книги / Элементы механики кусочно-однородных тел с неканоническими поверхностями раздела
..pdfординатах |
rk, |
0fe, zk, отнесенных |
|
к некоторой |
характерной длине г0, |
|||||||||||||||
описываю тся уравнениями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
rk = |
rk + ea>kfk (Qk) |
(rk = |
const > 0 , |
0 < |
|
e <£ 1, |
— 1 < w* < |
1), |
(3.92) |
|||||||||||
гДе |
fk (0a) — дифференцируемые |
функции, |
характеризующ ие геомет |
|||||||||||||||||
рию |
поверхностей |
S k. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
П усть требуется исследовать напряженно-деформированное состоя |
||||||||||||||||||||
ние |
рассматриваемого |
многосвязного тела при |
известных |
на |
его по- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
верхностях S k перемещ ениях ujk или напряж ениях xjk. В |
этом |
случае |
||||||||||||||||||
граничными |
условиями |
будут |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
Л |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
k = |
^Jk |
|
|
|
|
|
Zk)* |
|
|
(3.93) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л |
Л |
|
+ |
Grkff) nrk + |
К |
/ * + |
a W |
n h K |
= |
|
|
(3-94) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
основного |
(номинального) |
напряжен |
|||||||||||
где Ujk, aikjk — составляю щ ие |
||||||||||||||||||||
но-деформированного состояния, отвечающие, |
например, |
заданной |
||||||||||||||||||
нагрузке на «бесконечности» (в случае |
|
неограниченной |
области D). |
|||||||||||||||||
Заметим, |
что возможны |
варианты, |
когда на некоторых поверхнос |
|||||||||||||||||
тя х |
заданы краевые условия в перемещениях (3.93), а на остальных — |
|||||||||||||||||||
в напряж ениях |
(3.94). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Реш ение задачи, |
удовлетворяющее |
полной системе уравнений тео |
||||||||||||||||||
рии |
упругости |
и краевым |
условиям типа (3.93), |
(3.94), будем искать |
||||||||||||||||
в виде |
рядов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
и/ |
= |
2 |
s |
« / \ |
Oi / |
= |
|
S |
6 а *уу |
|
|
(3.95) |
||||
|
|
|
|
я |
п=0 |
я |
|
к к |
|
п—0 |
к * |
|
|
|
||||||
Д опустим, что |
функции fk (0ft), а |
такж е |
|
заданные нагрузки таковы, |
||||||||||||||||
что искомые |
компоненты |
и™, |
|
|
можно |
представить |
рядами Тей |
|||||||||||||
лора |
в |
окрестности |
круговы х |
цилиндрических |
поверхностей rk = rk, |
|||||||||||||||
т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(л) I |
|
V |
о |
* # № |
|
|
& |
in)(, |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
«/* К = |
|
|
— |
--------- |
drl |
'k |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
<7=0 |
|
Я I |
|
|
|
|
|
(3.96) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a v * |
Is* |
|
|
|
|
(Qfe) |
|
|
у |
(n) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<7=0 |
|
q ! |
|
|
M |
lk’k |
'k=rk |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
"*' |
|
|
|
k |
|
|
|
|
||||
Тогда перемещения |
u/k и |
напряж ения |
Gtkjk на |
поверхностях |
Sk до |
|||||||||||||||
пускаю т представление |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
„ V |
“О Т <0А> |
|
|
,,(л—т) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
„ ? 0 б |
, £ |
|
ml |
к |
|
и'к |
|
|
(3.97) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п V |
|
|
|
|
5м |
(л—т) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Oi.f. |
rk~rk |
|
|
|
|
' v * W |
“ * w |
|
|
