книги / Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений
..pdfI SJ |
Уравнений с малым Параметром |
91 |
функция / |
в точке у = x t{x) не гладкая, а имеет «уголок» |
степенного порядка: f(z) = f(y) + |
C\z — у\а -\- o(\z — у\°) |
|||
при z —►у, |
0 < а |
1. Пользуемся |
разложением X® до |
|
членов с е в первой |
степени: |
|
|
|
|
Ха®= |
(*) + еХ' 0 |
+ |
о (е). |
При s = t |
имеем |
|
|
|
X? = у + еХ<1)+ о (е),
/ ( * ? ) - / ( 0 + Л ? \Х\1)\а + о(г%
не (t, х) = М,/ (X?) =/(< /) + еаШ х|X l 't f о (е“).
Математическое ожидание здесь находим, пользуясь гаус~ совостыо Х\1); оно равно
1„ -иУ2мЛх\Х))гл.. в
УглмДл'1/ ’)-1
-------П ------г(т+т|
Если функция / обращается в нуль в окрестности точки
Х\0) — положения в момент t траектории невозмущенной динамической системы (1.2), то все члены разложения (3.5)
обращаются в нуль. Оказывается, в этом случае |
vB(t, |
х) |
логарифмически эквивалентно ехр { —Се“2}, где |
С |
— |
некоторая постоянная. Мы вернемся к этому случаю в следующей главе.
Рассмотрим теперь в ограниченной области D a Rr с границией dD задачу Дирихле для эллиптического урав нения с малым параметром
т 2 *"« -ет-+2 ь' (*> -S-+сw |
<х> |
= Ъги |
+ с {х) и* = g (х), |
и*(-г)|ао = ф(*). |
(3-15) |
92 |
ВОЗМУЩЕНИЯ НА КОНЕЧНОМ ОТРЕЗКЕ ВРЕМЕНИ [ТП $ |
Мы предполагаем, что коэффициенты удовлетворяют условиям 1)—3), с(х) ^ 0, граница 6D области D для про стоты считается гладкой, функция ф(.г), х е dD,— непре рывной. При этих условиях для любого е Ф Осуществует единственное решение задачи (3.15). Это решение (см. § 5 гл. 1) может быть записано в виде
и (х) = |
j |
х* |
I 4 A^)rf15 |
ф(Х?е)е° |
|
ds |
|
|
|
|
(3.16) |
где (Xf, Px) |
— марковский процесс, |
определяемый урав |
нением (3.1), те = min {£ : X/ ф D }. В случае, когда мы
будем |
пользоваться |
обозначением Xf (я), мы будем также |
||||||||||
писать |
те(х). |
говорить, |
что |
траектория |
xt(x), х е D, |
|||||||
Мы |
будем |
|||||||||||
системы (1.2) выходит из области D правильным образом, |
||||||||||||
если |
Т(х) |
= min {t: xt(x) ф |
D) < |
оо и |
хт{х)^.ь(х) ф D U |
|||||||
(J dD |
|
при |
достаточно малых |
б у> 0. |
выполнены усло |
|||||||
Т е о р е м а |
3.2. Предположим, |
что |
||||||||||
вия 1)—3), область D ограничена |
и имеет гладкую гра |
|||||||||||
ницу. |
|
Тогда, если |
с(х) <С 0 |
при |
всех х е |
D U dD и при |
||||||
банном |
х траектория :rt(r), |
t ^ |
0 Д не выхобит из D%то |
|||||||||
lim ие(х) =* и°(х) существует, |
и |
|
|
|
|
|||||||
е-*0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
»е |
|
|
|
j*c(xv(x))d» |
|
||
|
|
|
и° (х) = |
— j |
g (xa(х)) е° |
|
ds. |
|||||
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
Если |
с(х) < 0 |
при |
всех |
л е й |
|
|J |
dD, |
и |
при чданном х |
|||
траектория х*(:г) выхобит из D правильным образом, то |
||||||||||||
П т ие (я) = и0 (х) =* |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Т(*) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J «(*«<*))* |
|
ТОс) |
|
J с(*„(*))<1* |
|||
|
|
*= Ф(*Г(*) (*)) е 0 |
|
|
~ |
j |
f (*» (*)) е° |
о
§ 3) |
УРАВНЕНИЯ С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ |
03 |
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть сначала Т(х) = +оо. Тогда для любого Т < оо расстояние от отрезка траекто рии хй(х), 0 < $ < Г, до границы dD области D положи тельно. Обозначим это расстояние 6Г. Для любого а > О при достаточно малом е0 > О
р ( max |Х*(а:) — xs (x)|> 4г| < а |
(3.17) |
|
lo<s<r |
“ I |
|
при е < е 0. Это следует из второго утверждения теоремы 1.2.
