книги / Элементы механики кусочно-однородных тел с неканоническими поверхностями раздела
..pdfИ з граничны х условий (4.106) или (4.107) и условий сопряжения (4.108) или (4.109) в итоге получаем систему алгебраических уравне ний д л я определения произвольных постоянных, входящих в вы раже
ния для |
u f f , |
которые соответствуют общему решению уравне |
ний равновесия |
(4.102). |
|
Таким |
образом, в настоящ ей главе поставленные краевые задачи |
стационарной теории теплопроводности и термоупругости для ортого нальны х и неортогональных неканонических областей сведены к ре куррентной последовательности краевы х задач для соответствующих канонических областей.
Замечание. Аналогично могут быть рассмотрены краевые задачи теории теплопроводности и термоупругости для слоистых тел с по верхностями раздела, близкими к плоским и коническим, которые яв ляли сь объектом исследования § 1,5 гл. 3.
Г л а в а 5
ПРИМЕНЕНИЕ МВФГ В СОЧЕТАНИИ
СДРУГИМИ АНАЛИТИЧЕСКИМИ М ЕТОДАМ И
ВНЕКЛАССИЧЕСКИХ КРАЕВЫХ ЗА Д А Ч А Х
П од неклассическим и краевыми задачами механики кусочно-однород
ных у п р у ги х тел |
с неканоническими поверхностями раздела (в тем |
числе граничны ми |
поверхностями) в настоящ ей главе будем понимать |
так и е, которые ввиду математических трудностей принципиального |
х ар актер а не поддаются аналитическому реш ению с помощью разви
ты х в гл . 2, 3 вариантов метода возмущения формы границы |
(М ВФ Г), |
||||||
несм отря |
на то что |
геометрия границ раздела |
рассм атриваем ы х тел |
||||
относится |
к тому ж е |
классу ортогональны х или неортогональны х |
по |
||||
верхностей . К |
ним, |
в частности, относятся краевы е задачи для |
не |
||||
канонических |
областей |
конечных размеров, |
требую щ ие |
наряду |
с |
||
М ВФ Г на |
каж дом этапе итерационного процесса применения метода |
||||||
суперпозиции |
Л ам е |
(или |
метода однородных решений); краевы е зад а |
чи для тел неканонической формы с усложненными упругими свойст вами (физическая нелинейность, неоднородность, анизотропия), для реш ения которых в ряде случаев можно эффективно использовать М В Ф Г в сочетании с методом возмущения упругих свойств; некоторые связанны е квазистатические краевые задачи механики насыщенных сред с неканоническими поверхностями раздела, допускаю щ ие ан али тическое реш ение М ВФ Г вместе с методом преобразования Л ап ласа по времени, и др. Подходы к реш ению каж дого из указанны х классов краевы х задач имеют свои особенности и различия, однако общим для них является геометрия и исследуемые физико-механические поля рассматриваемых тел, которые приводят к необходимости примене ния М ВФГ совместно с другими аналитическими методами.
§ 1. М етод суперпозиции и МВФГ в краевы х задачах д л я конечных упругих ц илиндров с осесим м етричны м и вы точкам и
Аналитическое решение пространственных краевы х задач теории у п ру гости для тел конечных размеров сопряж ено со значительными мате матическими трудностями. В настоящее время для такого класса за дач успешно развиваю тся преимущественно два аналитических мето да: суперпозиции и однородных решений.