|
|
|
|
т |
|
| " |
* ? |
*'* |
|
101
Единичные векторы ertfe |
нормалей |
к |
поверхностям S k определяю тся |
||||||||||
через функции |
уровня |
Ф й [гк, 0*) = |
гк — еюkfk (0ft) по ф ормуле |
|
|||||||||
|
|
^/1. -- |
| УФ^ | |
( % |
= |
nr„Qrb + |
nBl |
|
(3.98) |
||||
|
|
|
‘ft |
|
'""к |
|
'~ 'irrk ' |
""ft |
|
|
|||
причем |
V — оператор |
Гамильтона; |
е,ь, |
еВ/г — координатны е |
орты . |
||||||||
Следовательно, |
на основе |
(3.92), |
(3.98) получаем |
|
|||||||||
|
Пгк ~ Т Г > |
пЧ ~ |
|
ьщ!'к Фк) |
|
"*» э О , |
(3.99) |
||||||
|
Л* lrk + ей)*/* (б*)] |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
etOft/fe |
(Oft) |
k21 2 |
|
||
где |
|
|
Aft = |
± |
1 + |
|
|
(3.100) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
Гк + 8©ft/fe (Oft) J J |
|
|||||
Здесь штрихом обозначена производная по переменной 0А. |
|
||||||||||||
Расклады вая |
вы ражения |
(3.99) в ряды по |
е, |
находим |
|
||||||||
|
|
«Г, |
= |
I |
е’ к » |
<ад + |
Л А М . v _ u |
(9*)], |
|
||||
|
|
|
|
s=0 |
L |
|
|
ffe |
|
J |
(3.101) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«е, |
|
|
ft <9 * )E |
e V u ( 9 , ) , |
|
||||
|
|
|
|
|
|
Гк |
|
S=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
Ы |
(9.) = |
£ |
S |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1=0 /1=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(T-frt=S) |
|
|
|
|
|
|
(3.102) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
©£ |
|
|
|
|
|
4 , |
= |
- |
^ |
ft (9*). |
В . = |
|
(Й (9 .) + |
(ft № )(»). |
|
|||
|
-= j- |
|
Н а основе (3.93), (3.94), (3.97), (3.101) получаем следующие краевы е условия в произвольном приближении:
в случае заданных на S k перемещений
|
|
|
£ |
L T [ u f - m) + u f ~ m)] |
~ |
Й= f e |
(3.103) |
|||
|
|
|
т=0 |
|
й |
К |
rfe=rft |
й |
|
|
в случае заданных на Sk напряжений |
|
|
|
|
||||||
mt ID S’ ( < 4 ” + |
“ v T ’> + |
К / Г |
+ |
|
- |
* 4 - <3 ' Ш4> |
||||
л |
|
0 |
/ч |
0 |
|
|
|
|
разлож ения |
известны х |
Здесь u (£ t и(%, |
0 у й, |
— коэффициенты |
|
|||||||
|
~ |
о |
J |
о |
|
|
|
|
|
|
функций |
u jk, Ujk, < jyfe, xjk |
в ряды по положительным степеням пара |
||||||||
метра е. Дифференциальные операторы |
L ll), D D < $ имеют вид |
|||||||||
|
|
|
|
Г («) _ |
©fc/fc Ф<’) |
дп |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ь* |
= |
д! |
К |
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
102
|
|
|
|
|
|
f f l |
= |
X |
[ "Vs./d (Oft) H-----Vs—i.a (Oft) |
|
|
L(n—s) |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
— |
|
|
|
ft |
» |
(3.105) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5=0 L |
|
|
|
|
|
'ft |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^2ft |
= |
-h |
~z |
/ft (Oft) S |
Ys—l.fe (Oft)- |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'ft |
|
|
s=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е сли |
|
область |
D конечна |
в |
направлении |
Okzk, |
то |
краевые |
условия |
|||||||||||||||||
(3.103), |
|
(3.104) |
необходимо |
дополнить соответствующими условиями |
||||||||||||||||||||||
типа |
|
(2.166) — (2.169) |
на |
торцевых |
плоскостях. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
4.2. |
|
|
|
Осесимметричные поверхности раздела, близкие к сферическим. |
||||||||||||||||||||||
К ак |
и в |
п. |
|
4.1 |
|
предположим, |
что граница |
5 области |
D состоит из т |
|||||||||||||||||
поверхностей, т. е. 5 = |
|
1J |
5 а U |
... U |
Sm. При этом рассмотрим слу |
