книги / Элементы механики кусочно-однородных тел с неканоническими поверхностями раздела
..pdfОстановимся такж е на случае в) соотошений (7.15), так как при |
ре |
шении краевы х задач М ВФ Г с ростом количества приближений, |
или |
при увеличении частоты гофрировки поверхности раздела, увеличи вается порядок модифицированных функций Бесселя при тех ж е зна
чениях |
аргумента. |
|
|
|
|
|
|
||
И так, |
если т |
р ( т |
^ |
2), то согласно асимптотическим разложе |
|||||
ниям [133] для |
отношений |
(7.13) |
имеем |
|
|
||||
|
|
|
|
Н |
! |
. ' М т ' |
р)] [ 1 |
, <р‘ ('п ~ |
1' р ,Г |
V - 1(Р) |
|
Р ) |
т —1Г 00 |
|
1 Г 00 |
—1 |
|||
|
|
— 1, pjV) |
|||||||
lm—1(Pn> |
|
Рлг |
|
Е |
Ф* ( т — 1, р) I | Е Фа ( т |
||||
|
[ т —2 |
|
-] Гт—1 |
|
|||||
|
Кт - |
1(Р) |
|
|
|
||||
|
|
|
Е ё к ( т — 2, р) |
Е & ( « — *. Р) |
|||||
|
Кт |
(Р) |
|
|
|||||
|
|
|
л=о |
|
J U=o |
J |
|||
|
|
I |
|
|
|
||||
Кт |
(Р) |
\ —т Гт —1 |
1Гт —1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Кт (Ро)- = ( - £ - ) |
|
L |
§ (ш - |
1 ■p,J L s |
ч |
||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Фа ( т , р) = ■ |
|
|
( + f |
|
|
|
<7 1 8 > |
||
|
i r e W |
|
|
|
Заметим, что отношения (7.17) записаны при условии, что верхняя граница рл/ изменения аргумента р незначительно отличается от ниж ней р0. В частности, числовые данные, приведенные в работах [115, 147] показывают, что вычисление отношений (7.13) по формулам
(7.17) можно проводить |
с допустимой |
погрешностью при m < 100. |
Например, при m = 8, |
1,0 < 1 р < 1,4 |
значения отношений, вычис |
ленные по формулам (7.17), совпадают с данными работы [17] с точ ностью до 0,007 % .
Замечание. Если корни характеристического уравнения (2.65)
кратны е |
(xi./ = |
х2,/)? |
то |
функции |
и Фз() имеют прежний вид |
||||
(7.10), а функция |
Ф 2{/ может быть выбрана в форме |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
*m lP) |
cosm 0 |
||
Ф Й |
- т ^ - 2 |
Ё |
^ - г т г г + |
ВЙ */' |
sin Я„г. |
||||
|
|
||||||||
^m+l (Po) |
sin m0 |
||||||||
|
C».N ^ O n t i l |
|
lm |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.19) |
|
В случае комплексно-сопряженных |
корней |
|
уравнения (2.65) (х)(/ = |
||||||
= х/ + |
lx), х 2,/ = |
х/ — ix/) |
функции |
Ф $ (i = |
1, 2) |
определяются вы |
|||
ражениями |
|
|
|
|
|
|
|
ф » =
44,
+ в $ пи
2 |
S |
А(/>I , |
^ |
4- |
|
mnU КеУт _,(Р^) |
+ |
||||
т = 0л=1 L |
|||||
|
(р) |
cos т 0 |
|
|
|
|
. sin |
Я„г, |
|
||
Re |
(ро) |
|
|||
Jsin m Q |
|
|
201
|
|
|
ф |
й |
- т |
^ - Е |
Е |
А |
. / |
|
4 Й |
|
|
+ |
|
|
|
(7.20) |
||||
|
|
|
Re Л п-1 (Рлг) |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
CAAtN |
" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
т=0 п=1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
Гр) |
cos т 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
+ |
Bmn2,l |
|
|
|
n sin лпг |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Re Я<У (Ро) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
sin т 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Р = |
А,„ ]/ | К;,/1 Г б 3 |
> |
0; — arctg |
— , |
рщ ~ |
Р 1г=г/п* |
|
= |
0, |
I , |
|
|||||||||||
ТД8 / т |
(р), |
|
(р), |
Н (т (р) — функции |
Бесселя |
т - г о порядка соот- |
||||||||||||||||
зетств ен н о первого |
и |
третьего |
рода. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Т аки м |
образом, |
на |
основе |
приведенных |
представлений |
ф ункций |
||||||||||||||||
■Ф$ (/ = |
1, 2, 3) |
и |
формул |
(7.11) — (7.12) |
получаем |
вы раж ения |
для |
|||||||||||||||
•перемещений |
и*/} и |
напряж ений о $ ,ь |
содержащ ие произвольные |
по |
||||||||||||||||||
стоян н ы е |
A m u , Bfrnt.i- |