Из определения |
6 Г и (3.17) вытекает, |
что |
|
|
|
Р(те(*) < |
Т) <сс. |
|
(3.18) |
Обозначим с0 |
min |c(x)|, |
Фо = |
max |ф(а:)|, |
So ^ |
|
xE:D\JdD |
|
wean |
|
max |g(x)|.
D <JdD
На основе (3.18) приходим к следующей оценке:
< Фо* СоТ+ I2ое c ° * d s + а (ф0+ £осо0+
т|с(х®(ж))йг>
+ м [ § № (* )) е0 |
~ g (х, {х)) е° |
ds. |
О |
|
|
Так как а и е-с»т могут быть выбраны как угодно малыми
прп достаточно малых е, a sup |Х®(.г) — xs (.z)|-*-0 по O-^s-^T
вероятности при е -> 0 , то из последнего неравенства вытекает первое утверждение теоремы.
Пусть теперь xt(x) выходит из D правильным образом (рис. 1). Тогда тг(х) ->* Т(х) при е ->• 0 по вероятности. Действительно, при достаточно малых 6 > О
•^гСя)—б(^) ^ D, ^т(зс)+б(^) ^ D U dD.
Пусть бх — расстояние от отрезка траектории хД#), s е
04 |
ВОЗМУЩЕНИЯ ЙА КОНЕЧНОМ ОТРЕЗКЕ ВРЕМЕНИ |
[ГЛ. 2 |
||||||||||
е |
[0, Т(х) — б] |
до 3D, |
б2 — расстояние от |
Яг(*>+б(*) |
||||||||
до |
3Dу б = |
ruin (8Ь б2). По |
теореме |
1.2 |
|
|
|
|||||
|
Нш Р ( |
sup |
|Xes (х) — х8 (х) |> |
б) = 0. |
|
|||||||
|
е-*0 |
h<s<:T(xH6 |
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
Отсюда следует, |
что те(х) е |
\Т(х) — б, Т(х) + |
б] |
с веро |
||||||||
ятностью, стремящейся |
к |
1 |
при |
е -> 0. Это и означает, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
что |
те(е) |
|
Т(х) по |
вероят |
||
|
|
|
|
|
|
ности. |
Если |
воспользовать |
||||
|
|
|
|
|
|
ся |
этим |
обстоятельством и |
||||
|
|
|
|
|
|
теоремой 1.2, то из (3.16) вы |
||||||
|
|
|
|
|
|
текает |
последнее |
утвержде |
||||
|
|
|
|
|
|
ние теоремы. Предельный пе |
||||||
|
|
|
|
|
|
реход под знаком |
математи |
|||||
|
|
|
|
|
|
ческого ожидания |
законен в |
|||||
|
|
|
|
|
|
силу |
равномерной |
|
ограни |
|||
|
|
|
|
|
|
ченности выражения, стояще |
||||||
|
|
|
|
|
|
го |
под |
знаком математиче |
||||
|
|
|
|
|
|
ского |
ожидания. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Пусть теперь функция с(х) |
||||||
|
|
|
|
|
|
любого |
знака: |
известно |
только, что она непрерывна. В этом случае задача (3.15) может, вообще говоря, выйти на спектр: ее решение может существовать не для любой правой части и не быть единст венным. Как говорилось в § 5 гл. 1, для того чтобы этого
не произошло, достаточно, чтобы с(х) ^ с0 при х е |
D |
и Мхес°т< 00. |
D |
Л е м м а 3.1. Предположим, что при любом х е |
траектория xt(x) выходит из D правильным образом и
Т{х) <1 Т0 < оо при X G D, |
Пусть |
при некотором б > 0 |
||
max р (xt (х), D U 3D) ^ с > 0 для всех J G |
D. |
Тогда для |
||
Г(зсК«Т(л:)+6 |
|
|
|
|
любого X найдутся Л(Х) и е(Л) > 0 такие, что при г^г(Х) |
||||
sup Мхек%г ^ А ( Х ) < оо. |
|
|
||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Как |