|||||||||||||||||||||
чай, |
когда |
поверхности |
являю тся |
осесимметричными |
с |
общей |
осью |
|||||||||||||||||||
вращ ения |
|
Ог. П ринимается, |
что |
контуры |
Г* |
произвольных |
мериди |
|||||||||||||||||||
анных сечений S k описываю тся уравнениями |
типа |
(3.92), |
где под rfe, |
|||||||||||||||||||||||
6ft, a k следует понимать сферические координаты |
(6* — углы широты, |
|||||||||||||||||||||||||
a k — углы |
|
долготы). |
При |
таки х |
предположениях |
поверхности |
Sk |
|||||||||||||||||||
будут |
неортогональными, |
т. е. меж ду ортами координатных осей |
erft, |
|||||||||||||||||||||||
ео., еа |
л |
и ортами нормалей е„ |
Я |
к S h |
условия ортогональности не выпол- |
|||||||||||||||||||||
Й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
о |
|
|
|
|||
няю тся. Если |
на S k заданы |
перемещения |
и,к или |
усилия т у |
то кра |
|||||||||||||||||||||
евые |
условия |
формально |
будут иметь |
вид |
(3.93), |
(3.94), |
где jk = |
гк, |
||||||||||||||||||
б*, а й. При этом направляю щ ие косинусы определяю тся по формулам |
||||||||||||||||||||||||||
типа |
(3.99), |
причем в рассматриваемом случае Пак = |
0. В связи с этим |
|||||||||||||||||||||||
и ряды по степеням е для |
направляю щ их |
косинусов |
пГк |
и |
будут |
|||||||||||||||||||||
такж е |
аналогичны |
(3.101). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Если |
на |
поверхностях |
5* |
перемещения |
и-!к |
и |
напряжения |
cr,yfe |
||||||||||||||||||
представить |
в виде |
(3.97), то в итоге краевые условия на |
Sk в произ |
|||||||||||||||||||||||
вольном приближении примут следующую форму: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
при заданны х на S k перемещ ениях |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
£ |
L f | < |
- ° |
+ |
K |
|
|
= |
Ufk |
f t |
= r „ |
e „ |
a t y, |
(3.106) |
|||||||||
|
|
|
|
s=0 |
|
|
K |
|
rk k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
при заданны х на S k усилиях |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
i |
|
m |
|
к |
|
? |
+ ° № |
) + |
m |
|
|
|
|
|
|
|
= k - |
(3.107) |
|||||||
А налитическая |
|
структура дифференциальных |
операторов L f \ |
D {$ t |
||||||||||||||||||||||
Dm |
формально |
аналогична |
|
(3.105), |
где следует |
считать |
rk, |
|
сфе |
|||||||||||||||||
рическими |
координатами. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Таким образом, рассмотренные в настоящем параграфе простран |
||||||||||||||||||||||||||
ственные |
краевы е задачи |
для указанного класса многосвязных нека |
||||||||||||||||||||||||
нонических областей с помощью второго варианта метода возмущения |
||||||||||||||||||||||||||
формы границы сведены к рекуррентной последовательности краевых |
||||||||||||||||||||||||||
задач |
|
для |
канонических |
областей |
той ж е |
связности. |
Заметим, |
|
что |
|||||||||||||||||
здесь, |
как |
и в |
|
§ 4, 5 гл. 2, |
подробно |
не |
излагаю тся |
методы |
решения |
|||||||||||||||||
краевы х |
|
задач |
|
для |
соответствующ их |
канонических |
областей — они |
|||||||||||||||||||
предполагаю тся |
известными |
[22, |
26]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
103
§ 5. |
С оставны е тел а с п овер хн остям и р а з д е л а , |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
близким и к коническим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
В настоящ ем параграф е рассмотрим |
|
трехм ерны е краевы е |
задачи |