Они |
определяются |
из краевых условий |
(3.61), |
|||||||||||||||||
{3.62) и условий сопряж ения (3.57). В частности, |
когда граничны е по |
|||||||||||||||||||||
верхности 5 0, S n и поверхности раздела S t описываются |
уравнениям и |
|||||||||||||||||||||
-(7.1), |
(7.2), |
а ф ункция |
F |
(г), |
характеризую щ ая |
внешнюю |
н агрузку , |
|||||||||||||||
•имеет вид (7.6), в |
сумме (7.10) по п |
для |
ф ункций |
Ф $ |
|
(i |
= |
1, 2, 3) |
||||||||||||||
•отличной |
от |
нуля |
во |
всех |
приближениях |
будет только |
п-я |
состав |
||||||||||||||
л яю щ ая . |
Следовательно, |
для |
определения |
произвольных |
постоян |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ных |
Amnij, B lllij |
( 1 = 1 , 2, 3) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получаем: в нулевом прибли |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
жении (/ = 0) одну систему |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
линейных |
алгебраических |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнений |
|
относительно |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Bmni.i (m |
|
= |
0); |
в |
пер |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вом |
приближении |
|
(/ = |
1) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
две |
системы |
относительно |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Amnu, |
B Z u |
( т |
= k, 3k), а во |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
втором |
|
приближ ении |
(f — 2) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
четыре |
|
системы |
|
относитель |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
но |
|
AmrtC.h B Z i.l |
|
(/ft = |
0, |
2k, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4А, 6k). При этом порядок си |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
стем зависит от |
|
количества |
I |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
слоев |
цилиндра. |
Н а |
основе |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
полученного реш ения |
переме |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
щения |
и напряж ения |
опреде |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ляю тся с точностью |
О (в3). |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.2. |
|
Трехслойные изотроп |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ные |
цилиндры. |
|
Рассмотрим |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
трехслойный |
толстостенный |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
цилиндр |
с |
внутренней |
S 0, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
внешней S 3 и поверхностями |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
раздела |
слоев |
|
и S 2. |
Гео |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
метрия |
|
этих |
|
поверхностей |
202
описывается уравнениями (7.1), (7.2). В част |
|
|
|||||||||||||||||||
ности, |
при |
(1 = |
0, |
k |
— 8 |
пять |
вариантов |
их |
|
|
|||||||||||
поперечных |
сечений |
|
показаны |
|
на |
рис. 7.1: |
|
|
|||||||||||||
I |
(©J. = |
1, |
(00 |
= |
щ |
|
= |
щ = |
0), |
|
I I |
(со2 = |
1, |
|
|
||||||
со0 = |
шх = |
ш3 = |
0), |
|
I I I |
(а>з = |
1, |
ш0 = |
©, = |
|
|
||||||||||
= |
со2 = |
0), |
IV |
(сох = |
|
<о3 = |
1, |
щ |
|
— щ |
= |
0), |
|
|
|||||||
V (©! = |
©2 = |
о)д = |
1, |
©0 = 0). |
|
Д л я |
этих |
|
|
||||||||||||
продольно гофрированных составных цилинд |
|
|
|||||||||||||||||||
ров |
проводились |
числовые |
расчеты при h = |
|
|
||||||||||||||||
== 6, |
е |
= 0,1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
П араметры |
rt (l = |
|
0, |
1, 2, 3), |
фигурирую |
|
|
|||||||||||||
щие |
в уравнениях |
|
(7.1) |
(радиусы |