следует |
из |
анализа, |
проведенного при доказательстве теоремы 3.2, если xt(x)
выходит |
из D |
правильным |
образом, |
то |
хе(х) |
Т(х) |
|
по вероятности |
при е |
0. |
Из условий |
Т(х) ^ |
Т0 и |
||
max р |
(xt {x)t D U dD) > |
с |
выводится^ |
что |
для любого |
§ 31 УРАВНЕНИЯ С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ 95
6 > О найдется такое |
е0 > 0, что при г < е0 |
|
|||||
|
?{\т*(х) |
- |
Т(х)| > 6 } < б |
|
|
||
сразу для всех х е D. Отсюда |
следует, |
что |
|
||||
|
sup Рх {те > 27’0) < б. |
|
(3.19) |
||||
Далее, используя (3.19) |
и марковское свойство |
процесса |
|||||
( A'f, Рж), |
будем иметь |
|
|
|
|
|
|
sup ?х (те > п-2Т0] = |
|
|
|
|
|
|
|
осей |
|
|
|
|
|
|
|
= 8ирМЛхе > ( и - 1 ) . 2 Г 0; Р |
г |
|
|те> 2 Г0П < |
||||
KSD |
V |
|
|
а (п- 1 ) .2 Г 0 |
|
J |
|
|
|
|
< б - |
sup РДт8Х « - 1 ) 2 Г 0]. |
|||
Из этого |
неравенства |
следует, |
что |
при |
любом |
целом п |
|
и х е D |
|
|
|
|
|
|
|
|
Р* { х8 > |
п-2Т0} < |
бп. |
|
|
Так как величина б может быть выбрана произвольно малой при достаточно малом е, то из последнего неравенст ва получаем утверждение леммы:
Me**' < 2 ех'21-,Сп+1>Р)С|те > 2 7 » <
п—0
2 ( Д 2Т”6 )П= .4 (Л) < оо.
п=0
С л е д с т в и е . При любом к > 0 найдется постоян ная В = В(А;) такая, что ^ ВеК Отсюда в силу лем мы 3.1 вытекает, что
М, (т8)* < В (к) М У < В (А’) А (1) = Л < оо.
Т е о р е м а 3.3. Пусть выполнены условия 1)—3), область D ограничена и имеет гладкую границу dD, функ ция \|)(я) на dD непрерывна. Предположим, что при всех
96 |
ВОЗМУЩЕНИЯ НА КОНЕЧНОМ ОТРЕЗКЕ ВРЕМЕНЯ [ГЛ 2 |
I G D траектории xt(x) выходят из D правильным об
разом, supT(^) ^ |
Т0 < оо, и max р (xt (х), D (J dD)^c> 0. |
|
зсео |
Т(ЭС)< |
Т(х)+6 |
Тогда для любой непрерывной функции с{х), I G D U |
||
задача (3.15) однозначно разрешима |
при достаточно ма |
|
лых е, и |
|
|
lim це (о:) = н° (я) =
о
Д о к а з а т е л ь с т в о . Как указывалось в § 1.5, для однозначной разрешимости задачи (3.15) и справедливос
ти |
(3.16) |
достаточно, |
чтобы |
М* ехр/т • max с |
||
^ |
А < |
оо, |
|
|
I |
x€=DUdD |
поэтому первое утверждение |
теоремы выте |
|||||
кает из |
леммы 3.1. |
|
|
|
||
|
Второе утверждение вытекает из (3.16), если учесть, |
|||||
что при с ->■ 0 для любых t > |
0 и х е Д |
|
||||
|
|
х8 (х) -+Т(х), |
su р |Хе$(г) — xs {х) I -> О |
по вероятности, а математическое ожидание квадрата слу чайной величины, стоящей в (3.16) под знаком математи
ческого ожидания, |
ограничено равномерно |
по б < е0, |
если только е0 достаточно мало. |
траектория |
|
З а м е ч а н и е |
1. Если Т(х) < оо, но |
Xi(x) не выходит из D правильным образом, то, как сле дует из простых примеров, вдоль этой траектории предель ная функция может иметь разрыв.
