книги / Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений
..pdf
|
|
|
ВВЕДЕНИЕ! |
|
|
ll |
что для любого |
х0 е |
V |
траектория |
xtf |
начинающаяся |
|
в точке х0, при £ ^ |
0 не выходит из Uи стремится к х% при |
|||||
£ -> оо. Обозначим через G* множество всех начальных |
||||||
точек х0, из которых |
выходят решения, |
стремящиеся к |
||||
х* при t -> оо. Для |
любой окрестности U точки я* и |
|||||
любой точки xQе |
G* |
существуют б > |
О и Т > |
0 такие, |
||
что при |Х0 — х0\< |
6t |
sup |*|?$|<6 |
решение |
X t сис- |
||
|
|
|
0<t<oo |
|
|
|
темы (2) с начальным условием Х 0 при t |
Т не выходит |
из £/. Это выполняется равномерно по х0 в пределах лю бого компактного подмножества области G* (т. е. б и Т могут быть выбраны общими для всех точек х0 из этого компакта). Отсюда вытекает и равномерная на бесконеч ном промежутке [О* оо) сходимость X t к xt при Х 0 -> £ 0,
sup К (| ->0. 0</<оо
Если же положение равновесия х% не обладает ука занными свойствами устойчивости, то можно при помощи сколь угодно малых возмущений «увести» при достаточно больших £ решение Xt возмущенной системы от я*, даже если начальная точка Х 0 = х%. В частности, могут быть случаи, когда решение xt невозмущенной системы не мо жет при £ ^ О покинуть какую-нибудь область Z), а ре шение X t системы, получаемой из первоначальной сколь угодно малым возмущением, покидает эту область за конечное время.
Часть этих утверждений сохраняется и для траекто рий, притягивающихся не к одной точке х%, а к какомулибо компактному множеству предельных точек, например наматывающихся на предельный цикл.
Возможны ситуации, когда, кроме того, что возмуще ния малы, у нас имеются достаточно полные данные об их статистическом характере. В этом случае уместно раз вивать различные математические модели малых случай ных возмущений.
Рассмотрение случайных возмущений расширяет по нятие возмущений, которые рассматриваются в класси ческих постановках, по крайней мере в двух направлениях. Во-первых, менее ограничительным становится требова ние малости: вместо абсолютной малости при всех £ (или в интегральной норме) можно предполагать, что возмуще ния малы только в среднем по ансамблю всех возможных
12 ВВЕДЕНИЕ
возмущений. Малые случайные возмущения могут при нимать большие значения, но вероятность этих больших значений мала. Во-вторых, рассмотрение в качестве воз мущений случайных процессов расширяет понятие ста ционарности возмущений. Вместо неизменности самих возмущений во времени мы можем предполагать неизмен ность тех факторов, которые формируют статистическую структуру возмущений, т. е. предполагать стационарность возмущений как случайного процесса.
Такое расширение понятия возмущения приводит к эффектам, не характерным для малых детерминированных возмущений. Особенно существенные новые свойства появляются при рассмотрении долговременного действия малых случайных возмущений.
Посмотрим, какие могут быть модели малых случай ных возмущений, и какие задачи естественно для них
рассматривать. Начнем с возмущений |
вида |
Х != Ь (Х * ,г ь ), |
(7) |
где — некоторый фиксированный случайный процесс; например, гауссовский стационарный процесс с извест ной корреляционной функцией. (Ненараметрические за дачи, связанные с произвольными малыми в каком-то смысле случайными процессами определенных классов, намного сложнее.) Пусть для простоты начальная точка
Хо не зависит от в: Хо = х0. Если решение системы
(7) единственно, случайное возмущение ф(£) приводит к случайному процессу Xf.
Первый возникающий вопрос: будет ли Xf сходиться к решению х% невозмущенной системы при е -> 0? Речь
может идти о |
различных видах вероятностной сходимости: |
|||
сходимости |
с |
вероятностью |
1, по вероятности, в среднем. |
|
Если |
sup |
|
|фJ < °° с |
вероятностью 1, то, не забо- |
тясь о том, что реализация |
случайна, мы можем приме |
нить к возмущениям вида вф* результаты, изложенные выше, и получить при тех или иных ограничениях на
Ъ(х, |
у), |
что |
X\-+xt с вероятностью 1 равномерно по |
£ <= |
[02 |
Г], |
что |
Х ? = * , + е У 1 1) + о ( е ) |
(8 ) |
ВВЕДЕНИЕ |
13 |
ИЛИ |
|
X? = *t + еЦ 1’ + ... + епГ{я) + о (е") |
(9) |
(о(е) и о(гп) понимаются как выполненные с вероятностью 1 при е -> 0 равномерно по i G [О, Т]).