круговых |
|
|
||||||||||||||
цилиндров г = |
Г/, |
к которым близки |
поверх |
|
|
||||||||||||||||
ности Si), принимались следующими: r 0 = |
1, |
|
|
||||||||||||||||||
гх = |
1,2, |
г2 = |
1,4, |
|
г8 = |
1,6. |
В |
случае нагрузки (7.6), |
отвечающей |
||||||||||||
внутреннему давлению |
(р0 = |
1, p N = |
0, |
п = 1), коэффициенты Пуас |
|||||||||||||||||
сона |
слоев |
V/ |
и |
модули |
сдвига |
G; (I = |
1 ,2 , 3) будут |
следующими: |
|||||||||||||
vt |
= |
0,05, |
v2 = |
0,25, |
|
v3 = 0,45, |
Gx : G2 : G3 = |
I : 2 : 3, |
а при внеш |
||||||||||||
нем давлении |
(p0 = |
|
0, рн |
= |
I, |
n |
— 1) принят обратный |
порядок чис |
|||||||||||||
ловых |
значений |
|
упругих |
постоянных: |
vx = |
0,45, v2 = 0,25, v3 = |
|||||||||||||||
= |
0,05, |
G i : Ga : G3 |
= |
|
3 |
2 : 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Ч исловые расчеты показывают, что при указанных видах на |
||||||||||||||||||||
грузки и формах поверхностей раздела определяющими |
являются ок |
||||||||||||||||||||
руж ны е напряж ения |
|
omjlqzs (Qzs = |
QoG3 sin Xnz). При этом концентра |
ция напряж ений происходит на участках продольно гофрированных поверхностей наибольшей кривизны, вогнутых по отношению к более
жесткому слою (рис. 7.2, |
/, k |
— 8, |
р0 = 0, ры = |
1). С увеличением |
|
параметра k (частоты гофрировки) |
увеличивается |
кривизна соответ |
|||
ствующей поверхности в ее экстремальных сечениях и, |
следовательно, |
||||
возрастаю т максимальные |
напряж ения. Н апример, |
при изменении |
|||
частоты k в интервале 6 |
k ^ |
14 процентный вклад гофрировки по |
верхности в значения относительных напряж ений Gma/qzs на внешней
поверхности |
S 3 (IV , z = 3, |
0 = Зл/16) |
увеличивается от |
58,6 |
% |
до |
||||
71,9 % (табл. 7.1). Оценим точность полученного приближенного |
ре |
|||||||||
шения на основе критерия, изложенного в § 3 гл. 6. |
Л егко |
проверить, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
7.1 |
||
|
|
|
Приближение |
|
|
|
аее,з |
|
||
ft |
|
д<°) 0/ |
|
дО) |
о/ |
|
|
|
||
|
|
|
|
?2S |
|
|||||
нулевое |
первое |
второе |
|
«3 |
||||||
^в.З1 |
*0,3’ |
/о |
|
|
|
|||||
|
|
|
IV, 9 ==Зл/16 |
|
10,9 |
1,923 |
||||
6 |
0,796 |
41,4 |
0,918 |
47,7 |
0,208 |
|||||
14 |
0,796 |
28,1 |
1,590 |
56,1 |
0,447 |
15,8 |
2,833 |
|||
|
|
|
V, 0 = |
Зл/16 |
|
|
|
|
|
|
6 |
0,796 |
44,9 |
0,848 |
47,8 |
0,128 |
7,3 |
|
1,772 |
||
14 |
0.796 |
28,0 |
1,643 |
57,9 |
0,401 |
14,1 |
|
2,840 |
203
что найденные три приближ ения удовлетворяют условию (6.17). Е сли
предположить, что и a f ^ lq u на S 3 будет удовлетворять аналогичном у
условию , то его значение по отношению к сумме найденны х трех |
при |
|||||||||||
ближ ений, условно принятой за |
100 % , даж е |
при |
к = |
14 |
(IV , |
0 = |
||||||
= |
Зя/16) не превосходит 4,3 % . |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Распределение |
относительных |
окружны х напряж ений |
аео,i/qzs по |
||||||||
толщ ине трехслойного продольно гофрированного цилиндра |
показано |
|||||||||||
на рис. 7.3 (варианты |
II, |
III, внутреннее давление) и рис. 7 .4 (вариант |
||||||||||
I, |
внешнее давление) |
для |
сечения г — 3, 0 = Зя/16 . П ри |
этом ш три |
||||||||
ховы е |
кривы е на |
рис. |
7 .2 - 7 .4 |
соответствуют |
случаю трехслойного |
|||||||
кругового цилиндра |
с |
псверхностями раздела |
r0 = |
1; г± = |
1,2; |
г2 = |
||||||
= |
1,4; |
> 3 = 1,6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.3. |
Трехслойные |
трансверсально изотропные |
цилиндры . Рассмот |