142
П ервый из них основан на идее Л аме [154]. Она первоначально относилась к задаче о симметричном (относительно трех плоскостей симметрии) напряженном состоянии параллелепипеда под действием нормальны х нагрузок на гранях. Принцип суперпозиции для указан
ной |
задачи заклю чается |
в следующем: если требуется удовлетворить- |
|
краевы м условиям |
на трех парах граней параллелепипеда, то необхо |
||
димо |
использовать |
три |
соответствующих линейно независимых ре |
ш ения уравнений равновесия для слоя. Такой подход неизбежно при водит к бесконечной системе алгебраических уравнений относительно постоянных коэффициентов рядов, входящ их в каждое решение для слоя. Теория такого типа бесконечных систем, в которой наряду с дру гими математическими вопросами должное внимание уделено исследо
ванию асимптотических свойств неизвестных постоянных, |
разработана |
|
Б . М. Кояловичем [42]. На ее основе метод суперпозиции |
получил су |
|
щественное развитие в монографии |
В. Т. Гринченко [19] применитель |
|
но к статическим и динамическим |
задачам теории упругости для тел |
конечных |
размеров, ограниченных координатными поверхностями (или |
|||||
линиями) |
различных |
семейств. |
|
|
||
Второй аналитический подход к решению краевых задач для тел |
||||||
конечных |
размеров — метод однородных решений — впервые предло |
|||||
ж ен |
в работах П. А. Шиффа [158] и |
В. А. Стеклова [134]. Сущность |
||||
его |
заклю чается в том, что |
ставится |
граничная задача |
о построении |
||
собственных функций |
на |
части общей границы тела, |
являющейся |
координатной поверхностью одного семейства, при нулевых напряже
ниях |
или смещ ениях на остальной части границы, которая принадле |
||
ж ит |
к другому семейству координатных поверхностей. Развитие и |
||
практическое применение этот подход получил |
в работах В. К. Про |
||
копова [125] (он освещен |
такж е в монографии |
[51]). |
|
Задача принципиально |
услож няется, если |
одна из частей общей |
|
границы тела (например, |
боковые или торцевые поверхности цилин |
дра) отклоняется от координатной поверхности.
В работах [11, 89, 91] предложен подход к решению пространствен ных задач теории упругости для цилиндрических тел конечных разме
ров с боковыми или торцевыми |
выточками, основанный на совместном |
||||||||
применении |
МВФГ и принципа |
суперпозиции. Сущность его состоит |
|||||||
в том, |
что с |
помощью второго варианта М ВФГ (см. гл. 3) поставленные |
|||||||
задачи сводятся к рекуррентной последовательности соответствующих |
|||||||||
краевы х задач для круговых цилиндров конечных размеров, в которых |
|||||||||
торцы совпадают с координатными плоскостями, а на каждом этапе |
|||||||||
итерационного |
процесса |
применяется |
принцип |
суперпозиции. Это |
|||||
приводит в каждом из последовательных приближений к бесконечной |
|||||||||
системе алгебраических уравнений, в которых асимптотические свой |
|||||||||
ства |
неизвестных постоянных |
исследуются с помощью разработанного |
|||||||
в [19, |
20, 42] метода. Такой |
подход излагается |
ниже применительно |
||||||
к осесимметричным задачам для |
конечных изотропных и трансверсаль |
||||||||
но изотропных упругих цилиндров с выточками |
на боковых и торце |
||||||||
вых |
граничных |
поверхностях. |
|
|
|
||||
1.1. |
Цилиндры с |
выточками на |
боковых |
поверхностях. Д л я про |
стоты изложения рассмотрим сплошной цилиндр, боковая поверхность
143
S r которого в безразмерных цилиндрических координатах г, z (отне
сенны х |
к |
радиусу |
г0 соответствующего |