д л я |
||||||||||||||||
составных |
тел, |
поверхности |
раздела |
которы х |
бл и зки |
к коническим |
||||||||||||||
(т. е. к |
координатным |
поверхностям |
0 |
= |
co n st |
сф ерической системы |
||||||||||||||
координат) 188]. Они сводятся к последовательности краевы х задач д л я |
||||||||||||||||||||
тел с коническими |
поверхностями раздела. П ри |
этом |
приведем |
р ек у р |
||||||||||||||||
рентные соотнош ения и дифференциальные операторы в произвольном |
||||||||||||||||||||
приближ ении, |
позволяю щ ие |
реш ать |
поставленны е |
краевы е |
задачи |
|||||||||||||||
с требуемой точностью . Кроме |
этого в п. 5.3 укаж ем |
конкретны й |
вид |
|||||||||||||||||
диф ф еренциальны х |
операторов |
в |
прям оугольны х, |
цилиндри ческих |
||||||||||||||||
и сферических координатах, необходимых для |
реш ения с |
точностью |
||||||||||||||||||
О (е4) |
рассмотренных |
в гл. 3 |
краевы х |
задач д л я кусочно-однородны х |
||||||||||||||||
тел |
с |
неортогональными поверхностями |
раздела. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
5.1. |
Н еосесимметричная |
задача. |
Рассмотрим |
|
составной |
конус, |
|||||||||||||
граничная |
поверхность S n которого совпадает с некоторой |
координат |
||||||||||||||||||
ной |
поверхностью |
0 = 0лл = |
const |
|
сферической системы |
координат |
||||||||||||||
г, |
0, |
а (0 — угол |
широты), |
а поверхности раздела |
|
S t описы ваю тся |
||||||||||||||
уравнениями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0 = |
0 / - f е/у, (г, а ) |
(0/ = c o n st/> |
|
О, |
I = 1, |
2, |
, |
N — |
1). |
(3.108) |
||||||||||
Здесь y t (г, а ) — непрерывные вместе со своими |
производны ми |
ан али |
||||||||||||||||||
тические функции, |
характеризую щ ие формы |
поверхностей |
5 ,, |
а |
е, — |
|||||||||||||||
малы е безразмерные |
параметры (| е, [ |
|
1), определяю щ ие отклонение |
|||||||||||||||||
поверхностей |
S , от конусов 0 = 0/ (20/ — углы |
растворов). |
|
|
||||||||||||||||
|
П редположим, |
что требуется |
исследовать |
напряж енно-деф орм и |
||||||||||||||||
рованное состояние рассматриваемого составного конуса при заданны х |
||||||||||||||||||||
на |
поверхности |
Sn |
перемещениях 0/ или внеш них |
уси ли ях |
т/ |
(/ => |
||||||||||||||
= |
г, 0, а ). П ри |
рассмотрении |
задач статики |
напряж ен и я о*/,* |
в к а ж |
|||||||||||||||
дом слое |
(k |
= |
1, 2, |
..., N) должны удовлетворять известны м |
уравне |
|||||||||||||||
ниям |
равновесия |
в |
сферических |
координатах |
(2.12), |
(2.74), |
закон у |
Гука, а такж е условиям сопряжения слоев и краевы м условиям . В рас сматриваемом случае краевые условия на координатной поверхности
Sn (0 = 0л/ = const) имеют |
вид |
|
|
|
и/.л?|Q=eN = |
v,t |
|
(3.109) |
|
или |
|
|
|
|
<re/.w |е=еN = |
Ту (/' = г, |
0, а; N > |
2). |
(3.110) |
Если рассматривается конус |
конечных |
размеров, |
ограниченны й в р а |
диальном направлении частью сферы (шаровой сектор), то уравнения
(3.109) или (3.110) необходимо дополнить соответствующими |
краевы |
|
ми условиями на поверхности г = const. |
|
|
В предположении, что между l-м и (/ -f- 1)-м слоями осущ ествляется |
||
идеальный контакт (полное сцепление), условия |
сопряж ен и я |
на по |
верхности раздела 5/ можно записать в форме |
|
|
(и/./ — tt/./+i)S/ = 0 0' “ г, 0, а ; / = 1, 2, |
, N — 1), |
|
104
|
Kff/r.f |
a fr,l+l) nr.l + |
(Oq/'I — Oq/j+ ]) JtQ'i -f- |
(3.111) |
||||||
|
|
+ |