рим трехслойный трансверсально изотропный цилиндр с продольно гофрированными поверхностями раздела, находящ ийся под действием внеш ней нагрузки, описываемой функцией (7.6) при р 0 = 0, p n = 1 (внеш нее давление). Д л я числовых расчетов приняты упругие постоян ные трансверсально изотропных материалов, приведенные в табл . 2.2 (первый слой — материал № 3, второй слой — м атериал № 5, третий слой — материал № 4). Такой выбор сделан с целью, чтобы ж есткость м атериала слоев примерно соответствовала той ж е последовательности* что и в случае изотропных цилиндров (п. 1.2), находящ ихся под внеш ним давлением . При этом максимальные (по абсолю тному значению ) относительные окруж ны е напряж ения достигаю тся, к ак в случае изо тропных цилиндров, на участках гофрированных поверхностей м акси мальной кривизны , вогнутых по отношению к более ж естком у слою . К ри вы е на рис. 7.5 характеризую т распределение напряж ений ow Jq zs по части контура сечения 2 = 3 поверхностей 5 0 (кривая 2) и S x (кри вая 1) продольно гофрированного
204
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
7.2 |
|
|
|
|
Приближение |
|
|
|
" |
|
|
|
|
|
|
ffee,/ |
|
||
3;П |
нулевое |
|
|
д(1) 0/ |
|
д(2) о/ |
|
|
4?.. % |
первое |
второе |
Ozs |
|
||||
|
Sm |
|||||||
|
дел, /о |
де,/, /о |
||||||
|
|
|
I, 0 == Зл/16 |
|
|
|
|
|
$0 |
—3,080 |
90,9 |
—0,228 |
6,8 |
—0,078 |
2,3 |
—3,386 |
|
Si |
—2,644 |
65,8 |
—1,063 |
26,5 |
—0,311 |
7,7 |
—4,018 |
|
|
|
|
II, 0 == л /16 |
|
|
|
|
|
So |
—3,080 |
95,5 |
—0,115 |
3,6 |
—0,029 |
0,9 |
—3,224 |
|
S, |
—1,215 |
68,1 |
0,452 |
25,3 |
—ОЛ19 |
6,6 |
—0,882 |
Д л я сравнения |
на рис. 7.5 показаны соответствующие кривые 4 |
|||
и 3 изменения указанны х |
напряж ений на |
поверхностях S 0 и S t изо |
||
тропного |
цилиндра |
(v! = |
0,45; v2 = 0,25; |
v3 = 0,05; G1 : G2 : G3 = |
= 3 : 2 ; |
1). А нализ этих |
графиков показывает, что поле напряжений |
в изотропном и трансверсально изотропном цилиндрах имеет качествен
но |
аналогичный |
характер. Подробные исследования влияния каж |
дой |
из упругих |
постоянных сц на напряж енное состояние цилиндров |
с неканоническими поверхностями разделов будет проведено при рас смотрении более простых частных случаев. П ракти ческую сходимость процес са последовательных при ближений иллюстрируют числовые данные табл. 7.2.
1.4. Двухслойные изо тропные цилиндры. Рас смотрим двухслойный тол стостенный цилиндр высо той h 'c граничными поверх ностями S 0, S 2 и общей по верхностью контакта сло-
205
|
|
|
|
ев S lt |
которые |
описываю тся |
уравне |
|||||||||||
|
|
|
|
ниями (7.1), (7.2). |
Геометрия |
таки х |
||||||||||||
|
|
|
|
цилиндров определяется параметрам и |
||||||||||||||
|
|
|
|
h, е, р, k , r t и |
со, (/ |
= |
0, |
1, |
2). В |
част |
||||||||
|
|
|
|
ности, на рис. 7.6 показаны попереч |
||||||||||||||
|
|
|
|
ные сечения |
двухслойны х |
поперечно |
||||||||||||
|
|
|
|
гофрированных |
цилиндров |
при |
(5 = |
|||||||||||
|
|
|
|
= |
0, k |
= 8, е |
= |
0,1, r 0 = |
1, гг = |
1,3, |
||||||||
|
|
|
|
г2 — 1,6 и |
следующих значениях |
па |
||||||||||||
|
|
|
|
раметров со/ для |
пяти вариантов д вух |
|||||||||||||
|
|
|
|
слойных цилиндров: / (% = |
1, <о0 = |
|||||||||||||
|
|
|
|
= |
С02 = |
0), |
/ / |
(С02 — 1, |
СО0 = |
COj = |
0), |
|||||||
|
|
|
|
I I I |
((»! |
= С02 |
= |
1, |
СО0 |
= |
0), IV |
(о»! = |
||||||
|
|
|
|
= |
1, |
©а = |
— |
1, |
<00 = |
0), |
V (а>0 = |
|||||||
|
|
|
|
= |
— 1, |
|
со 1 = |
со2 = |
1). |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
В предположении, |
|
что |
указан н ы е |
||||||||||
|
|
|
|
цилиндры |
высотой |
h = |
6 |
находятся |
||||||||||
|
|
|
|
под внутренним давлением, изменяю |
||||||||||||||
|
|
|
|
щимся вдоль оси 2 по синусоидально |
||||||||||||||
|
|
|
|
му |
закону |
(7.6) |
(Ро = |
|
