого рода неоднородностей |
на |
исследуемые ф изико-м е |
|||||||||||||||||||||||||
хан и чески е |
поля, |
вли ян и е |
мелкомасш табны х |
отклонений |
поперечны х |
||||||||||||||||||||||
сечений волокон от круговой формы на прочностные свойства волок |
|||||||||||||||||||||||||||
нисты х |
ком позитны х м атериалов |
|
и |
др. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4 .1 . |
|
П остановка |
задачи . |
Рассмотрим некоторое |
пространственное |
||||||||||||||||||||||
трехм ерное |
деформируемое |
тело, |
|
занимаю щ ее m -связную |
область |
D |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
с общ ей |
границей |
S , которая представляет объединение |
5 |
= |
|
U |
S A. |
||||||||||||||||||||
П р и этом каж д ая |
из поверхностей |
|
S k {{k = |
1, 2, |
..., т ) |
явл яется |
в |
об |
|||||||||||||||||||
щ ем сл учае некруговой |
цилиндрической, |
причем их |
оси гк |
п ар алл ел ь |
|||||||||||||||||||||||
ны м еж ду собой. О бозначим |
через |
Г* контур |
поперечного |
(перпенди |
|||||||||||||||||||||||
к у л я р н о го |
осям |
zk) сечения |
поверхности |
S k и |
предполож им , |
что она |
|||||||||||||||||||||
описы ваю тся |
ф ункцией |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
<МЕа) = |
г№ К* + |
е*/*(Ь01 |
|
|
|
|
|
|
(2.199) |
||||||||||||
|
|
(хк -f- iy k = г |
/ 9*, |
|
= |
pi(etVk, |
|
k |
= |
1, |
2, |
|
|
m), |
|
|
|
|
|||||||||
конформно |
отображ аю щ ей |
плоскость |
с |
круговы м отверстием |
единич |
||||||||||||||||||||||
ного радиуса |
на внеш ность контура |
Г А. П редполагается, |
что ан али ти |
||||||||||||||||||||||||
ческая ф ункция |
/ А (£а) допускает представление вида (2.120). |
|
|
|
70