книги / Элементы механики кусочно-однородных тел с неканоническими поверхностями раздела

— ,

— 1) и граничными поверхностями

S n,

S n, упругие

свойства

которого описываются

уравнениями

состояния

(5.58) при б =

0, т. е.

в этом

частном случае уравнения равновесия (5.59) допускают точное

общее

аналитическое

решение.

Третьей группой слагаемы х ( k ^ s

1, п

1) описывается взаимное

мого

составного тела.

В

предположении,

что

компоненты u fjn\

o f ff

(k

0, п

0) до­

пускают

разлож ения

в

ряды

Тейлора

в окрестности

a t =

cfi, {q =

= 0,

1,

2, ...,

N), перемещения

u/,i

и напряж ения

а :у,г

на поверхно­

стях

S g можно

представить в виде

(«2» “ з)

дт

Лк,п—т )

(5.65)

к—0 п=0

т=0

ml

т

и/-‘

да1

“ Г С

(а 2- «а)

дт

(fc.fi—т)

к

=“

S

S

« '*■

Е

-

ml

да? a a.i

U=a°.

Аг=0 «=0

Г?1=0

На основе функции

уровня

Ф Д а 1’

а 2* «з) = а х— е ( 0 ^ ( а 2,

а 3)

(5.66)

единичная нормаль

е? к поверхности

S q определяется

по формуле

_

УФ,

(у

_

J i ___Э

е2

З

е3____ д_

(5.67)

17~

(УФ,!

У

~

Hi

За!

"Г я а

За2

^

Я3

За*,

Н аправляю щ ие

косинусы

единичной

нормали

е9 на основе выра­

жений

1

I

ЗФ,

(5.68)

п ^

~

| Уф? |

ffi

dai

могут быть представлены рядами

tli.q —

вПА

(5.69)

п=О

Тогда в (k , п)-м приближении

на основе (5.59), (5.64) получаем уравне­

ния

равновесия

£

N (ju fja) +

F f r Un) =

0.

(5.70)

1=1

Следовательно,

в произвольном

приближении функции F f r Un) {k > 1,

п ^

0)

представлены

в

(5.70)

в

качестве

условных

объемных

сил.

£ I f и ? .Г 8

=■ » У .

(5.71)

s=0

V

V

n {s) J k-n~ s)

L

„0

— J k‘n)

2j 2j •-'iN^ij.N

=

T/.tf .

i=l s—.)

«—“Д1

Н а том же основании условия сопряжения

(5.62) в (k , л)-м прибли­

жении

преобретут

форму

Б L P l u f f ^ - u f f + r 'L

. = 0,

s=0

“ '=а1

(5.72)

Б

Б

1«Й Г * -

° Й К ? ]„ _ о

=

о.

i=l s=0

где дифференциальные операторы имеют следующую аналитическую

структуру:

< * > 0 . ,

=

0 , 1 , 2 ,

,

АО,

(5.73)

в ! 5 = Б ^ Г ” '

( / = 1 . 2 , 3 ) .

/71=0

В уравнениях (5.70)- — (5.72) перемещения

и

напряж ения

состоят и з

двух

частей:

u-i.i

=

ti/j

+

ui.i

»

_

_0(fe,n> .

*(k.n)

(5.74)

u l/,/ =

a if,i

+

Ot/./

•

Здесь

компоненты

u j j 'n),

o lfjn) отвечают

общему

решению однород­

ных уравнений (5.70), а и*$’п\

— частному решению

неодно­

родных

уравнений

(5.70)

с

условными

объемными

силами

F fj~ l,n>

.(k ^

1,

п ^

0).

Отметим, что трудности, связанные с практической реализацией

излож енного

подхода, существенно

зависят от

аналитической

струк ­

туры

исходных

функций

F jj,

определяемых

видом возмущений

так как на каждом этапе итерационного

процесса необходимо опреде­

л ять частное решение системы уравнений

(5.70). Поэтому

ниж е рас­

смотрим некоторые конкретные виды возмущений в частных сл у чаях .