невозмущ енного |
цилиндра) |
||||||||||||||||||
описывается уравнением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
r = |
l + |
e/(z) |
( | в К 1 ) , |
|
|
|
|
|
|
(5.1) |
||||||
где f (2) — непрерывная и дифференцируемая |
ф ункция, |
хар актер и зу |
|||||||||||||||||||||
ю щ ая |
геометрию |
поверхности |
|
S r. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Д опустим , |
что |
в |
направлении |
оси |
г |
рассм атриваем ы й |
цилиндр |
||||||||||||||||
ограничен |
координатными |
плоскостями |
S * , |
т. е. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
S f ~ z |
= h, |
ST ~ z |
= |
— h |
|
{h = const). |
|
|
|
|
(5.2) |
||||||||
П усть требуется |
определить |
напряженно-деформированное |
состояние |
||||||||||||||||||||
рассм атриваем ого |
цилиндра в случае действия осесимметричны х |
уси |
|||||||||||||||||||||
л и й |
F k (z) (k = г, z) на боковой |
поверхности |
S r и Q * (г) на |
|
торцах |
||||||||||||||||||
Sz |
С ледовательно, на общей границе цилиндра краевы е условия име |
||||||||||||||||||||||
ют |
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(оггЯг -f~ ^ггЛг)г=1+е/(г) = |
F г, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(рггПг -J- ОггЦг)г=1+е/|г) ~ |
F г’ |
|
|
|
|
|
(5.3) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
Огг |z=±h = |
Qr » Огг |z=±ft = |
Qz • |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
.Д л я |
реш ения |
поставленной |
|
осесимметричной задачи |
необходимо |
||||||||||||||||||
найти |
перемещения иГ, иг и напряж ения агг, стае, сггг, |
о гг, |
удовлетворя |
||||||||||||||||||||
ющие уравнениям |
равновесия |
|
(2.12) |
(в отсутствие |
объемных |
сил) и |
|||||||||||||||||
краевым |
условиям |
(5.3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Согласно |
второму варианту МВФГ (см. гл. 3) реш ение задачи ищ ем |
|||||||||||||||||||||
в виде рядов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
м»!= Е |
е У / \ |
a km = |
£ |
e'ojS*. |
|
|
|
|
|
(5.4) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
/=о |
|
|
|
|
|
|
/=о |
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда |
в |
/-м приближении (/ > |
0) на |
основе (5.3), (5.4) |
получаем сле |
||||||||||||||||||
дую щ ие краевые |
условия |
на |
координатных |
поверхностях: |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
Л!) I |
|
= |
F /{] — £ |
[D fa 5 T s) + |
D f o g A - i |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
Огг 1г=1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
s=I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_(/1 1 |
|
II |
|
" S 1 |
- |
|
|
Q |
a I |
|
|
|
|
|
= <pi"!(z), |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
M |
Б |
+ |
« |
- |
* |
1,-1 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
Огг |г=1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nii) I |
|
f |
_гл±(/> |
= |
f i \ r ) , |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
°2Z |z=±ft = |
Чг |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
nU) 1 |
|
, |
_ |
n ±(/) |
= |
± q 4 'V > . |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Orz \z=±h — 4.r |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Зд есь |
F iP,{ |
Q(iP — известные |
|
коэффициенты |
разлож ений |
|
заданны х |
||||||||||||||||
функций |
F k, Q t |
в ряды по степеням е (если F k и Q* не |
зависят |
от е, |
|||||||||||||||||||
то |
F ? = |
F„, |
|
|
= Q „ |
f t |
|
= |
Q*u> |
= |
0 |
при / > |
1). |
|
|
|
|
|
|||||
|
Д л я |
удовлетворения |
граничным |
условиям |
(5.5) |
в соответствии с |