Однако сходимость с вероятностью 1 — это не то, что представляет основной интерес с точки зрения возможных приложений. При рассмотрении каких-то конкретных малых случайных возмущений мы, пожалуй, не будем
одновременно иметь дело с Xf при различных е, а толь ко при каком-то одном малом е. Нас могут интересовать такие вопросы: можем ли мы гарантировать с практиче
ской достоверностью, что при малом е значение |
Xf будет |
близко к хх\ каков будет порядок отклонения |
X] — x t\ |
что можно сказать о распределении значений случайного
процесса Xf и функционалов от него и т. п. К счастью, из сходимости с вероятностью 1 вытекает сходимость по
вероятности, |
так |
что X? при |
е -> 0 |
будет |
сходиться к |
xt по вероятности равномерно |
по t е |
[О, |
Т]: |
||
|
Р |
/ sup |
|
|
(10) |
для любого |
6 > |
0. |
|
|
|
Для сходимости в среднем на Ъ(х, у) и ф* надо наложить еще дальнейшие ограничения; мы не будем этого касаться.
Из более тонкого результата (8) вытекает, что случай- j^e _х
ный процесс y f = — — - при е ->•0 будет сходиться
в смысле распределений к некоторому случайному про
цессу (связанному со случайным возмущающим воз действием \|ц линейными дифференциальными уравнения ми). В частности, отсюда вытекает, что если ф4 — гаус
совский процесс, то случайный процесс Xf будет в пер вом приближении гауссовским со средним xt и корреля ционной функцией, пропорциональной е2. Отсюда полу чается такой результат: если / — гладкая числовая функ ция в Rr , grad f(xu) ф 0t то
р |
- / К ) < *} = Ф (-2-) + о (1) |
(И) |
14 |
ВВЕДЕНИЕ! |
|
V |
при е ->0, где Ф(у) = |
*)\ -л/ 2л e~z2/2dz — функция Лап- |
|
— оо |
ласа, а о определяется по grad f{xto) и значению корре
ляционной функции процесса Y{{) в точке (£0, t0). Из
(9) можно получить более точные результаты — разложе ние остаточного члена о(1) по степеням в. Могут быть также получены результаты, касающиеся асимптотиче
ских распределений функционалов от У® 0 ^ t ^ Г„ и их уточнения, связанные с асимптотическими разло жениями.
Итак, для случайных возмущений вида (7) можно ставить и решать ряд задач, характерных для предельных теорем теории вероятностей: результаты о сходимости по вероятности случайного решения возмущенной системы к неслучайной функции соответствуют законам больших чисел для сумм независимых случайных величин; может идти речь о предельном распределении при надлежащей нормировке — это соответствует результатам типа цен тральной предельной теоремы; так же как в уточнениях центральной предельной теоремы, мы можем получать асимптотические разложения по степеням параметра.
В предельных теоремах для сумм независимых случай ных величин есть еще одно направление: изучение ве роятностей больших (после нормировки) уклонений сум мы от среднего; естественно, что все такие вероятности стремятся к нулю, но можно изучать вопрос о подыска нии эквивалентных им достаточно простых выражений или о более тонкой их асимптотике (или о более грубой). Первые общие результаты о больших уклонениях для
сумм независимых |
случайных величии были получены |
Г. К р а м е р о м |
[1]; эти результаты касались асимпто |
тики с точностью до эквивалентности вероятностей вида
р f Sl + |
•••+ — nm |
(12) |
|
oVn |
|
|
|
|
при n -> oo, x —> оо, |
а также (при больших ограниче |
ниях) асимптотических разложений для таких вероят ностей,
Аналогичные вопросы нас могут интересовать для семейства случайных процессов Xц возникающих в
ВВЕДЕНИЕ |
15 |
результате малых случайных возмущений динамической системы. Например, если А — множество в пространстве функций на отрезке [О, Т], не содержащее невозмущен ной траектории хх (и находящееся от нее на положитель ном расстоянии), то вероятность того, что возмущенная
траектория Xf попадет в это множество1
Р {* 8 S 4 |
(13) |
естественно, стремится к 0 при е |
0; но какова асимпто |
тика этой бесконечно малой вероятности?