2.2.

Частны е

случаи

(криволинейно

ортотропные

и

физически

нелинейные тела). Рассмотрим сначала случай ортотропных много­

слойных тел, уравнения состояния которых описываются обобщенным

законом Гука (2.23). Если, в частности,

предположить,

что

меж ду

девятью

упругими постоянными I-го слоя выполняются соотношения

С,Ш____ C44,J

2

2

сил 4-

2сбб,/ =

C\\,i

,

СШ

С55,/

СЦ./Й4,/ =

С22./С55,/,

для

которогосвязь менаду напряж ениями о,/,; и малыми деформациями

eij,i

I-го

слоя описывается соотношениями (2.23), в которых 1 ~ г,

2 ~

0, 3

~ г. Выделим в них ту часть, которая по форме соответствует

Orr,l =

Cn,ierr,l + С(2Л (СеО,/ + ezz,l) +

(с\зл — c\2,i)0zz,u

(У00,1 = 0(1,1000,1 +

С12Л (вгг,1 +

0гг,1) +

(<?22Л — Си./) 0OO,l +

(023,1 — 0ш ) 0zz,h

0zz,i =

C\i,i0zz,i + 0\2,1 (0rr,i +

0oo,i) +

(ci3,j — C\2,i) e„,i +

+ (023,1 — 012,l) 0(10,1 + (033,1 — Ciu) 0zz,h

(5.75)

0oz,i — Gi0Oz.i +

(044,1 — G[) eoz,i*

°rz,i — Gierz.i +

+ (C55,/ — Gi) er2,i,

a ro,i =

Gieroj -)- (сое,/ — Gf) erQj.

быть представлены в

форме

оц,1 =

2G, ^ и \/ +

1

ei +

6тЬ'£-£) »

(5.76)

a u,i — Gi (0цл -Г &%•,/) (i Ф

/; i, j

= r, 0, z).

Здесь компоненты

Gt и

vz выражаю тся через упругие постоянные сщ

и c\2,i по формулам

Gi —

(ci u — cw)>

v/ =

"T— ПГЗ—

•

(5-77)

л

C1U T" C12,1

Возмущения x Z/v ,

фигурирующ ие

в соотношениях (5.58), имеют вид

X/r.J ^ 2Gl4rrJ =

(0(3,1 '

£l2,/) 0zz,l>

Хее./ =

2Git]00,l =

(022.1 — Сил) 0OO,l + (Сззл — с12.0 0zz,h

xu ,l — 2GlK\zzj =

(0(3.1 — 0(2л) 0гг,1 + (023,1 — с12,/) 000,1 +

(с33,1 — СН,/) 0zz,U

когл — Gii\oz,i =

(044,1—

Gt) eoz.i,

(5.78)

Хлг,/ =

G{X\rz,l — (055,1

Gi) 0rz,U

x re,/ =

GzT],.eiZ =

(055,1 — Gi) ero,u

Gh а при б =

1 — в уравнения типа (2.23) для ортотропного

/-го слоя

с приведенными

по

формулам

(5.77)

характеристиками

v*,

G/.

Ц и л и н д р и ч е с к а я

о р т о т р о п и я

( м е т о д

в о з ­

м у щ е н и я

т р а н с в е р с а л ь н о и з о т р о п н ы х с в о й с т в ) .

Возможны случаи, когда упругие свойства ортотропного тела

сущ е­

ственно отличаю тся

от

изотропных

и вместе с

тем

незначительно

отклоняю тся

от

трансверсально изотропных.