1. P i |
= |
0, |
п = |
||||||
|
|
|
|
= |
1), |
исследовалось их |
напряж енное |
|||||||||||
|
Рис. 7.7 |
|
|
состояние |
при |
следую щ их |
упругих |
|||||||||||
|
|
|
постоянных изотропных |
слоев: |
vx = |
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
= |
0,05, |
v2 = |
0,25, |
G2 |
|
G | |
= |
2. |
|
|||||
В ли яние |
формы |
гофра |
на |
относительные |
напряж ения |
omj/qzs |
||||||||||||
проиллю стрируем на |
основе функции |
|
(7.2), |
где Р = |
|
0 отвечает |
вол |
|||||||||||
нистая (синусоидальная), |
Р = |
V9 — трапецеидальная |
|
и р = |
— V9 — |
|||||||||||||
треугольная |
формы |
поверхностей |
раздела. Д л я этих |
типов |
поверх |
ностей раздела на рис. 7.7 показано изменение аеед/^гз по характерной
части контура поперечного сечения г = |
3 ( / / / , k — 8, е = 0,1, r0 — 1, |
||||||||||||
г х = 1,3, |
г2 = |
1,6). Распределение ooe,t/qzs по толщ ине |
цилиндра для |
||||||||||
углов, соответствующих максимальным |
напряж ениям , |
иллю стрирую т |
|||||||||||
1 |
|
|
|
— |
7Т |
графики |
на |
рис. 7.8. |
А нализ число |
||||
|
|
|
вых |
результатов, |
а такж е |
граф иков |
|||||||
|
|
|
|
|
/'1 |
||||||||
Г |
|
|
|
|
на рис. 7.7, |
7.8 показы вает, что ф ор |
|||||||
|
|
|
|
\\ |
|||||||||
1 |
|
|
|
|
1 \ т |
ма |
гофра |
оказы вает |
сущ ественное |
||||
} |
|
|
|
/ |
X1 |
влияние |
на |
напряж енное |
состояние |
||||
|
|
|
/ Л 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Г |
|
|
|
7 Л Г |
|
|
|
|
|
Ш у |
|
||
|
|
|
|
|
^8,2/?ZS |
|
|
|
|||||
Г |
|
|
|
Ш |
|
|
|
|
|
'f o f |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
' l l |
|
|
|
||
|
|
|
У |
г |
|
|
7 |
у/ |
, |
|
|
|
|
|
|
-- |
|
|
|
|
|
|
|||||
> |
|
|
|
|
1 |
|
|
m . |
|
||||
/1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7^05 |
|||
|
/ 1 |
|
,ЙЖ |
|
I |
|
|
|
|
|
|
||
с____ |
|
|
° W |
|
|
|
|
II |
|
|
|
||
1 |
|
I |
|
|
|
|
f ------- |
|
|
|
~ |
—— |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Iff |
V |
и |
1,3 |
|
|
|
|
II |
TS |
20 |
24- |
28 к |
|
|
|
Рис. |
7.8 |
|
|
|
|
|
|
Рис. |
7.9 |
|
|
206
Т а б л и ц а 7.3
|
|
|
|
Приближение |
|
|
|
|
||
|
нулевое |
* |
первое |
|
|
* |
второе |
д£>. % |
|
|
6 |
|
|
I, |
8 = |
0,05, |
т |
== 1 |
|
|
|
0,497 |
90,0 |
—0,054 |
|
9,8 |
-0,001 |
0,2 |
0,442 |
|||
14 |
0,497 |
76,5 |
—0,151 |
|
23,2 |
-0,002 |
0,3 |
0,344 |
||
|
|
|
I, |
е = |
0,1, |
т |
~ |
1 |
|
|
6 |
0,497 |
81,5 |
—0,108 |
140,497 61,6 —0,302
И,е =
О О СЛ
17,7 |
-0,005 |
0,8 |
0,384 |
37,4 |
-0,008 |
1,0 |
0,187 |
, т = |
2 |
|
|
6 |
0,956 |
64,2 |
0,482 |
|
32,4 |
0,050 |
3,4 |
1,488 |
|
14 |
0,956 |
49,0 |
0,902 |
|
46,3 |
0,092 |
4,7 |
1,950 |
|
|
|
|
11, |
е = |
0,1, |
т = 2 |
|
|
|
6 |
0,956 |
45,0 |
0,964 |
|
45,5 |
0,202 |
9,5 |
2,122 |
|
14 |
0,956 |
30,5 |
1,805 |
|
57,7 |
0,369 |
11,8 |
3,130 |
|
|
|
|
III, |
е =■0,1,, |
т == 2 |
|
|
|
|
б |
0,956 |
45,9 |
0,981 |
|
47,2 |
0,144 |
6,9 |
2,081 |
|
14 |
0,956 |
28,7 |
1,917 |
|
57,5 |
0,458 |
13,8 |
3,331 |
|
цилиндра. |
Например, |
при |
р = |
— 1I9 (k = |
8) максимальные |
напря |
жения аее.г/^zi на внешней поверхности S 2 более чем на 30 % превы шают соответствующие напряж ения при р = V9. Ш триховые линии
соответствуют |
круговому |
ци |
|
|
Т а б л и ц а |
7.4 |
||||||||||
линдру |
(т. е. |
случаю |
невозму |
|
|
|||||||||||
СОл |
|
|
|
|
||||||||||||
щенных |
поверхностей |
раздела). |
|
|
|
|
||||||||||
н ао |
°00,|/«ZS |
°0e.2/<7zs |
||||||||||||||
Влияние |
|
параметров |
s |
и k |
~ 5^ |
|||||||||||
|
го” |
|
|
|
|
|||||||||||
(т. е. глубины и частоты гофри |
£5 о |
S0 |
s, |
|
|
|||||||||||
*8 |
S. |
5, |
||||||||||||||
ровки |
поверхности |
|
в |
случае |
||||||||||||
р = |
0) |