Могло бы показаться, что такое копание в чрезвычайно маловероятных событиях противоречит общему духу тео рии вероятностей, пренебрегающей маловероятными со бытиями. Однако именно установление того, какие почти невероятные события, относящиеся к случайному процес
су Xf на конечном отрезке, «более невероятны», а какие «менее невероятны», дает в некоторых случаях ключ к вопросу о том, каково, с вероятностью, близкой к 1, будет
поведение процесса Xf на бесконечном (или растущем с уменьшением е) отрезке времени.
Действительно, рассмотрим для определенности част ный случай возмущений вида (7):
Xt = Ъ(X f) + еф^ |
(14) |
а ф* пусть будет стационарный гауссовский процесс. Пусть траектории невозмущенной системы (1), начинаю щиеся в точках некоторой ограниченной области D, при 0 не выходят из этой области и притягиваются при t -> оо к устойчивому положению равновесия Будут
ли с вероятностью, близкой к 1 при малых е, обладать этим свойством и траектории возмущенной системы (14) ? Приведенные выше результаты, касающиеся малых не случайных возмущений, не могут помочь нам в ответе на этот вопрос, потому что верхняя грань |ф*| по t е [0, оо) с вероятностью 1 бесконечна (если не учитывать случая «очень вырожденных» процессов ф*). Нужно подходить к этому вопросу по-другому. Разобьем ось времени [0, оо) на счетное число отрезков длины Т. На каждом из них наиболее вероятным при малых е будет такое поведение
процесса Х]х при котором верхняя трань |Xf — xt |по
15 ВВЕДЕНИЕ
отрезку мала. (Для отрезков с большими номерами Xf с подавляющей вероятностью будет просто близко к х%.) Все другие способы поведения, в частности такие, при ко
торых Xf выходит на данном отрезке времени за пределы области D, будут иметь малые при малых е вероятности. Но положительные при любом е > 0. (Мы опять исклю чаем из рассмотрения неопределенный класс «очень вы рожденных» случайных процессов ф,). При фиксирован ном е > 0 вероятность
Р [Xf ф D при каком-то t е [кТ, (к + 1) Г]} (15)
будет почти одна и та же для всех отрезков с большими номерами. Если бы события, относящиеся к поведению нашего случайного процесса на разных отрезках времени, были независимы, мы получили бы отсюда, что с ве
роятностью 1 процесс Xf рано или поздно выходит из Z), причем момент т8 первого выхода имеет приближенно по казательное распределение с параметром Г-1 •Р {X® выхо дит из D при t е [кТ, (к + 1)Г]}. То же будет, если эти события не в точности независимы, но зависимость между ними определенным образом убывает для далеких друг от друга отрезков. Это может быть обеспечено некоторыми свойствами слабой зависимости возмущающего случайного процесса
Итак, для задач, связанных с выходом Xf при ма лых е из области, существенна асимптотика вероятно стей маловероятных событий («больших уклонений»),
связанных с поведением процесса Xf на конечных от резках времени. В случае гауссовских малых возмуще ний, оказывается, вероятности такого рода имеют при е -* 0 асимптотику вида ехр { —Се~2} (грубую асимптоти ку, т. е. не с точностью до эквивалентности, а с точностью до логарифмической эквивалентности). Оказывается, мож но ввести функционал £(ср), определенный на гладких
функциях (более гладких, чем траектории процесса |
Xf) |
|||
такой2 что для малых положительных б и е |
|
|||
Р{р(Х8, ff) < |
6} » |
ехр { - е - З Д } , |
(16) |
|
где р — расстояние в |
пространстве |
функций (скажем,- |
||
в пространстве непрерывных |
функции |
на отрезке от |
Тх |
ВВЕДЕНИЙ И
до Т2; точный смысл формулы (16) см. в гл. 3). Значение функционала на данной функции характеризует трудность
прохождения процесса X] вблизи нее. Вероятность мало вероятного события составляется из вкладов ехр { —е-2 X X £(ср)}, соответствующих окрестностям отдельных функ ций ф; при 8 —> 0 существенным остается лишь слагаемое с наименьшим S(ф). Поэтому естественно, что задающая асимптотику константа С определяется как нижняя грань S(ф) по соответствующему множеству функций ф; так, для вероятности в формуле (15) нижняя грань долж на браться по гладким функциям ф*, выходящим из D при I е [кТ, (к + 1)Т]. (Точные формулировки и вид функционала S(ф) можно найти в § 5 гл. 4, там же об суждается его применение к нахождению асимптотики момента выхода т8 при е -> 0 ).