Е сли

учесть, что

уравнения

равновесия

в перемещениях для трансверсально изотроп­

ного тела

в

цилиндрических

координатах г, 0, г

допускаю т

точное

версально изотропного тела (2.31). В результате получим

Orr.i =

Orr.it Сое./ =

стеб./ +

6i,/C22./6ee,/ +

бг./Сгз./^гг./*

oZZii =

огг,1 +

бг./Сгз./вее,/,

Qqz,i =

OQz.it

(5.79)

o>z,/ =

Orz.i +

&3,iCbs,ierz,it

OrQj =

orQ,i +

&иСбб./бге./*

где

6i./ = l

41./

t

бг./ =

1 —

i

5з,i

c44■/

l22,1

‘'гз./

C5bJ

(5.80)

64./ =

1

cn,f

c'12,/

2c,66,1

Т ак

к ак

рассматриваю тся случаи, когда ортотропные свойства незна­

чительно

отклоняю тся

от трансверсально изотропных, то

| 6n,i |

1

(п =

1, 2, 3, 4). Тогда параметр 6, по

которому согласно (5.64) ищ ется

реш ение в виде рядов, будем выбирать по принципу

б =

m ax (I бх |,

|б а |, |б 3 |,

|б 4 |),

_

бп = б<к>„

( - 1 < й ) п < 1 ,

« =

I,

2,

3, 4).

Следовательно, уравнения

состояния (5.79) допускаю т представление

(5.58), где возмущ ения «{/,/ характеризую т отклонения

свойств орто-

тропии от трансверсальной изотропии тела и имеют вид

Krr,l — «ОZ.I — О,

V.QQ.I =

©хС22,/вв0,/ +

ШгС23,/вг2./»

Kzz.i — ®2^2з,/б00,/>

Krz,i — 1H3Cs5.1erz.it

(5.82)

НЛ0,/ =

tO4C66./6r0,/-

В

данном случае уравнения равновесия имеют вид (5.59), в которы х

функции

Fj,1

определяю тся

через

возмущения

(5.82)

по

формуле

(5.60), где следует положить

Oj =

г, а 2 = 0, а 3 =

г, Н х =

1, Я 2 =

г,

/ / 3 =

1.

Последующие выкладки

проводятся согласно общему подхо­

дятся

аналогично. Они могут быть получены такж е из приведенных

выше,

если в (5.75) и последующих уравнениях формально заменить

г, 0, z (цилиндрические координаты) соответственно на 0, а , г (сфери­

родные уравнения равновесия

(5.70) такж е

допускаю т точное общее

аналитическое решение

в форме (2.75).

Ф и з и ч е с к а я

н е л и н е й н о с т ь

( м е т о д

в о з м у ­

щ е н и я л и н е й н о

у п р у г и х с в о й с т в ) . Предположим,

что физически нелинейные упругие свойства

составных

изотропных

тел, описываются уравнениями

состояния (2.35). С учетом представ­

ний г|*/(/,

характеризую щ ие отклонения

физически нелинейных соот­

ношений

(2.35) от

уравнений

закона Гука (2.34),

имеют вид

4 W

- S [ i

+

bij

1 + у /

Kn,teОц"1 —

У2п/фо”^0,/ . (5.83)

1 — 2vi

п=1 L

ставление

(2.48),

возмущения

t],/,/ упрощаются и приобретают форму

ч\цл =

— £2,/фо,/ {ец.1----- б,у£/|,

(5.84)

где интенсивность

деформаций

ф§,/

определяется по формуле (2.37).

У читывая, что v.u,i

= 2Git\u,it

Kifj =

G fti/j

(i Ф /), функции

F f jn),

фигурирую щ ие в

(5.70)

как

условные

объемные силы, опреде­

ляю тся

по

формулам

I

L

a

d{HxHzy\%f)

+

H,H2H3 И

да,

I"

(За2

д(Н,Н2

+

2.1

дН,

■

Л13.У

дИ,

(5.85)

+

дая

а д

да 2

Н,Н3

да3

2ц<*;7>

дН2

2'Пзз’.7)

дН3

(1 ,2 ,

3).

Я,Н2

5»!