на |
относительные |
напря |
|
8 = ■0, 0 < |
0 < 2n |
|
||||||||
ж ения |
(Х0еУ<7г5 |
показано |
на |
I -V |
0,750 |
0,497 |
1,165 |
0,956 |
||||||||
рис. |
7.9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e =• o,i, e ==Зя/16 |
|
||||
Об |
|
этом свидетельствуют так |
|
|||||||||||||
ж е |
числовые |
данные |
табл. |
7.3. |
1 |
0,751 |
0,270 |
0,710 |
1,029 |
|||||||
Например, |
максимальные |
зна |
и |
0,683 |
0,497 |
1,197 |
2,905 |
|||||||||
чения Цоэ.г/^г.'- |
на поверхности S 2 |
111 |
0,691 |
0,233 |
0,656 |
2,952 |
||||||||||
IV |
0,939 |
0,377 |
0,962 |
0,226 |
||||||||||||
(вариант |
II) |
|
с увеличением |
па |
||||||||||||
|
V |
3,306 |
0,404 |
1,113 |
2,647 |
|||||||||||
раметра е |
в |
два |
раза |
(0,05 ^ |
|
8 = |
0,1, 0 = |
я /16 |
|
|||||||
^ е ^ |
0,1) |
возрастаю т при k — |
|
|
||||||||||||
— 6 |
примерно на 42,6 %, |
а |
при |
I |
0,792 |
0,683 |
1,763 |
0,892 |
||||||||
/г = |
14 |
— на |
60,5 |
% . |
Заметим, |
II |
0,944 |
0,567 |
1,331 |
0,126 |
||||||
что |
максимальные |
относитель |
III |
0,992 |
0,717 |
1,843 |
0,036 |
|||||||||
ные |
напряжения |
для |
каждого |
IV |
0,719 |
0,720 |
1,881 |
2,869 |
||||||||
V |
—0,772 |
0,780 |
1,939 |
0,271 |
||||||||||||
слоя достигаются |
на |
граничных |
|
|
|
|
|
207
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а ' 7.5 |
|
поверхностях. |
Т абл. |
7.4 |
||||||||||
|
|
0 |
|
|
0 |
|
оп |
|
|
дает |
представление |
об |
их |
|||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
величине |
при характерны х |
||||||||||||
|
Tr.2-10' |
Т0.2*10’ |
< 2-104 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
значениях 0 |
= |
я /1 6 |
и 0 = |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
л/16 |
0,168 |
0,086 |
0,966 |
|
|
= |
Зя/16 (г = 3, |
k — 8, |
р = |
||||||||||
|
|
|
= |
0, в = |
0,1) для различ |
|||||||||||||||
Зл/16 |
0,168 |
0,257 |
0,966 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
ных |
вариантов |
двухслой |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ных толстостенных цилинд |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 7.6 |
|
ров |
(см. рис. 7.6). |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
П рактическую |
сходи |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Вариант |
|
аее.1'Чк |
a00,2^2S |
|
|
мость |
процесса |
последова |
|||||||||||
|
|
|
|
тельны х приближений мож |
||||||||||||||||
цилиндра |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
(рис. 7.6) |
|
|
|
S, |
5, |
S, |
|
|
но |
оценить |
на |
основе |
чис |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ловых |
данны х табл . 7.3 |
по |
||||||||
|
|
|
е = |
0, |
0 < 0 < 2л |
|
|
|
критерию , |
излож енном у |
в |
|||||||||
|
I—IV |
|
0,360 |
0,238 |
0,696 |
0,570 |
|
§ 3 гл. 6. |
В частности, далее |
|||||||||||
|
|
|
при k |
= |
14, s = |
0,1, т |
= |
2 |
||||||||||||
|
|
ё = |
0,1, |
0 = Зя/16 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
(вариант III) третье при |
|||||||||||||||
|
I |
|
0,403 |
0,039 |
0,320 |
0,648 |
|
ближение, |
вы численное на |
|||||||||||
|
и |
|
0,326 |
0,261 |
0,666 |
1,761 |
|
основе |
неравенства |
|
(6.51), |
|||||||||
|
ш |
|
0,381 |
0,037 |
0,260 |
1,845 |
|
не |
|
превосходит |
3,3 |
% . |
||||||||
|
IV |
|
0,514 |
0,101 |
0,470 |
0,142 |
|
О степени точности удов |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
е = |
0,1, |
0 = |
я/16 |
|
|
|
летворения |
|
полученны х |
||||||||
|
I |
|
0,367 |
0,406 |
1,189 |
0,476 |
|
приближ енных |
решений |
|||||||||||
|
|
|
краевым |
условиям |
|
(3.46) |
||||||||||||||
|
II |
|
0,482 |
0,276 |
0,816 |
—0,068 |
|
|
||||||||||||
|
III |
|
0,500 |
0,420 |
1,280 |
—0,020 |
|