Другая задача, связанная с поведением процесса Xf на бесконечном отрезке времени,— это задача о предель ном поведении при е 0 стационарного распределения
р8 процесса Xf. Это предельное поведение связано с предельными множествами динамической системы (1). Действительно, стационарное распределение показывает, какую долю времени проводит процесс в том или ином мно жестве. Естественно ожидать, что при малых 8 процесс
Xf большую часть времени будет проводить вблизи предельных множеств динамической системы, причем скорее всего вблизи устойчивых предельных множеств. Если у системы (1) только одно устойчивое предель ное множество X, то мера р8 при е -> 0 будет слабо схо диться к мере, сосредоточенной на К (мы не формулируем наши утверждения настолько точно, чтобы заботиться о
возможности существования разных пределов ре* по разным последовательностям ег ->0). Однако если устой чивых множеств несколько — пускай хотя бы только два, Кх и К2,— положение становится неясным; и оно будет зависеть от точного вида малых возмущений.
Задача установления того, что делается со стационар ным распределением случайного процесса, возникающего при действии случайных возмущений на динамическую систему, при безграничном уменьшении этих возмущений,;
ставилась в статье П о н т р я г и н |
а, А н д р о н о в а и |
В п т т а 11 ]. Подход* примененный |
в этой статье* отно- |
13 Введение
силен не к возмущениям вида (14), а к возмущениям,; под действием которых возникают диффузионные процес сы (задаваемым формулами (19), (20) ниже). Этот подход основывался на решении дифференциального уравнения Фоккера — Планка; в одномерном случае задача нахожде ния асимптотики стационарного распределения была пол ностью решена (см. также статью Б е р н ш т е й н а [1] того же времени). Некоторые результаты относительно стационарного распределения были получены также в двумерном случае.
Подход, применяемый нами, основывается не на урав нениях для плотности стационарного распределения, а на исследовании вероятностей маловероятных событий. На бросаем схему применения этого подхода к задаче об асимцтотике стационарного распределения.
Большую часть времени процесс Х\ проводит в ок рестностях устойчивых предельных множеств Кх и К2\ изредка он отходит на значительное расстояние от Кг или К2 и опять возвращается к тому же множеству; и очень редко переходит от Кх к К2 или наоборот. Если мы
установим, что вероятность |
перехода Х\ |
от Кг к К2 в |
течение какого-то большого |
(но не зависящего от е) |
|
времени Т стремится к 0 |
при е -> 0 |
со скоростью |
ехр { —У12е-2}, а вероятность перехода от К2 к Кх имеет по рядок ехр (—У21е-2}, причем У12 < У21, то становится правдоподобным, что при малых е большую часть времени процесс проводит в окрестности К2: ведь одна успешная «попытка» перехода от Кх к К2будет приходиться на мень-
шзе число отрезков |
времени [кТ, (к + 1)Г], проводимых |
процессом вблизи |
чем успешная попытка перехода от |
К2 к Кг по отношению к числу отрезков времени длины Г, проведенных вблизи К2. При этом р8 будет стремиться к мере, сосредоточенной на К2. Константы У12, У21 можно найти как нижние грани функционала 5(ср) по гладким функциям ср, переходящим на отрезке длины Т из мно жества Кх в К2 и наоборот (точнее, как пределы таких нижних граней при Т -> оо).