Я ,н 3

да,

ц-----------

При этом функции r\f/j согласно

(5.64), (5.84) определяются из ре­

куррентных соотношений

m=0 s=0

L

(5.86)

Аналогично могут быть рассмотрены и

другие случаи услож нен ­

ных упругих свойств деформируемых тел,

если только они незначи­

Замечание. В

настоящем

параграфе

изложен

общий

подход

к

решению краевых

задач

механики кусочно-однородных тел с

неорто­

гональными поверхностями раздела. В случае

ортогональны х

поверх­

ностей

выкладки

проводятся

аналогично. Д л я

криволинейно орто-

тропных

и физически нелинейных тел подход, основанный

на

приме­

нении

первого

варианта МВФГ

в

сочетании

с

методом

возмущ ения

упругих свойств, изложен в работе [77]. Однако

для этой цели можно

использовать такж е взаимосвязь

первого и второго вариантов М ВФ Г,

установленную в § 7. гл. 3. При таком подходе вместо (5.63) уравнения

поверхностей раздела следует

выбрать в форме (3.147), а во всех после­

дующ их

вы кладках п.

2.1

гл. 5

положить

а х — г, а 2 =

у,

а 3 =

z,

H i

=

1,

H z =

г,

H a =

1 (в случае

некруговых

цилиндрических

по­

верхностей раздела) и <хг =

г, а 2 — у, а 3 =

а ,

Н г = г,

Н 2 =

г sin у,

Н 3 =

1 (в случае

границ раздела в виде замкнутых

поверхностей вра­

щ ения,

близких

к сферическим).

§ 3. М етод интегральных п реобразований Л апласа и МВФГ

б связанны х краевы х задачах для насыщ енных

пористы х с р е д с неканоническими полостям и

О сновная система

уравнений, описывающих связанны е процессы

д е ­

формации и фильтрации жидкости или газа, используемая в настоящ ем

параграф е,

получена в

работе Л . П. Х орош уна

1141]. Д л я реш ения

краевы х задач о напряж енном состоянии

насыщенных пористых мас­

сивов

с

ортогональными

неканоническими

выработками

применен

М ВФ Г в сочетании с методом преобразования Л апласа по времени [34,

35,

95,

96,

143,

144].

3 .1 .

Постановка задачи

и основные уравнения. Рассмотрим

полу-

бесконечный

тяж елы й

пористый

насыщенный

ж идкостью

или газом

массив, который в ненарушенном состоянии находится под действием

Л

собственного веса

и порового давления Р (при

этом ф ильтрация

от­

сутствует).

После

образования

полости

(это

связано,

наприм ер, с

проходкой выработки) в ее окрестности происходит перераспределение

напряж ений

и

начинается

процесс

фильтрации

жидкости

или газа.

В

дальнейш ем

предполагается, что

давление

Р в в

вы работке

близко

к атмосферному. М акронапряж еиия

а,*/, макродеформации

ец,

м акро ­

перемещения и] и давление Р * в насыщенном массиве с полостью пред­

ставим

в виде

Oj/ — Qif -{- Oif,

= eij -(- eijy

Uj — Uj -j- М/,

P * — P

-]- P , (5.87)

где

оц, eu, Uj — основные (номинальные) напряж

ения, деформации

п

перемещения ненарушенного массива; а ц ,

eij,

щ — компоненты

возмущенного состояния, вызванного наличием

полости.

*</./ =

0,

а,-/ = КвррЬц +

2 ц % / — p p b lh

(5.88)

еч

= ~

(й <\/ "Ь uf.i)f P.il ~

~cji~

а 2ерр)‘

Здесь ?ii, (л*,

р*,

а и

а2 — эффективные постоянные; с2 — объемная

концентрация

пор;

k — коэффициент

фильтрации.

