книги / Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений
..pdf§ i] |
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ |
221 |
|
|
Л |
Здесь р(t) — точка на отрезке, соединяющем cpt и lt (при каждом t, вообще говоря, своя); ф? — l\ не зависит от t и
равно (ф/.+1 — lli+i — % |
+ |
|
1 — <i)- |
Вынесем |
эту |
|
постоянную |
ва знак |
интеграла. |
Воспользуемся |
тем, |
||
I dL I |
у/3гсб0 и что |
1 |
~1 |
при всех t; |
||
“5рГ I ^ |
0 ^ 1} — ф* ^ б |
получим, что интеграл (1.2) не превосходит у/Зд, а первый интеграл в (1.1) не больше чем у/3.
Второй интеграл в (1.1) не превосходит |
|
|
|||||||
AL (б) •Jт (1 + L (lu lt)) dt < |
|
т (Т + S0T(I)) < |
|||||||
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
окончательно: |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
£0т (ф) ^ SQT (I) -f |
2у/3 ^ |
SQT (ф) -f- у. |
|
|||||
Если же |
ho, то р(фо, фт ) ^ |
А,'; |
расстояния |
от фо |
|||||
и фт до назначенных точек фо, фт |
не превосходит |
б ^ |
|||||||
< [б о ^ А ', |
так что р(фо, фт) |
ЗА,' <1 y/L. |
Пользуясь |
||||||
леммой |
1.1, |
получаем, |
что |
эти |
точки |
соединяет кривая |
|||
Ф ,, О < |
t < |
Т = р(фо, |
Фт), |
S0~ ( ф ) < |
у < |
S0T (ф) + у; |
|||
эта кривая не выходит |
за пределы ZL6 |J dD-6. |
|
|||||||
Это же доказательство сохраняется для кривых ф* в |
|||||||||
£+в [J dD+6 и <pi в D [J dD. |
VD (,х, у) мало меняется |
||||||||
Из леммы 1.4 вытекает, |
что |
||||||||
при замене D на D+ь с малым б, равномерно по х и у, ме |
|||||||||
няющимся |
в пределах какого-либо |
компакта |
в D (J dD\ |
||||||
и также мало меняется при замене D на Z)_6, причем если- |
|||||||||
точки х или у лежат вне Z>_6 [J dD-ь, то они |
заменяются |
на (х)-ь, соответственно на (у)-б*
С функцией VD (х1 у) связывается отношение эквива лентности Т) между точками D (J dD : х у, если VD (,х, у) — VD (у, х) = 0. Это отношение зависит только от ди намической системы и не меняется, если заменить матрицу (а^(х)) на другую, для которой максимальное и минималь ное собственное значение изменяются в ограниченное чис
ло |
раз. Для |
D = М вместо х 'м у будем писать просто |
х ~ |
у. Ясно, |
что из х i f у вытекает х ~ г/. |
222 |
ВОЗМУЩЕНИЯ НА БОЛЬШИХ ОТРЕЗКАХ ВРЕМЕНИ [ГЛ. 6 |
|
Из леммы 1.1 вытекает, что в случае гладкой границы |
dD точки, эквивалентные друг другу, образуют замкнутое множество.
Л е м м а 1.5. Пусть х ту у, у Ф х. Тогда траек
тория xt(x) динамической системы xt = b(xt), начина ющаяся в точке х, лежит в пределах множества точек z Б~ х.
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Существует |
последователь |
ность функций ср(*п), 0 <; t < |
Тп, фоп) = х, ф{Р1 = у, ле |
|
жащих целиком в D (J dD и таких, что |
SQTU(ф(п)) -й ). |
Значения Тп ограничены снизу положительной констан
той; обозначим ее Т. Для функций ф \п) на отрезке от 0 до Т значения функционала SoT стремятся к 0; поэтому не которая подпоследовательность этих функций сходится
равномерно на [0, |
Г] к функции ф* с SOT (ф) = 0, т. е. к |
|
траектории xt(x) |
динамической системы. Точки xt(x), |
|
0 < |
Ту эквивалентны х и у; это вытекает из того, что |
|
VD (xy ф*п)) и Vъ |
у) не превосходят SQгп(ф(п))->- 0 при |
|
п -+ оо. |
|
|
Далее начинаем с хт(я). Выбираем ту из точек х, у,
которая дальше |
от хт(я). Скажем, это будет х; имеем: |
р(хт(х)у х) |
Р(х* У)• Таким же образом, как и ранее, |
получаем, что xt(x) идет по множеству точек, эквивалент ных Ху еще в течение некоторого отрезка времени. Эти отрезки ограничены снизу какой-то положительной кон стантой, и мы последовательно получаем наше утвержде ние для всех t > 0. Легко видеть, что оно также верно и для t < 0.