на |
|
свободной от н ап ряж е |
||||||||||
|
IV |
|
0,322 |
0,454 |
1,190 |
1,663 |
|
ний |
|
гоф рированной |
по- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
о |
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
верхности S 2 (тГ2 = |
TQ2 = |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
т г.2 = |
0) двухслойного изотропного цилиндра |
(III, |
k = |
8, |
р |
= |
1/9, |
||||||||||||
г |
= 3), находящ егося под внутренним |
давлением, |
можно судить |
на |
||||||||||||||||
■основе числовых данных табл. |
7.5. В |
ней приведены |
приближенные |
|||||||||||||||||
|
|
о |
о |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
значения т " 2, те>2, т " 2, соответствующие левым |
частям |
краевы х |
усл о |
|||||||||||||||||
вий (3.46). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1.5. |
|
Двухслойные трансверсально |
изотропные |
цилиндры. |
|
И ссле |
|||||||||||||
дуем напряженное состояние двухслойных трансверсально изотропных |
||||||||||||||||||||
цилиндров |
высотой h = |
6 (см. рис. |
7.6, |
варианты |
/ — IV ), |
находя |
||||||||||||||
щ ихся под |
переменным |
вдоль |
оси г |
внутренним |
давлением, |
которое |
||||||||||||||
-описывается функцией (7.6) при р 0 = |
1, р 2 = |
0, п |
— 1. |
Д л я числовых |
||||||||||||||||
расчетов |
приняты |
значения упругих |
постоянных |
cif |
трансверсально |
изотропных материалов, приведенные в табл. 2.2 (первый слой — ма териал № 4, второй слой материал № 5). Изменение oqqj/Qzs по толщине
цилиндров |
(варианты I, |
I I I , IV , |
k = 8, г = |
3, Р = 0, |
0 = Зя/16) |
показано |
на рис. 7.10. |
Результаты |
числовых |
расчетов |
напряж ений |
owj/qzs на поверхностях раздела четырех вариантов двухслойных цилиндров приведены в табл. 7.6.
Зависимость относительных напряжений огее,2/<72« от частоты гофри р о вк и k на поверхности S 2 { III, z = 3, 0 = Зя/16) иллю стрируй
208
рис. 7.11 (линии 1 — изотропные слои, линии 2 — трансверсально изотропные слои), а такж е данные табл. 7.7.
Отметим, что в рассматриваемом случае напряж ения ае0,2lqzs на S 2 в трансверсально изотропном цилиндре несколько сильнее реагируют на изменение частоты гофрировки, нежели в изотропном цилиндре (см. рис. 7.9). Например, при увеличении частоты в интервале б ^ k ^
^22 указанные напряж ения в трансверсально изотропном цилиндре
увеличиваю тся в 2,7 раза, |
а |
в изотропном — в 2,2 раза. |
||||
1.6. |
Частные случаи. Если упругие постоянные слоев составного |
|||||
продольно |
гофрированного |
цилиндра |
соответственно |
равны между |
||
собой, то |
краевая |
задача |
существенно |
упрощ ается. Такие цилиндры |
||
являю тся |
частным |
случаем |
вариантов, показанных, |
например, на |
рис. 7.1, 7.6. В работе 1116] исследовано напряж енное состояние про дольно гофрированных изотропных полых' цилиндров, неканонические поверхности которых описываются уравнениями (7.1), (7.2), а внут
реннее (р0 = |
1; Pi = 0) или |
внешнее (р0 = |
0; |
= |
1) давление ха |
рактеризуется функцией (7.6). При этом на торцах |
цилиндра г — h |
||||
автоматически |
выполняются |
краевые условия |
(3.69). |
В табл. 7.8 при |
ведены числовые значения напряжений Omlqz* на граничных поверх
ностях |
( т = |
0; 1) для |
р = |
0; |
е = 0,1; n |
= 1 и различных значе |
ний параметра |
толщины |
^ ( 6 |
= |
1 отвечает |
внутреннему давлению, |
|
а 6 = |
0 — внешнему). Они свидетельствуют о том, что с увеличением |
толщины вклад нулевого приближения увеличивается и, следователь но, уменьшается вклад гофрировки поверхности, что вызвано послаб лением взаимного влияния граничных поверхностей. Кроме этого
сувеличением толщины
улучш ается |
|
практическая |
|
|
|