Нижними индек­

Если ввести

замену

Р г = сгк ■{а.Р +

а^рр) = В* +

зр*р*

D*

ЗХ, -f- 2[д* р +

+ 2ц* СТрР* (5.89)

состояния и фильтрации в (5.88)

преобразую тся к виду

ос/ = ЬЦеррбс/ +

2ц*еС/ — р Г Р Д /,

(5.90)

^ '• u

aFox •

Здесь

(5.91)

р*Р*

D*

О,

(5.92)

я-Г + и* Р +

2(х; +

ц*)

РР‘

Заметим, что при а2 =

0 и, следовательно, D*

= 0, система

уравне­

ний (5.88) становится

несвязанной.

формации, вызванные нарушением сплошности массива.

Следовательно, согласно (5.87)

имеем

Р |/=0 = Р

|fo,=0 = 0.

(5.93)

ное условие

Рг Ifo,-o =

D * 4 = 3 ^ . ° * ^ . - С

(5-94)

причем врР, ОрР соответствуют упруго-мгновенному

напряж енно-деф ор­

мированному состоянию насыщенного пористого

м ассива, в окрест­

ности выработки, которое

определяется решением соответствую щ ей

давления

на

поверхности полости S . Они

будут сформулированы в

пп. 3.2,

3.3

при рассмотрении краевых задач для конкретны х форм

поверхностей

выработок. Таким образом,

изложенный подход позво­

состояния и фильтрации

(5.90) являю тся несвязанными

относительно

приведенного давления Р г с неоднородным начальным условием (5.94).

В итоге (после определения приведенного

давления Р г

и объемного

расш ирения ерр) по формуле (5.92) определяется добавочное давление

Р ,

вы званное

наличием

полости.

3.2.

О ртогональные поверхности выработок. Предположим, что по­

верхность 5 конечной выработки является замкнутой поверхностью

вращ ения вокруг горизонтальной оси z (параллельной дневной поверх­

ности), уравнение которой записывается на-основе конформно отобра­

жаю щ ей функции (2.174)

и в общем случае имеет вид (2.177) при р =

=

р0 =

1. Если

решение задачи

искать в криволинейных ортогональ­

ных координатах

р, у,

ф, то

граничные

условия на

поверхности

S

(р =

1) примут вид

Л

Л

Л

(Орр -f- Opp)p=i =

— Р в, (Ору -f- Opy)p_i = 0,

(сГрф -)- о'р(р)р= 1 = 0, (5.95)

р ; и = — ( р - р 8) в* +

30*D*

D*

2|д*

+

ЗХ*

2|х* ’Gpp lp=l*

(5.96)

зх; +

где

Р \ (р, у, ф, 0 = P i {г, 9, a ,

f) и

переход

от

переменных

г,

0, а

к р, у. Ф осущ ествляется

по формулам (2.143).

П рименяя

сначала

интегральное

преобразование Л апласа

по

без­

размерному

времени

Fo1( для

компонентов

напряжений

а м (k , / =

=

р, у. ф) и давления

Р\

в пространстве

изображений (эти

величины

будем отмечать тильдой)

получаем

оы (р, V» Ф» «) = j' е

s?a'okt (р,

Y,

ф, F o Jd F O i,

Oki (р.

Y>

Ф*

Fox) =

j

esFo,Oki (p,

Y»

Ф»

s) ds,

a—ioo

(5.98)

a+i oo

P\ (P>

Y»

Ф»

Foj) = "2^Г

I

e5F°‘fi(P >

V>

Ф»

s) ds>

a—loo

Оы (р. Y*

Ф» s) — S

вяо ^ (р,

у*

Ф* s),

,,=0

(5.99)

оо

р \

(р. Y*

Ф» S ) =

£

впр \1п)(р,

у,

ф,

s).

гс=0

Компоненты

а*),

Р \ п) согласно

(2.159), (2.188)

в

произвольном при­

ближении

определяю тся

из рекуррентны х соотношений

с $

=

S

[ A f '- 'V ; 1+ Л Г -Я1) (о© — a<f) +

AgM ,)o®)],