З а м е ч а н и е 2. Легко проверить, что предельная функция и°(х) в теореме 3.3 удовлетворяет уравнению первого порядка, которое получается при 6 = 0 :
г
L°u° (х) -f с (я) и0(.г) = •4* Ь*(х) Яг:1+ с (х) и0(х) = g (х).
Среди решений этого уравнения функция и°(х) выделяет ся тем, что она совпадает с ф(.г) в тех точках границы об ласти D} через которые траектории xt(x) выходят из D.
§ 3] |
УРАВНЕНИЯ |
С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ |
97 |
|
З а м е ч а н и е 3. |
Пусть теперь матрица |
(а{>(х)) мо |
жет иметь вырождение. В этом случае задача (3.15) тре бует уточнения. Во-первых, граничные условия нужно задавать не во всех точках границы; в некоторых точках границы, как легко понять на примере уравнений первого порядка, граничные условия не будут приниматься. Во-вторых, классическое решение может не существовать даже в случае бесконечно дифференцируемых коэффициен тов, и необходимо ввести понятие обобщенного решения. И, наконец, в-третьих, без дополнительных предположе ний обобщенное решение может не быть единственным. Чтобы построить теорию таких уравнений с неотрицатель ной характеристической формой, можно воспользоваться вероятностными методами. Именно так были получены первые результаты в этой области (Ф р е й д л и н [11, [4], [6]). Позже часть этих результатов была получена традиционными методами теории дифференциальных урав нений. Если элементы матрицы (а*ф)) имеют ограничен ные вторые производные, то существует факторизация (ai}(x)) = а(.г)а*(£), где элементы матрицы о(х) удовлет воряют условию Липшица. В этом случае с помощью уравнений (3.1) строится процесс (X е,PJ, соответствующий оператору Le. В работах Ф р е й д л и н а [11, [41 с по мощью этого процесса уточняется постановка краевых задач для оператора Le, вводится понятие обобщенного решения, доказываются теоремы существования и единст венности, исследуется гладкость обобщенного решения.
В частности, если функции ai}(x) имеют ограниченные вторые производные и выполняются условия теоремы 3.2, соответственно 3.3 (за исключением невырожденности), то это обобщенное решение при достаточно малых е сущест вует, единственно и для него выполняется равенство (3.16). В этом случае справедливо и утверждение теоремы 3.2 (те оремы 3.3), если под иг(х) понимать обобщенное решение.
После аналогичных уточнений сохраняется и теоре ма 3.1.
Теоремы 3.2, 3.3 использовали результаты о предель
ном поведении процесса Xf типа закона больших чисел. Также из более тонких результатов (разложений по степе ням е) можно получить более тонкие следствия,касающиеся асимптотики решения задачи Дирихле. Что касается раз ложения решения по степеням малого параметра (в случав
4 А. Д. Вентцель, М. И. Фрейдлпн
98 |
ВОЗМУЩЕНИЯ НА КОНЕЧНОМ ОТРЕЗКЕ ВРЕМЕНИ |
[ГЛ. 2 |
гладких граничных условий), то лучшие результаты здесь дают не прямые вероятностные, а чисто аналитические или же комбинированные (см. Холланд [1]) методы. Рассмот рим пример задачи с негладкими граничными условиями.
Пусть характеристика xt(x), t ^ О, выходящая из внутренней точки х области D с гладкой границей, выхо дит из области, пересекая ее границу при значении пара метра t0; в точке у = xto(я) вектор Ь(у) направлен строго наружу области. Пусть иг — решение задачи Дирихле Ьгиг = 0, иг —>•1 при приближении к некоторой под области Гх границы, иг 0 при приближении к внутрен ним точкам dD \ Г\ (и всюду иг ограничено). Предполо жим, что поверхностная мера границы Гх равна нулю Тогда решение единственно, и ие(х) представляется в виде
ие(х) = М лг, (Х т8е).