Любое со-предельное множество, т. е. множество частич ных пределов траектории динамической системы при t
-> оо, состоит из эквивалентных друг другу точек; это вы текает из леммы 1.1. Максимальное множество эквива лентных друг другу точек, содержащее какое-то со-предель ное множество, может состоять из одного этого множества или представлять собой сумму конечного или бесконечно го числа таких множеств, или содержать еще точки, не входящие ни в одно со-предельное множество. При этом вместе с каждой точкой в это множество входит целая траектория динамической системы.
§ И |
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ |
223 |
Приведем примеры. Пусть траектории системы пред |
||
ставляют |
собой концентрические окружности (рис. |
10). |
В этом случае для любых двух точек х, у каких-либо зам
кнутых |
траекторий х ~ у . Однако хпОу при х ф у , |
|
D |
если область D имеет вид, указанный на чертеже. |
|
На рис. И, если ненарисованные траектории прибли |
|
жаются |
к ненарисованным, имеется шесть различных со |
предельных множеств: точка 7, точка 2, наружная кривая (включая точку 7), объединение наружной кривой и сред ней, объединение средней и внутренней, внутренняя кри вая; их объединение образует максимальное множество эквивалентных друг другу точек. В случае, когда ненари сованные траектории удаляются от нарисованных, мно
жество эквивалентных |
друг другу точек остается тем |
же, а co-предельных |
множеств остается всего два —точ |
ки 7 и 2.
Л е м м а 1.6. Пусть все точки компактл К cz D (J dD эквивалентны друг другу, но не эквивалентны никакой дру
гой точке из D |J dD. Тогда для любых у > |
0, |
6 > 0, х9 |
|||||||
у е |
К |
существуют функция |
cpt9 |
0 ^ t ^ |
Г, |
фо = |
х, |
||
Фг |
= |
у? целиком |
проходящая |
в |
пределах |
пересечения |
|||
D U dD с 8-окрестностью К |
и такая, что SoT (ф) < |
у. |
|||||||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Соединяем точки |
х9 у кри |
||||||
выми |
ф<п) G D U ® . |
0 < t < |
Тп, |
у > S0Tn |
(ф(”)) |
0. |
Если бы все кривые ф*п) выходили за пределы 8-окрестно сти К, у них существовала бы предельная точка вне этой 6-окрестности, эквивалентная точкам х9 у.
224 |
ВОЗМУЩЕНИЯ НА БОЛЬШИХ ОТРЕЗКАХ ВРЕМЕНИ [ГЛ. 6 |
Л е м м а 1.7. Пусть все точки компакта К эквива лентны друг другу и К Ф М. Обозначим через rG момент
первого выхода процесса X* из б-окрестности G компакта К. Утверждается, что для любого у > 0 существует 6 > О такое, что при всех достаточно малых е, х е G
М*тс < eve"2. |
(1.3) |
Д о к а з а т е л ь с т в о . Выберем точку z вне К
такую, что р (z, К) <-§£- А К гДе L ш X — константы из
леммы 1.1. Положим б = p(z, К)12 и рассмотрим б-окрест- ность G ZD К. Обозначим через х' точку К , ближайшую к точке х (или любую из ближайших точек, если таких точек
много), |
через у — ближайшую к z. Согласно лемме 1.2 для |
|||||
каждой |
пары точек |
я', |
у е |
К существует |
функция |
ср*, |
О ^ t ^ |
Г, фо == х*, |
фу |
= |
у, такая, что |
S0T(ф) < |
у/3, |
причем Г ограничено какой-то константой, не зависящей от начальной и конечной точки. Дополняем кривую ф* с начала и с конца отрезочками, ведущими из х в хг и из у в z, со значениями функционала S, не превосходящими соответственно у/6 и у/3. При этом длина временного ин тервала, на котором определена каждая из построенных
функций фь будет ограничена равномерно по х е G не которой константой Го, а значение функционала S для каждой из них не будет превосходить 5у/6. Каждую из этих функций доопределим до конца отрезка [0, Го] как
решение х% = b(xt): |
при этом |
значение функционала |
S |
не возрастет. |
|
|
G |