|||||||||||||||||
известным методом суперпозиции [19, 201 предположим, |
что |
компо- |
|||||||||||||||||||||
.ненты перемещений |
w(/ \ |
и(Д |
|
а |
такж е |
напряжений |
a Jr\( |
а $ , |
|
о Д |
<$1, |
||||||||||||
144 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
соответствую щ ие |
общему |
решению |
уравнений |
равновесия, состоят из |
|||||||||||||
д ву х |
частей: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и)? = |
иЦ\ + |
Ы*.2, |
Окт = 0*т. I + |
^т.2 - |
|
|
(5.6) |
|||||||
Компоненты |
|
выбираю тся в такой форме, чтобы найденные по ним |
|||||||||||||||
на основе соотношений (2.9) и закона |
Гука |
(2.31) или |
(2.34) напря |
||||||||||||||
ж ения Okl, 1 удовлетворяли |
граничным |
условиям |
(5.5) на |
поверхнос |
|||||||||||||
ти |
г — 1. |
Составляющ ие |
|
ufy |
выбираются |
так, |
чтобы |
напряжения |
|||||||||
«4т,2 удовлетворяли |
краевым |
условиям на |
торцах г = |
|
Н апря |
||||||||||||
ж ени я, соответствующ ие первой и второй частям (5.6), должны |
иметь |
||||||||||||||||
вид рядов |
по полным |
на отрезках |
0 ^ |
r |
1 и —h ^ . z ^ h системам |
||||||||||||
ортогональны х функций. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
И з о т р о п н ы й |
ц и л и н д р . Согласно |
представлению |
реше |
||||||||||||||
ния |
уравнений равновесия изотропного тела в форме П. Ф. Папкови- |
||||||||||||||||
ча — Г Нейбера |
(2.52) в случае осевой симметрии компоненты |
пере |
|||||||||||||||
мещений |
«ЦР (k — г, z) определяю тся |
по формулам |
|
|
|
||||||||||||
|
и<п = |
дг |
|
4 ( l _ v ) 4 '< /), |
|
|
дФ^ |
— |
4(1 - v |
) ^ , |
(5.7) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дг |
|
|
|
|
|
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q U) = |
цг</) + |
|
r \y(/'i + 2y ( j\ |
|
|
|
(5.8) |
|||||
Зд есь |
|
— гармонические |
|
ф ункции, |
а |
Ч'У1 |
удовлетворяет |
||||||||||
уравнению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д2 |
— |
^ |
|
(Г, z) — 0. |
|
(5.9) |
|||
|
|
|
дг* ^ |
г |
дг |
^ |
дг2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В предположении, что цилиндр находится под действием усилий, сим метричных не только относительно оси г, но и плоскости г — 0, функ
ции |
xFo(l, |
¥ $ , |
^ ? i» |
отвечающ ие первым частям |
(5-6), выбираются |
||||||
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y # |
= |
ао° (г) + |
Е |
<*пЛ (г) cos knz, |
4^1 |
= 0, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.10) |
|
|
Уол |
= |
6оЛ (г) + |
Е |
b f (г) cos knz |
(ftn = |
. |
|||
Ф ункции |
¥0(2, |
|
|
гР^2, соответствующие вторым слагаемым в (5.6), |
|||||||
выбираю тся в форме |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
4 |
$ |
= |
0, |
Ч'(Д |
= |
со0 (z) + Е |
c\h (г) J 0 (V )* |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.11) |
|
|
|
|
= |
4 / , (2) + |
Е |
d \» (z)Jo |
(V )» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f=i |
|
|
|
|
где |
к{ — корни |
уравнения |
J x (X) = 0; |
J n (Xjr) — функция Бесселя |
|||||||
первого |
рода. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
145
Т ак |
как |
ф ункции |
|
|
|
= 0, |
z\ |
£ = I; |
2) долж н ы |
быть |
гарм они |
|||||||||||||||
ческими, |
а |
ф ункция |
|
|
|
Должна удовлетворять уравнению (5.9), |
||||||||||||||||||||
то |
на |
|
основании |
этого |
легко |
получить |
уравнения |
для |
|
|
ф ункций |
|||||||||||||||
а р (г), |
|
Ь р |
(г), |
с р |
(2), |
d f |
(2): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( " г г |
+ |
~ r |
|
So" (о |
= |
о, |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