Если у — внутренняя точка Гх или dD \ Гх, решение иг в точке х при е —^ 0 стремится к 1, соответственно к 0 (результаты, касающиеся порядка стремления, должны опираться на результаты типа больших уклонений; см. гл. 6, теоремы 2.1 и 2.2). Если же у принадлежит гра нице области Гь то разложение (2.15) сводит вопрос об асимптотике ие(х) к вопросу об асимптотике вероятности
попадания гауссовского случайного вектора Х ^ — Х(/о0)Х
в раздуваемую в е 1 раз проекцию Гх на ка-
сательную плоскость (в двумерном случае — прямую). В частности, в двумерном случае, если Гх — отрезок дуги с точкой у в качестве одного из концов, то lim ие{х) = 1/2.
То же будет и в случае большего числа измерений, если граница области Гх гладка в точке у. Если эта граница в точке у имеет «уголок», задача сводится к задаче о веро ятности попадания нормального случайного вектора с ну левым средним в угол (телесный угол, конус) с вертт иной в нуле. После аффинного преобразования печь идет о на хождении величины угла (телесного утла).
Г Л А В А 3
ФУНКЦИОНАЛ ДЕЙСТВИЯ § 1. Метод Лапласа в функциональном пространстве
Рассмотрим случайный процесс X* = X] (х) в простран стве Rr, определяемый стохастическим дифференциальным
уравнением |
|
fct = b {X f) + Ewt, XI = *. |
(1.1) |
Здесь, как обычно, wt — винеровский процесс |
в 7?г; |
поле Ь(х) предполагается достаточно гладким. Как пока
зано в § 1 гл. 2, траектории процесса Xf при 8 -^ 0 рав номерно на каждом конечном отрезке времени сходятся
по вероятности к решению невозмущенного |
уравнения |
xt = b{xt), х0 = х. |
(1.2) |
В том частном случае, который мы сейчас рассматриваем, нетрудно дать более точную, чем в гл. 2, оценку вероят ности Р { sup \XBt(x)—z t(z)\> 6}. В самом деле, из урав-
нений (1.1) и (1.2) вытекает, что
X* (х) — хх(я) = Jt [fc (X se (х)) — b (xs (л:))] ds + swt. (1.3)
о
Предполагая, что функция Ь(х) удовлетворяет условию Лппщица с постоянной К, из (1.3) получим
sup |X® — xt \^eeKT sup |
(1.4) |
о< к т |
|
4*
100 |
ФУНКЦИОНАЛ ДЕЙСТВИЯ |
[ГЛ. 3 |
Отсюда вытекает, что вероятность отклонения процесса
Х*(х) от траектории динамической системы убывает с умень шением е экспоненциально быстро:
где |
С — положительная |
константа |
(зависящая |
от б, К |
и |
Г). |
что если |
какое-нибудь |
подмно |
|
Эта оценка означает, |
жество А пространства непрерывных функций на отрезке от 0 до Г содержит функцию xt(x) вместе с ее 6-окрест ностью в этом пространстве, то основной вклад в вероят ность Р{Хе(;г) <= А } дает эта 6-окрестность; вероятность остальной части множества А экспоненциально мала.
Во многих задачах представляют интерес вероятности P{Xe(;r) G 4 ) для множеств А , не содержащих функции x t(x) и ее окрестности. Такие задачи возникают, например, в связи с исследованием устойчивости при случайных возмущениях, когда основной интерес представляет ве роятность выхода из окрестности устойчивого положения равновесия или предельного цикла за какое-то фиксиро ванное время, или вычисление среднего времени выхода из такой окрестности. Подобные задачи возникают, как мы увидим, при изучении предельного поведения инвариант
ной меры диффузионного процесса X® при е 0, в связи с исследованием эллиптических дифференциальных урав
нений с малым параметром |
при старших производных и |
|
в других вопросах. |
с некоторой своей |
окрест |
Если функция xt(x) вместе |
||
ностью не принадлежит множеству А, то Р{Хе(х) е |
А } -*■ 0 |
при е ->■ 0. Оказывается, что и в этом случае, при некото рых предположениях относительно множества А , можно указать такую функцию ср е А , что основная часть вероят ностной меры множества А будет сосредоточена вблизи функции ф; точнее, для любой окрестности U(ф) этой