Теперь воспользуемся теоремой 3.2 гл. 5: для х е |
|||
Рх (то < Т0] > Рх (Рог0 (X е, ф) < S] > е - ° м * - 2. |
|
||
Пользуясь марковским свойством, получаем, что |
|
||
Рх (то > |
пТ0) < [1 - |
e-0.Ov.e-2]». |
|
Отсюда |
|
|
|
со |
|
|
|
М * Т с < т„ X |
[1 - e -0 .9 V е - 2 ] « e f oe ° ,о т -е -а^ |
|
|
п=0 |
|
|
|
§ 1] |
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ |
225 |
||
п, |
жертвуя ОД у |
для того, чтобы избавиться от |
Го, по |
|
лучаем требуемую |
оценку. |
К — произвольный компакт, |
||
|
Л е м м а 1.8. |
Пусть |
||
G — его окрестность. Тогда для любого у > 0 существует |
||||
6 > |
О такое, что для всех достаточно малых е и х из зам |
|||
кнутой 8-окрестности g \J dg компакта К |
|
|||
|
|
то |
|
|
|
MS |
J lg {X t)d t> e-y*-\ |
(1.4) |
|
|
|
О |
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Соединяем точку х е |
g (J dg |
с ближайшей точкой х компакта К кривой ф* со значени ем функционала S не более у/3 (это можно сделать при достаточно малом 6). Продолжаем эту кривую решением
xt = b(xt) до выхода из g (J |
но так, чтобы отрезок ее |
|
определения имел длину не более некоторого Г < |
°о , не |
|
зависящего от х. Траектория X® проходит на расстоянии |
||
не более 6/2 от ф* с вероятностью не менее |
2/3 |
(при малых е); при этом она проводит в g до выхода из G время, ограниченное снизу какой-то константой to, и ма тематическое ожидание (1.4) больше чем t0e~2те“~2/з.
Докажем теперь лемму, являющуюся обобщением лем мы 2.2 гл. 4.
Л е м м а 1.9. Пусть К — компактное подмножество Л/, не содержащее целиком ни одного со-предельного мно жестваI. Тогда существуют положительные константы с и То такие, что при всех достаточно малых е для любого
Г > Го |
и х <= К |
|
|
Р Ц тк> |
(1.5) |
где хк |
— момент первого выхода X] из К. |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пользуясь непрерывной за |
висимостью решения от начальных условий, легко прове рить, что при достаточно малом б замкнутая 6-окреСтность К+ь компакта К также не содержит целиком ни одного со-предельного множества. Для х е К+ъ обозначаем т(я) момент первого выхода решения xt(x) из К+ъ\ х(х) < оо для всехх^К+ь* Функция %{х) полунепрерывна сверху,зна чит, у нее есть наибольшее значение шах т (х) = Тх < оо,
В А Д. Вентцель, М И Фрейдлин
226 |
ВОЗМУЩЕНИЯ НА БОЛЬШИХ ОТРЕЗКАХ ВРЕМЕНИ [ГЛ. 6 |
Положим Го = Т\ + 1 и рассмотрим все функции ср*, определенные при 0 t <1 Го и принимающие значения только в K h6. Множество таких функций замкнуто в смыс ле равномерной сходимости, значит, функционал S0То достигает на этом множестве минимума А , который поло жителен, так как среди рассматриваемых функций нет тра екторий динамической системы.
Далее, пользуясь теоремой 3.2 гл. 5, так же как гри доказательстве леммы 2.2 гл. 4, получаем: Р1{тк > Г0} ^
<ехр [ - е-2 (А — Y)], Р* WK > Ж ехр 8- 2 (.11 — lj х
X( A - Y)].
Сл е д с т в и е . Из леммы 1.9 вытекает, что при е, меньшем некоторого со, для всех х е К
МхТК < Т0+ г*/с < Т'о = |
Т0 + е20/с. |
§ 2. Цепи Маркова, связанные с |
процессом (X*, Р*) |
В этом параграфе мы будем предполагать, что D — область г;а многообразии М с гладкой границей и с ком
пактным |
замыканием. |
На структуру динамической сис |
|||
темы |
в |
D (J dD мы |
наложим следующее ограничение: |
||
А) в области D существует конечное число компактов |
|||||
К2, . . . . |
Кг таких, что: |
||||
1) |
для любых двух точек х, у одного компакта выпол |
||||
няется соотношение |
х тг у\ |
||||
2) |
если х е Ки |
а у ф Ки то х ф у; |
|||
3) |
каждое |
|
|
D |
|
со-предельное множество динамической сис |
темы xt = b(xt), лежащее целиком в D [j dD, входит в одно из Kt.