- £ r # |
М = |
о, |
|
-g^r *ЙР(г) = О, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J___d_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.12) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
dr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
d2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n !> |
1, |
£ !> |
1). |
|
|||
|
( |
dz2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
У читы вая |
требование |
ограниченности решений уравнений (5.12) |
||||||||||||||||||||||||
при |
г |
|
= |
0, |
представления |
(5.6), |
(5.7), (5.10), (5.11), а |
так ж е |
симмет |
|||||||||||||||||
рию |
поля напряж ений |
относительно |
координатной |
плоскости 2 = 0 , |
||||||||||||||||||||||
д л я |
перемещений получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и Р |
= |
B f r |
+ |
2 |
\А р z sh Xcz + C f ch X{z] |
( V ) |
+ |
|
|
|
|
|
||||||||||
+ |
2 |
|
[ В™ ■4 '1ь ~ - ~ |
11 (knr) — B^ r I о ( V ) — D n{ l i (knr)I cos knr, |
|
|
||||||||||||||||||||
|
n=1 L |
|
|
Rn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
(5.13) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
u f |
= |
4 " |
Z + |
s |
A P |
3 |
. 4vsh X/Z — A pz ch X(z — |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=l L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— C p sh V |
J |
J 0 (V ) |
+ 2 ISn'V/i ( V ) |
+ ^ n ’/o ( M |
l |
sin knz. |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/1=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь |
|
I„(k nr) — ф ункция |
Бесселя |
мнимого |
аргумента; |
А р , |
|
В Р , |
С р , |
|||||||||||||||||
D P — произвольные |
постоянные. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
В |
|
случае |
антисимметричного |
|
относительно плоскости |
|
2 = |
0 |
на |
||||||||||||||||
пряж енного |
|
состояния |
вы раж ения |
для компонентов |
перемещений |
|||||||||||||||||||||
имеют |
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
и Р |
= |
|
— 2(1 — v) ( В р + |
С Р) гг + |
2 |
[A pz ch \ г |
+ C P sh М |
h |
( V ) |
+ |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
S |
Г- |
|
|
4(lr |
Л |
V)' 7‘ ( W |
+ |
|
BnV /, ( м |
+ |
О У /, ( V ) |
|
sin /г„2; |
||||||||||||
|
|
/1=1 L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5. И ) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
и Р |
= |
|
|
+ В р г2 + |
C pz2 + |
2 |
|
[/11Л |
|
ch Х<2 - |
4 |
Лг sh V |
- |
|
|||||||||||
|
|
|
— С р ch М ] |
«/0 (^ г) + |
[BP r I l (&„г) -{- D ^’/ 0 (ifenr)J |
cos knz. |
|
T46
В (5.13), (5.14) |
слагаемы е |
с |
произвольными постоянными А(Р , С|Л |
||||||||
соответствую т решению для периодически нагруженного слоя |
и эта |
||||||||||
часть |
реш ения |
(5.6) ответственна |
за удовлетворение граничным |
усло |
|||||||
виям |
(5.5) на торцах z = |
± / i , |
а слагаемые с произвольными постоян |
||||||||
ными |
B p , DjP |
соответствуют решению |
для периодически нагружен |
||||||||
ного |
цилиндра |
и удовлеворяю т граничным условиям (5.5) на боковой |
|||||||||
поверхности г = |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Н а основании |
закона |
Гука |
(2.34) и выражений (5.13) или (5.14) |
||||||||
легко |
записать |
формулы |
д л я |
компонентов напряжений |
aim- |
|
|||||
В |
предположении, |
что |
в |
краевы х |
условиях (5.5) |
выполняются |
|||||
равенства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f P (z ) = |
f (/ ) ( - z ) , |
ср!л (2) |
= - с р '/ Ч - г ) , |
|
(5.15) |
при построении общего решения задачи можно ограничиться представ лением (5.13). Кроме этого будем считать, что в рассматриваемой крае