(°W,/ |
CTa/.Z+l) na,i]sl = |
0, |
|
|
|||
где |
п ц — направляю щ ие |
косинусы единичного вектора e„.f нормами |
||||||||
П[ |
к поверхности |
раздела |
5 /, |
который |
определяется |
через |
функцию |
|||
уровня |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф/ (г, 0, а) = |
0 — е{у{ (г, а) |
|
(3.112) |
|||||
по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сп-! = Tv® I| |
(7 |
= |
е' ^ |
+ |
е0~ |
Ж + |
е а Г1ЙГ0 i r ) - |
(3-113)' |
|
|
Следовательно, |
направляю щ им |
косинусам |
nJti (/ = |
г, 0, се) в рас |
|||||
сматриваемом случае соответствую т вы ражения |
|
|
||||||||
|
|
|
|
е. |
ду{ (т, a) |
|
i |
|
|
|
|
|
«а./ = |
b |
|
5y, (/-, a) |
|
(3.114) |
|||
|
|
Д^г sin 0 |
da |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 . |
2 |
|
|
1 |
(. *tt f |
|
(3.115), |
|
|
|
7Г + |
[ С |
Г + - /•2 sin3 0 |
da ) _Г |
|
|
Ввиду сложности геометрии поверхностей раздела Si решение по ставленной задачи будем искать методом возмущения формы границы.. В связи с этим компоненты напряженно-деформированного состояния
будем искать в виде рядов |
|
|
|
|
|
|
u/.k = £ |
e " u $ , |
o ti.k = £ |
(3.116), |
|
|
/2=0 |
|
|
/2=0 |
|
где малый параметр выбирается по принципу |
|
||||
е = |
max | ©/1 |
1 |
(J = 1. 2, . . . |
N - 1), |
|
|
8/ == <0/8, |
— 1 < < о ,< |
(3.117) |
||
|
I. |
||||
Следовательно, |
на поверхностях |
раздела 5 / (в предположении, что |
заданны е на границе функции, а такж е аналитическая структура у/ (г,
а ) допускаю т разлож ения |
искомых компонентов |
|
в |
ряды |
|||||
Тейлора в окрестности |
координатных |
поверхностей 0 = |
0/) |
полу |
|||||
чаем разлож ение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«/.*is/ = |
S |
е" X |
< ? / ’ (Г, a) |
ff’1 |
„(п-т) |
|
|
|
|
mi |
ае« |
Ui'k e=e. |
|
|
|||||
|
п=0 |
|
ш=0 |
|
|
|
|
|
(3.118), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
у |
, Т |
('.<*) |
<?» |
л п - т |
|
|
|
|
Gij.k |S/ |
2mJ ® |
2 j |
tn I |
50" |
a »'M |
0=0, |
|
|
|
|
n=0 |
|
m=0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
10S
Н а |
основании этого |
первое условие |
сопряж ен и я |
(3.111) в |
произволь |
|||||||||||||
ном |
приближении сводится к виду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
S |
G tftu ft"* — « M b - e , = 0 |
|
|
|
|
|
|
(3-119) |
|||||||
|
|
|
5=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.где |
Go? — дифференциальный |
оператор |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Л{5) _ |
< № ''• “ ) |
5s |
( s > |
0, |
1 = |
1, |
2, |
. . . W |
— |
1). |
(3.120) |
|||||
|
|
G ol~ |
|
si |
|
|
30з |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Д л я определения второго условия |
(3.111) в произвольном |
прибли |
|||||||||||||||
ж ении необходимо |
направляю щ ие |
косинусы |
«/,; |
представить |
рядам и |
|||||||||||||
по степеням г и использовать разложение |
(3.118). В связи с этим отме |
|||||||||||||||||
тим, что для малых |
произведений |
ею,у, |
(для которы х cos есо,у, ~ 1, |
|||||||||||||||
sin ею,у, — 8(0/7/) допустима приближенная формула |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
sin (0/ + |
еш/7/) — sin б/ + |
e(°/Y/cos |
|
|
|
(3.121) |
||||||||
Н априм ер, |
при |
e = |
0, |
1, ю, = |
1, | y , | < 1 поверхность 5 , отклоняется |
|||||||||||||
примерно |
на 6° от конуса 0 = 0 / . |
В |
этом случае |
на |
основе |
(3.114), |
||||||||||||
-(3.115), |
(3.117), |
(3.121) |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