Мы видели (§§ 2, 4 гл. 4, § 4 гл. 5), что в случае динами ческой системы с одним положением равновесия О (устой
чивым) для изучения поведения процесса Х\ на больших отрезках времени при малом е существенна цепь Марко ва Zn на множестве у |J dD, где у — граница малой ок рестности О. Мы видели также, что асимптотика переход ных вероятностей этой цепи почти не зависит от началь ной точки х е уу так что цепь Zn при малых е ведет себя,
§ 2] ЦЕПИ МАРКОВА, СВЯЗАННЫЕ С ПРОЦЕССОМ 227
как весьма простая марковская цепь с конечным числом состояний. Асимптотика вероятностей перехода цепи оп
ределялась |
величинами V0 = miri {V(0, у) :у е dD}, |
min {У(0, |
у) : у €EdD\ ^б(Уо)Ь например, переходная ве |
роятность Р(х, dD) для х е у лежала при малых е между ехр { —е -2(У0 ± у)}, где у > 0 мало. Аналогичную кон струкцию мы используем и в случае систем, удовлетво ряющих условию А.
Введем следующие обозначения:
Тс (Яг, К)) = inf {5 0т(ф ): <Pos ^i. Фг<=К},
ф( s (D U dD)\ U Ка при 0 < t < Т) s^i.j
(если таких функций ф^нет, полагаем VD(Ki,Kj) = +оо). Для х, у ^ D \J dD полагаем:
VD{x, Kj) = inf{5oT (ф) : ф0 = х, фг <= К,,
ф( е (D U Щ \ U Капри 0 < t < Г};
у) = inf{5oT(9) : ф0 е Я,-, |
Фг = |
У, |
Фг s (Я U 3D)\ |
U |
при 0 < t < Г}; |
"VD{x, у) = inf{5oT (ф) : Ф0 =
•Pi е (£> U Щ
Наконец,
VD(Kt, dD) = min yean
VD (x, dD) = min yean
фг = У,
\ U К„ при 0 < t < Т}.
VD{Kh у);
VD(x, y).
Эти величины и будут определять асимптотику вероят ностей перехода для цепи Маркова, связанной с процес
сом X?.
Рассмотрим пример. Пусть М = R2 и траектории динамической системы имеют следующий вид (рис. 12). Здесь имеется четыре компакта эквивалентных друг другу точек, содержащих со предельные множества.
Ь*
228 |
ВОЗМУЩЕНИЯ НА БОЛЬШИХ ОТРЕЗКАХ ВРЕМЕНИ [ГЛ. б |
Легко видеть, что VD(Ki, у) = 0 для всех у, лежащих внутри цикла К2 и на нем, в частности, VD(Kl4 К9) = 0; ^D(Ki,y) = оо для всех у вне цикла К2, откуда Ув {Кг,
К3) = VD(Kv |
КА) = VD(Ki, |
dD) = |
оо. |
Совершенно так |
же VD(Kз, |
Кг) — VD(K4, |
Кг) = |
оо. |
Далее, значения |
VD(K2, у) конечны и положительны, если только у ^ К2;
и т. д. Со структурой траекторий динамической системы, изображенной на рис. 1 2 , совместима такая матрица
VD(Ki, Kj):
( 0 |
0 оо |
со\ |
|
|
1 6 о |
1} |
|
(2Л) |
|
оо |
о о |
о / |
|
|
(То, что f D (К2, ЯГ4) равно VD |
(К2, Кя), a |
VD (Я4, К2) = |
||
s=VD(Ki, Ка), легко доказать.) |
|
|
||
Зная VD(Kt, Kj) для всех |
t, ], легко |
найти |
VD (Kt, |
|
Kj) = VD fa y ) IxeKj.yeKj.^A именно, VD(K„ Kj) = |
VD (Kt, |
|||
Kj) Д min [Уо (Kt, Ks) |
(K„ Kj)\ /\min[VD(Kt, K3l)-\- |
|||
+ VD (Ktl, Ks,)+ VD (Ks„ |
Kj)] Д ... A “ 'min [VD (Kt, |
|||
KH) 1- . . . -fV jj (ЛГв{_ 2, ЯЛ*]; |
аналогично |
выражаются |
§ 2] |
ЦЕПИ МАРКОВА, СВЯЗАННЫЕ С ПРОЦЕССОМ |
229 |
VD(Kh у), VD (х, Kj), VD (х, у). Доказывается это с по мощью леммы 1.6. В рассмотренном нами примере VD (Kt, Kj) образуют следующую матрицу:
|
/О |
0 |
9 |
9\ |
|
/ 1 0 |
6 |
9 |
9 |
(2. 2) |
|
1 |
7 |
0 |