вой |
задаче выполнены |
условия |
парности касательных напряжениям |
|||||||||||||
по угловым |
линиям (г = |
1, г = |
± |
к), |
т. е. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
ф<7) (h) = |
ф2;) (1), |
ф<7) (— ft) = |
— ф2У) (1). |
(5.16) |
|||||||||
Д л я |
этого необходимо, |
чтобы производная |
f ' (z) обращась в ноль при |
|||||||||||||
z = |
± Л и относительно заданны х |
усилий соблюдались условия |
||||||||||||||
|
|
|
F P |
(ft) = |
Qr±(/) (1), |
F f |
( - ft) = |
- |
Q*(7) (1). |
(5.17) |
||||||
Д л я |
реш ения |
краевой |
задачи с граничными условиями (5.5) предста |
|||||||||||||
вим функции / (Д |
ф;Л рядами Ф урье и Ф урье — Дини: |
|
||||||||||||||
|
f P |
(z) = f P + |
£ |
f P cos knz, |
|
ф1Л (z) = |
£ |
ф(1п sin knz, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.18) |
|
f p |
(z) = |
/20 + |
£ |
|
f p J Q( V ) . |
|
Ф21(г) = |
£ |
Фи Л (Я,г), |
||||||
|
|
|
|
|
£=1 |
|
|
|
|
|
|
i=l |
|
|
||
коэффициенты |
которых определяю тся по известным формулам: |
|||||||||||||||
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
/ 1 0 = 4 " 0S № |
w |
dz’ |
№ |
= |
x 0J ^ |
w |
cos k"zdz' |
|
||||||
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
ф $ |
— |
£ ф!Л (z) sin knzdz, |
/20 = 2 j |
/гЛ (г) rdr, |
(5.19) |
|||||||||
|
|
|
t |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
/2? = -.y f. , |
$ |
И |
•/« (Я.г) rd r, |
ф2; = - г Л — |
J Ф2Л (r) J t ( V ) |
|||||||||||
|
•'о |
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
J() lAj) |
0 |
|
|
||
Подстановка выражений для |
напряж ений, |
соответствующих пере |
||||||||||||||
мещениям (5.13), |
и рядов |
(5.18) в краевы е условия |
(5.5) |
показывает, |
||||||||||||
что |
так как |
(Я/) = |
0 |
и |
sin knh |
= |
0, то |
условия |
для касательных |
|||||||
напряж ений приводят |
к следующим |
зависимостям |
между |
произволь |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
147 |
ными |
постоянными: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С \% |
= |
A f (1 — 2v — %th cth Щ |
|
Фй |
|
||||
|
+ - jjfg jj- , |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.20) |
|
n</)fe |
_ |
Го И _V)__k |
|
^ |
1 -I---- — ___ |
|
|||
|
U n bn - t S n |^ ( 1 |
V) |
Ra h(kn) |
J f |
h(kn) • |
|
||||
П ри |
удовлетворении |
краевым |
условиям |
(5.5) для |
норм альны х |
н ап ря |
||||
ж ений используем представления |
гиперболических ф ункций |
триго |
||||||||
нометрическими |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sh %h |
v i |
2 (— l)n %, sh K.h |
|
|
|||
|
Л %iZ = |
+ |
2 |
|
h u £ + tf> |
cos knZ' |
(5.21) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г sh Xtz = |
------- + Yj |
\ t _ |
3 |
r |
ch V * cos k*z + |
|
|||
|
|
£ |
Kin |
n=l |
Rn |
' Ki |
|
|
|
2 (— l)n (k„ — Ц) sh W h(k2 + ^ ) a
|
i . м |
|
- |
Rn |
+ |
a . / , |
|
S |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ Ц) Jo ( \) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.22) |
|
V |
/ i |
(V ) = |
2 /0 (*„) - |
|
|
+ |
2k'nI 0' (/>„) x |
|||
|
у |
|
^o(V ) |
|
- |
|
( / ? ) У |
|
/д(Х£г) |
||
|
f i |
< 4 + 4> |
|
<V |
|
|
1 ( |
,t ! |
< 4 + Ч> л (4) |
||
В итоге приходим к системе уравнений второго порядка |
|||||||||||
|
2v |
0(Л | |
1 — v |
да) |
|
rf/) |
л |
V ( |
1 \« Ф1я |
||
Т ~ 2 7 Во + T - 2 V |
|
= Л о — 2 У (— 1) - г — . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=i |
(5.23) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 — 2v |
вС/> i |
|
v |
у|(Л_х(Л |
• |
V1 |
Ф2^ |
|||
|
+ " i _ 2 v |
Л° |
~ |