п,,1 = |
|
8(0. |
|
|
|
|
|
Зу/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— -д-*- (1 + |
8(0,7, ctg 0,) -^г |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6(0, |
|
|
|
(3.122) |
|
|
|
«6./ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
д^г о |
+ |
“ |
« I c‘g ад . |
« « . - = - |
-V |
1пгё7 ж |
• |
|
||||||||
З д е сь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ли = |
^1 + |
Е 8s(0/Q2/ (г, a ) j |
, |
|
|
|
|
|||||
|
£2„ = |
2у, ctg 0,. |
|
Йi |
= |
Y? c tg - e , + |
г " ( ^ ) ' ! + 1 Й Ц - ( - Й • ) ^ |
(3.123) |
||||||||||
|
|
|
а , = 2y ,r‘ ctg е, ( 4 £ - ) !, |
О . = |
T,V |
ctg- 0, ( 4 j £ . ) \ |
|
|||||||||||
|
Следовательно, направляющ ие косинусы |
п ц |
могут |
бы ть представ |
||||||||||||||
лены в явном |
виде рядами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пг.1 |
|
|
|
|
|
Uq.1 — Е |
8;П^/, |
Яв(/ — — Е |
8^/Ia?/, |
(3.124) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/=0 |
|
|
|
|
/=0 |
|
|
|
|
-где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Я # |
= |
— Г(0/ |
(<?/,/_, + - i - QuQ/./_2) , |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
4 ,i |
= |
<oi (q,./ + |
-^ -Q i,Q /,/_ ,), |
|
|
|
|
|
(3.125) |
|||||
|
|
|
|
/Л |
|
|
(0/ |
dv. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
“ |
Ж 0 7 I T |
|
|
0‘ > |
1» |
Qi.-I ^ |
0). |
|
|
106
П ри этом функции Q ij являю тся |
коэффициентами разложения вы |
||||||||||||||
раж ен и я Д п1 в р яд по степеням ecoi и определяю тся по формуле |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
/ |
k |
п т |
|
|
|
|
|
|
|
|
Q ij (г, |
а ) = |
£ |
£ |
£ |
£ |
Qtknms(r, а); |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
fc=0 |
|
0 m=0 s=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(fc+rt+m+s—/) |
|
|
|
|
(3.126) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k l (2k — 1)!! |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
S2/fe„ms(r, |
а ) .= |
(— I) (k — n) I (n — m)! (m - |
- 5) I s I (2k) II |
x |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
X Q j r o r ' f l s r o b . |
|
|
|
||||||
Таким образом, на основании (3.111), (3.118), (3.124) условия со |
|||||||||||||||
пряж ения в |
напряж ениях |
в произвольном |
приближении |
принимают |
|||||||||||
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
(Off1[ o ftr ” |
- |
« M |
i |
+ |
о Т |
[ о ! V ' - |
О Й 5 1 + |
|
||||||
m=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
а Т |
1о% Г' - |
a K ? ,j ) e - e , = |
о, |
(3.127) |
|||||||
где Cffi (i = |
1, |
2, |
3) — дифференциальные |
операторы: |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
/=о |
|
|
|
G if = |
£ |
n & G g T 'l |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/= о |
|
|
(3.128) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G if |
= |
- |
£ |
|
/ г < М Г Л |
( 7 = 1 , |
2 |
, ------ Л7— 1). |
|
||||||
|
|
|
|
j=o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Граничными |
условиями |
на |
координатной |
поверхности Sn согласно |
(3.109), (3.110), (3.116) в произвольном приближении соответственно будут
и?м |e=ew = |
v f |
или |
|o=ew = |
(3.129) |
где v f , г}") — коэффициенты |
разлож ений заданных на |
переме |
||
щений V} или усилий ту в ряды по е. |
|
|||
Замечание. Если поверхность |
5дг является некоординатной и ее |
|||
уравнение можно представить в виде |
|
|||
0 |
= 0# + |
еа>#удг(г, а) |
(3.130) |
|
(0/V — Const, |