6 |
|
|
|
\1 |
0 |
0 |
& |
|
Пусть р0 — положительное число, |
меньшее, чем поло |
вина минимального расстояния между компактами Kt, Кj
и между Kt и dD; рх — положительное |
число, меньшее, |
||
чем р0. Обозначим через С множество D (J 6D, |
из которо |
||
го выброшены р0-окрестности компактов |
X*, |
i = 1 , . . |
|
I; через Г* — границы р0-окрестностей |
Ки |
через gt — |
|
рг окрестности Ки g = |
U Si- Ввведем случайные моменты |
||
|
г |
|
|
временит0= 0 , оп == inf [ t ^ x n: Х ^ е С ), тп = ini[t^O n -i: |
|||
X fe dg U dD] и будем |
рассматривать цепь Маркова Zn= |
||
= X® . Начиная с п = |
1, Zn принадлежит множеству dg{J |
(J 6D. Что касается моментов аЛ, тоХ ^0 может быть лю
бой точкой из С; |
все следующие Хг0п до |
момента |
выхода |
|
процесса X] на |
dD принадлежат одной |
из |
поверхностей |
|
Г/, а после выхода на границу тЛ= аЛ= т Л+1=сгЛ+1 =*= . . и |
||||
цепь Zn останавливается. |
|
цепи |
Zn дают |
|
Оценки для |
переходных вероятностей |
следующие две леммы.
Л е м м а 2.1. Для любого у > 0 можно указать р0 > > 0 (которое можно выбрать сколь yeodno малым) такое, что dля любого р2, 0 < р2 < р0, найбется, рх, 0 < Pi < р2» такое, что бля любого б0, меныаего, чем р0, при доста точно малых е для всех х из р2-окрестности Gt компакта Ki
(J = |
l , . . . , I) переходные вероятности цепи Zn |
за один |
||
шаг |
удовлетворяют неравенствам |
|
|
|
ехр{—e-*(FD (Kt, |
К}) + у)} < P(z, |
dgj) < |
|
|
|
< |
ехр{—е- 2 (FD (Kt, |
Kj) - у)}; |
(2.3) |
е х р {- е -2(^ (А :г) |
dD) + Y)> <Р(*> |
< |
|
|
|
< е х р { —e -2( f D(/i:b |
dD) — 7)}; |
(2.4) |
230 |
ВОЗМУЩЕНИЯ НА БОЛЬШИХ ОТРЕЗКАХ ВРЕМЕНИ |
[ГЛ. в |
для |
всех у е dD |
|
exp [— е—2(F D (Kh у) + у)}<,Р {х, dD f| <Га„(2/ ) Х |
|
|
|
< е х р l - t - 2{VD(Ki>y) - y ) } . |
(2.5) |
В частности, если область D совпадает со всем мно гообразием М (и оно компактно), то dD = 0 , цепь Zn
имеет в качестве своего пространства состояний dg, и из (2.3) следует, что Р(х, dgj) при х ^ dgt находится меж-
ду |
ехр |
{ —e -2(F(Kj, Kj) ± v)}- |
|
|
Сделаем чертеж к этой лемме и к следующей (рис. 13). |
||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Прежде всего, VD (Kt, Kj) = |
||
= |
+оо |
(соответственно VD (Kt, dD) = + oo, |
Vn(Ki, i/) = |
= |
oo) означает, что нет гладкой кривой, |
соединяющей |
Kt с Kj в пределах D \J dD и не задевающей других ком пактов (соответственно, соединяющей Ki с dD или с данной точкой у на границе). Из этого легко вывести, что их нельзя соединить и непрерывной кривой, не задеваю щей указанных компактов. Из этого вытекает, что при
VD(Ki, Kj) |
= оо (соответственно VD |
(Kt, dD) = oo, |
VD(Ki, y) = |
oo) переходные вероятности |
в формуле (2.3) |
(соответственно (2.4), (2.5)) равны нулю. Что касается
конечных значений VD(Kh Kj), VD(Kt, у), то они огра ничены каким-то У0 < оо.
Заметим, что достаточно доказать оценки (2.3), (2.5); из (2.5) будет вытекать и (2.4), так как dD можно покрыть конечным числом 60-окрестностей.