Т а б л и ц а 7.7 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
сходимость |
на гофрирован |
|
Изотропные слон |
Трансверсалыго |
||||||||
ной |
поверхности, |
что |
со |
k |
|
|
изотропные слон |
|||||
гласуется |
с выводами, |
сде |
|
|
|
|
||||||
|
8 = 0 |
е = ОД |
8=0 |
е = од |
||||||||
ланными |
в |
п. 1.3 |
гл. 6. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
Это |
заметно |
проявляется, |
6 |
0,956 |
2,081 |
0,570 |
1,528 |
|||||
когда обе |
|
граничные |
по |
|||||||||
|
14 |
0,956 |
3,331 |
0,570 |
2,872 |
|||||||
верхности |
|
являю тся |
нека |
22 |
0,956 |
4,519 |
0,570 |
4,227 |
||||
ноническими, |
так |
как |
при |
|
|
|
|
|
2С9
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л г ц |
а' 7.8 |
|
|
|
|
|
|
|
Приближение |
|
|
|
сее |
||
Гл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нулевое |
|
|
% |
первое |
|
|
второе |
Af>. % |
|
?ZS |
||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S,n |
на Sx (S0 ~ |
т = |
1 + |
е/, |
|
~ г = |
rlf |
0 = |
лМ, k = 6, |
6 = 0 ) |
|
|
|
1,4 |
—3,145 |
|
64,4 |
—1 ;404 |
|
•28,7 |
—0,338 |
6,9 |
—4,887 |
|||
1,6 |
—2,352 |
|
75,2 |
—0,577 |
|
18,4 |
-0,200- |
6,4 |
—3,129 |
|||
1,8 |
—1,970 |
|
82,9 |
—0,281 |
|
11,8 |
—0,127 |
5,3 |
—2,378 |
|||
|
на S0 (S0 ~ |
г = |
1 -)- в/, |
~ |
/• = |
Гх + |
8/, 0 — я / 16, k = 8, 6 ! |
1) |
||||
|
2,529 |
|
28,0 |
5,742 |
|
63,7 |
0,749 |
|
= |
|||
1,5 |
|
|
8.3 |
|
9,020 |
|||||||
1.6 |
2,206 |
|
29,3 |
4,914 |
|
65,4 |
0,398 |
5,3 |
|
7,518 |
||
1,7 |
1,976 |
|
30,0 |
4,408 |
|
66,9 |
0,201 |
3,1 |
|
6,585 |
||
|
на |
< |
Г = |
1 r Si ^ |
Г — Г1 + 8 /, 0 .== n/4,,ft = |
14, б = |
1), |
|
||||
1,7 |
1,106 |
|
33,3 |
|
1,934 |
|
58,3 |
0,279 |
8,4 |
|
3,319 |
|
1,9 |
0,813 |
|
36,4 |
|
1,269 |
|
56,8. |
0,153 |
6,8 |
|
2,235 |
|
2,0 |
0,712 |
|
37,1 |
|
1,056 |
|
56,6 |
0,118 |
6,3 |
|
1,886 |
|
уменьш ении г\ их |
взаимное |
влияние |
увеличивается и, следовательно, |
|||||||||
увеличивается |
погрешность |
МВФГ. |
|
|
|
|
|
В работе 11131 изучено напряж енное.состояние трансверсально изо тропного полого цилиндра высотой h с внутренней круговой цилиндри
ческой |
поверхностью S 0 |
и внешней продольно гофрированной поверх |
||
ностью |
S lf описываемой |
уравнениями |
(7.1), |
(7.2), возникаю щ ее от его |
тепловой посадки или прессовки на |
ж есткий вал переменного ра |
|||
диуса |
г — 1 + 6* sin Xnz, где 6* = |
6 7 r0 |
(б' — натяг, г0 — радиус |
внутренней поверхности цилиндра). В этом случае граничные условия
в перемещ ениях на S 0 (если не учитывать возможное |
проскальзывание) |
|||||
имеют вид |
|
|
|
|
|
|
« Г |r=i |
= |
б sin Xnz, |
u f |
|r=l = |
u f |л=1 = |
0, |
u T |r=i = |
0 |
( / > 1 , |
t = |
r , G ,z; |
X„ = - 2 L ) . |
К раевы е условия на свободной от напряж ений внешней поверхности
S j в произвольном приближении имеют вид (3.46), где т/,| = 0. Торцы
,z . = 0, h предполагаются свободными от нормальной нагрузки и не смещ аются в своей плоскости, т. е. на них краевые условия в произ
вольном приближении имеют вид (3.69). При такой |
постановке н ап р я |
||||||
ж енное состояние |
рассматриваемого |
цилиндра |
качественно аналогич |
||||
но возникаю щ ему |
от внутреннего |
давления, |
которое изменяется |
по |
|||
синусоидальному |
закону (7.6). Н а |
примере |
этого |
частного |
случая |
||
выясним два вопроса: влияние параметра толщины |
на напряж енное |
||||||
состояние при различных формах и частотах |
гофрировки; |
а такж е |
|||||
влияние каждой |
из упругих постоянных сц трансверсально |
изотроп |
|||||
ного материала |
на окруж ны е напряж ения вблизи гофрированной |
по |
верхности. Ответ на первый вопрос дают числовые результаты табл. 7 .9 ,
210