Намеченная здесь программа исследования предель ного поведения осуществлена не для случайных возмуще ний вида (14), а для возмущений, приводящих к марков ским процессам; точные формулировки и результаты да ются в § 4 гл. 6.
ВВЕДЕНИИ |
19 |
Случайные возмущения вида (14), как мы уже упоми нали,— не единственная схема случайных возмущений, которую мы будем рассматривать (и не та, которой мы будем уделять наибольшее внимание). Можно рассмотреть ее непосредственное обобщение, в котором случайный процесс ф* заменяется обобщенным случайным процес сом — «белым шумом», который можно определить как производную (в смысле обобщенных функций) от винеровского процесса wt:
X* = b(x4) + *wt. |
(17) |
Уравнению (17) можно придать форму, не использующую обобщенных функций, проинтегрировав его:
t
Х,Е= Х0 + J Ъ(X е) ds + е (и;, - w0). |
(18) |
О |
|
Для возмущений такого вида мы можем решать большее число интересных задач, чем для возмущений вида (14), потому что они приводят к марковскому случайному
процессу Xf.
Дальнейшее обобщение — возмущения1 зависящие от точки пространства, вида
X? = b(X?) + eo(X?)it, |
(19) |
где а(;г) — матричная функция. Точный смысл уравнения
(19) формулируется |
на языке стохастических интегралов: |
||
|
t |
t |
|
Xf = Х0 + |
J b (X?) ds + |
e f о (X SE) dws. |
(20) |
|
0 |
0 |
|
Решение уравнения (20) — также марковский процесс (диффузионный процесс с вектором переноса Ь(х) и мат рицей диффузии е2а(х)а*(а:)). Для возмущений типа бело го шума, задаваемых формулами (19), (20) также могут быть получены результаты о сходимости при е -> 0 к траекто риям невозмущенной системы типа (10) и результаты о разложениях по степеням е типа (9), из которых мож но получить результаты об асимптотической гауссовости (например, типа (11)). Разумеется, раз белый шум — обобщенный процесс1 реализации которого ап в каком
20 ВВЕДЕНИЕ
смысле не являются ограниченными функциями, эти ре зультаты нельзя получить из приведенных в начале вве дения результатов, касающихся неслучайных возмуще
ний; |
их |
приходится получать независимым образом (см. |
§ 2 |
гл. |
2). |
Для |
возмущений типа белого шума устанавливаются |
результаты, касающиеся вероятностей больших уклоне ний траектории Xf от траектории xt динамической сис темы (см. § 1 гл. 4 и § 3 гл. 5). При этом из-за марковского характера процессов они становятся даже проще; в част ности, простой вид принимает функционал S{ср), показы вающий трудность прохождения траектории вблизи функ ции ф:
5 (Ф) = |
| J 2 аи (Ф()(ф! - Ъ1(Ф())(ф’ - |
Ъ} (Ф<)) dtt |
где матрица |
(а,ц(х)) = (о(х)о*(х))-т1. |
возмущений |
Какие же |
еще схемы малых случайных |
динамических систем нам рассматривать, какие семейства случайных процессов при этом будут возникать? Обобще ния могут идти по множеству различных направлений,, и не видно, какие из этих направлений следует предпо честь другим. Но можно поставить вопрос по-другому: в каком случае данное семейство случайных процессов считать результатом случайного возмущения динами ческой системы (1)?
Прежде всего, так же, как мы можем рассмотреть траекторию динамической системы, выходящую из лю бой точки, у нас должна быть возможность начать слу чайный процесс в любой момент времени t0 из любой точ ки х пространства. Затем, рассматриваемый случайный процесс должен зависеть от какого-то параметра h, ха рактеризующего малость возмущений. Будем для простоты считать этот параметр положительным числовым, а устре млять его будем к нулю (в § 3 гл. 5 рассматриваются се мейства, зависящие от двумерного параметра). Итак*
предположим, |
что |
X/0,x’/l при |
любом действительном |
||
£0, |
х е Rr и |
h > 0 — случайный процесс |
со значе |
||
ниями в Rr, такой, что Х\°0'х,к = |
х. Мы будем говорить, |
||||
что |
X*0,x,/l — результат малых |
случайных |
возмущений |
||
системы (1), если |
Xl°'x,h при h \ 0 сходится по вероятности |