8 < ^ 1 , — 1< C 0W< 1 ) , |
|
то граничные условия на ней в произвольном приближении принимают следующую форму:
при |
заданны х |
на |
S N перемещ ениях v-, |
|
|
|
п |
|
|
|
(3.131) |
при |
заданны х |
на |
S # усилиях Т/ |
|
П |
|
(3.132) |
|
|
|
107
Здесь |
Gj£w (k — 0, |
|
1, |
2, 3) |
диф ф еренциальны е |
операторы |
вида |
||||||
(3.120), |
(3.128), |
если |
в |
последних |
ф орм ально |
полож ить |
Ш/ = |
a>N, |
|||||
уi (г, а) |
= ум (г, а) (в предполож ении, что ф ункция |
yN (г, а ) явл яется |
|||||||||||
непрерывной и дифференцируемой). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
5.2. |
Осесимметричная задача. |
Рассмотрим |
случай , |
когда |
у р авн е |
||||||||
ния (3.108) не зависят от угла долготы а , |
т. е. когда поверхности |
р аз |
|||||||||||
дела 5 / |
описываются |
уравнениями |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
9 — 0/ + 8®{7/ (г)> |
|
|
|
(3-133) |
||||
а заданные на S u перемещения |
Vj или усилия Т/ явл яю тся симм етрич |
||||||||||||
ными относительно оси конуса. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
П ри |
таком |
описании |
поверхностей |
Sj н аправляю щ ие |
косинусы |
||||||||
(3.114) упрощ аются к виду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
6(DjY/ v )r |
|
|
1 |
__n |
|
|
||||
|
ПгЛ ------------ Г------- |
> tlQJ = —7--- , tlUfl = |
О, |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.134) |
|
|
А ,/ = У |
\ |
+ |
е2©?/-2 [y'i {r)f, |
yi (г) = |
dyJ p - |
• |
|
|
||||
Следовательно, |
правые |
части |
(3.134) |
допускаю т |
разл о ж ен и я |
|
|||||||
|
|
|
|
|
Л к . |
/г—1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n r.r-— |
|
Е |
2 |
f t r f r r ' - ' r t w r , |
|
|
||||||
|
|
Л > ? ( - 1 ) |
|
|
|||||||||
|
|
|
А=1,3,... |
|
|
|
|
|
|
(3.135) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
no.! = |
Е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fc=0,2.... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Эти ряды сходятся при |
|
выполнении неравенства |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|е а у у /(/■ )!< |
1. |
|
|
|
(3.136) |
Условиями сопряжения (3.119), (3.127) в рассматриваемом случае бу дут
|
£ Off’ 1и!У"> - |
„ |
m“ ° |
Е |
|С!Г’ [ < * " ” - |
__П гтг=0
« В Л - о , = 0 (г = Л 6).
+ « M S T 0 - n !W i])e - 0 ,* - 0 .
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
з~и |
|
|
yn-$ |
|
o t?1 = шГ |
|
/ |
n |
~ |
(s — 2) II |
|
(3.138) |
|
S |
|
|
||||||
v |
4 |
(s— 1) II (m — s) 1 |
|
дё^- s |
||||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
s |
|
f f n s |
|
G$P = |
(of |
|
s |
|
( s - 1 ) II |
г* у Г а(г)1У1(г)]а |
|
|
|
|
d0m-s |
* |
|||||
|
( - 1 ) 2 s II (m — s) ] |
|||||||
|
|
s=0.2. |
|
|
|
|
|
|
Здесь m* = |
m — 1, m** = |
m для четных /и и m* = т , |
т т = |
т — 1 |
||||
для нечетных |
т . |
|
|
|
|
|
|
|
.108 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Т аким образом, поставленные осесимметричные и неосесимметрич ные краевы е задачи для составного деформируемого конуса с неорто гональными поверхностями раздела слоев на основе изложенного вто рого варианта метода возмущ ения формы границы сведены к рекур рентной последовательности соответствующих краевых задач для со ставного конуса с координатными (коническими) контактирующими поверхностями. Следовательно, для реш ения задачи в каждом прибли ж ении могут быть использованы известные аналитические методы, при
меняемые в случае |
круговы х |