/ 10----- г 2 J |
J о (^f) |
||||||
и к бесконечной |
системе алгебраических уравнений |
||||||||||
|
|
|
л л _ |
1 |
V |
./л |
|
kl |
|
, |
|
|
|
|
" |
|
|
1 |
w |
|
+ t |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.24) |
|
|
|
|
I |
V» |
,(/) |
|
_______ |
Мл |
||
|
|
|
|
|
____ |
||||||
|
|
|
|
|
] £ |
*я |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
> |
|
" « г + Ч )* "г г < ’ |
||||
в которой |
вместо Л / |
и б!/1 введены |
новые неизвестные по формулам |
||||||||
*пл = |
8G (— |
l)rt |
|
(/г„), |
£/1л |
= |
- - § £ . л 1 '\ Sh у г . / 0 (^ ) . (5.25) |
148
К ром е этого в (5.24) введены обозначения |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
, |
= _ L \ А |
(*я> |
1 — 2 |
I — V |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
(Ал) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4Xi |
|
|
|
s^ \ h |
j |
’ |
|
|
1)П/ы — |
|
||
|
|
|
|
|
A i k L l ___ L |
V |
J ^ |
L |
/ ПЧ |
(5.26) |
|||
( |
J |
An |
L1 |
Rn |
h (An) |
J |
A |
2 j |
£ + |
X2 |
J 0 (h h |
||
|
|||||||||||||
N V = |
~ J o |
( h ) <№ + |
Ф2? Cth l th) |
+ 2 S |
|
\n |
‘PinAn |
|
|||||
( - 1 ) " - Г Т 7 У . |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
/2=1 |
|
|
K~n + fcjf |
|
Исследование бесконечных систем алгебраических уравнений типа (5.24) подробно проводится в работах 119, 20, 42]. Поэтому здесь на данном вопросе останавливаться не будем. Отметим только один из наиболее существенных результатов, имеющий принципиальное значение при практической реализации метода суперпозиции. Это — справедливость закона асимптотических выражений для неизвестных
х р и у \'\ |
согласно которому они |
обладаю т |
следующими асимпто |
|
тическими |
свойствами: |
|
|
|
|
lim |
х Р — П т |
у Р{ — а Р , |
(5.27) |
|
П-*оо |
1-*оо |
|
т. е. неизвестные в каждом приближении стремятся к общему для них
иотличному от нуля пределу.
Следовательно, |
для |
достаточно больш их значений N и М с прием |
|
лемой для приложений точностью можно полагать |
|
||
х Р = |
а Р |
( V n > N ) , у ? = а Р |
(5.28) |
Тогда бесконечная система алгебраических уравнений (5.24) примет вид
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
„(Л |
|
|
|
|
I |
м (/> |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
ivltl |
|
|
|
|
i=l |
|
<А*+*?)а |
V* |
|
(А1 + |
%)* |
|
Vn |
||||
|
|
|
|
^ |
|
|
|||||||||
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.29) |
|
|
|
.(f) |
|
% |
|
+ |
|
v |
|
|
*£ |
|
№ |
|
У{р = |
I f - |
S |
|
|
|
|
|
- f |
|||||||
х" |
(A* + |
|
^ |
nJ tf+t |
(kl + |
ty* |
Vt • |
||||||||
|
|
|
" , |
|
|
^ |
|||||||||
Реш ение |
системы (5.29), учитывающее |
асимптотические |
свойства не |
||||||||||||
известны х |
х Р , |
у Р , |
вблизи угловых |
точек |
и |
линий |
принципиально |
||||||||
отличается |
от |
реш ения |
конечной |
системы |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
м р |
|
|
|
|
|
|
|
у(/> _ |
1 |
V |
|
*п |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Vn |
|
|
|||||||
|
|
|
|
~ |
|
к |
у |
< % + & |
|
|
(5.30) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
/V |
|
|
|
|
ы р |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
U) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
,(/•) |
_ |
1 |
V |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
х<> |
|
|
+ |
W, |
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
— |
ib'. |
Z j |
Хп |
<А^ + |
А,()а |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
‘ |
п=1 |
|
|
|
"'г |
|
|
полученной из (5.24) методом простой редукции (какими бы большими М и N не выбирались).