конусов. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
§ |
6. Д и ф ф ер ен ц и ал ьн ы е о п ератор ы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
в |
н екоторы х частных случаях |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Приведем дифференциальные |
операторы |
в прямоугольных, круговых |
||||||||||||||||
цилиндрических |
и |
сферических |
координатах, |
необходимые для ре |
||||||||||||||
ш ения |
краевы х |
задач механики |
кусочно-однородных тел с |
неортого |
||||||||||||||
нальными поверхностями раздела |
с |
точностью |
О (в4). |
|
|
|
||||||||||||
|
6.1. |
Поверхности |
раздела, |
близкие |
к плоским. При |
рассмотрении |
||||||||||||
в |
п. 1.1, |
1.2 § 1 |
многослойных |
тел |
с поверхностями |
раздела S ± , близ |
||||||||||||
кими |
к |
плоским, |
которые |
описываются |
уравнениями |
z — ± h + |
||||||||||||
+ |
eco-t f ± (x, у), |
условия |
сопряж ения |
на |
S ± сведены к |
последователь |
||||||||||||
ности |
условий сопряж ения |
на |
плоскостях |
z — ± ft. При |
этом диффе |
|||||||||||||
ренциальные операторы |
|
|
(v — 1, 2, 3) в общем |
виде получены |
||||||||||||||
в |
форме |
(3.21). В первых четырех приближ ениях |
( т |
= |
0, |
1, 2, 3) кон |
||||||||||||
кретный |
вид этих |
операторов |
следующий: |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о, |
n 3±(0) = ± |
i , |
|
|
|
|
||
|
|
|
N ? {{) |
|
|
*/± |
|
ЛГ2±(,) |
|
-+- 0)± ду |
» |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
дх |
’ |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
^з±(1) = |
=fc©±/± |
-gj- , |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
df+ |
|
д |
|
|
|
|
|
|
У±_ |
д |
|
||
|
|
|
N t * = -F « V * |
дх |
дг |
|
|
|
= Ч « У ± |
ду |
|
дг |
(3.139) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь и далее верхний знак относится к случаю , когда нормаль рас сматриваемой поверхности направлена в сторону увеличения функции уровня Ф (х , у, z) = z — еа)±/ ± (х, у), а ниж ний — в противополож ное направление.
109
Когда |
поверхности |
раздела |
S * |
отклоняю тся от |
плоских |
в р ад и |
альном и окруж ном н аправлениях |
и описы ваю тся |
уравнениям и z = |
||||
= ± .h + |
&ю±/± (г, 0), |
условия |
сопряж ен и я в произвольном |
прибли |
жении сведены к виду (3 |
.35). В общем случае диф ф еренциальны е опе |
|
раторы Qk(m){k = |
1, 2, 3) |
получены в форме (3.36). И х конкретны й вид |
в первых четырех |
приближ ениях ( т = О, 1 ,2 , 3) такой : |
В |
частности, |
при |
f± |
= |
f ± (г), т. е. когда |
уравнениям и |
г |
= ± /г + |
|||
+ |
есо±/± (г) |
описываются |
поверхности |
вращ ения, имеем |
|
|
|||||
|
Q |
|
|
|
|
О ?1" = |
0, |
< £ т |
= ± а ± 1 ± ( г ) - ^ . |
||
|
|
|
СГ « |
= |
т |
» Л ( г ) 4 |
( г ) | . . |
Q f01 = 0. |
|
|
|
|
|
|
ft* 121 = |
± |
4 “ “4 { /i (г) |
- |
l/'t M l’} . |
|
(3.141) |
||
|
O f® |
= |
т 4 |
|
|
м { 4 М - S - - [ / i M l2} • |
= |
о, |
|
и |
— i/* m i2 |
• |
Здесь и далее штрих — производная |
по соответствующему аргум енту . |
||
В другом частном случае, когда |
уравнениями г — ± Л |
+ е(о±/ ± (0) |
описываются изменяющиеся в окружном направлении поверхности
раздела, дифференциальные операторы Q*(m) |
принимают форму |
|||||
Q fo, = |
0. |
Q ?"’ = |
=Fm± - } -/* < e)’ ^ |
" |
’ = ± 0 . ^ ( 6 ) - ^ . , |
|
<3*ffl = 0, |
Q#ra = |
T < o i J - / t |
( 6 ) 4 ( 0 ) ^ . , |
|||
Q tm = |
± |
4 “ “ i |
{/* <e) |
- 7Г I / i (в)1а) , Q,±BI = 0, (3.142) |
||
n o |
|
|
|
|
|
|