149
Зам ечание. Д л я реш ения краевой задачи о напряж енно-деф орм и
рованном состоянии цилиндра, боковая |
поверхность S r которого опи |
||
сы вается |
уравнением (5.1), необходимы |
эффективные алгоритм ы |
вы |
числения |
перемещений, напряж ений и их производны х первого, |
вто |
рого и высших порядков на границе г — 1. Это следует из того, что
указанны е производные в соответствии |
с |
(3.65), (3.144) |
содерж атся |
||||
в дифференциальных операторах D i \ |
D i{\ |
входящ их в краевы е |
ус |
||||
ловия (5.5). Затруднения, которые встречаются при |
вы числении |
н а |
|||||
пряж ений и их |
производных в задачах |
с краевыми |
условиям и типа |
||||
(5.5), |
приводят к |
необходимости разрабаты вать соответствую щ ие при |
|||||
емы |
улучш ения |
сходимости рядов для |
напряж ений |
при |
г = 1, |
а в |
качестве производны х от напряжений при г = 1 брать их предельны е
значения |
(при |
г -> 1). Однако внутри |
области, занимаем ой цилинд |
||||||||
ром, |
соответствую щ ие |
ряды для |
напряж ений |
и |
их |
производны х |
|||||
сходятся достаточно хорошо. В работе [921 приведен |
явны й |
вид вы ра |
|||||||||
ж ений |
для вычисления |
напряж ений и |
их производных |
при |
г = 1. |
||||||
П ри этом |
для |
их получения согласно |
представлениям (5.20), (5.28), |
||||||||
(5.29) |
использую тся асимптотические разлож ения |
модифицированных |
|||||||||
функций |
Бесселя I m (kn) (m = 0; |
1) и корней к( уравнения |
Л |
(Я) = |
|||||||
= 0 [1331 |
при больш их |
значениях п (n |
N) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
15 |
|
(5.31) |
|
|
|
|
8*я |
128^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
П |
|
|
Отметим такж е, что значения N и М в (5.28), (5.29), а такж е в соот |
|||||||
ветствую щ их им вы раж ениях для напряж ений и |
их |
производных не |
|||||
обязательно |
долж ны быть одинаковыми. Кроме этого |
если на каком - |
|||||
либо |
этапе |
(решение бесконечной системы, вычисление напряж ений |
|||||
или |
их |
производных) требуемая точность не достигается, то значения |
|||||
N и |
М |
следует увеличить. |
|
|
|
|
|
Т р а н с в е р с а л ь н о |
и з о т р о п н ы й |
ц и л и н д р . П ри |
решении рассмотренного выше класса задач с краевыми условиям и (5.5) для трансверсально изотропного цилиндра общее реш ение ур ав нений равновесия в перемещениях можно использовать в форме (2.66).
В |
случае осевой симметрии (Ф<у) = |
Ф)Л (г, |
z), Фзу) = 0) вы раж ения |
|
для |
перемещений и напряж ений |
имеют вид |
(2.73). Д л я действитель |
|
ных и различны х корней х, (хх Ф |
х 2) |
характеристического уравнения |
(2.65) функции Ф |/) (г, z) (в случае симметричного относительно плос кости z = 0 распределения напряж ений) допускаю т представление
(5.32)
150