книги / Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений
..pdf§ 3] ФУНКЦИОНАЛ ДЕЙСТВИЯ. ОБЩИЕ СВОЙСТВА 1Ц
использованную в статьях В е н т ц е л я , Ф р е й д л и - п а [1], [4]. Для этого частного случая аналогичные ре зультаты были получены в статье III и л ь д е р а [1 ].
§ 3. Функционал действия. Общие свойства
Содержание § 2 делится на две части: то, что относится именно к винеровскому процессу, и то, что касается вооб ще формы описания грубой (с точностью до логарифми ческой эквивалентности) асимптотики семейств мер в метрических пространствах. Рассмотрим отдельно второй круг вопросов.
Пусть X — метрическое пространство с метрикой р. Пусть на а-алгебре его борэлевских подмножеств задано семейство вероятностных мер р/1, зависящее от параметра
h > |
0. Мы будем интересоваться асимптотикой р/1 при |
h | |
0 (изменения, которые нужно будет внести при стрем |
лении к другому пределу, или к оо, или для параметра; принимающего значения не на числовой оси, а в более общих множествах, очевидны).
Пусть X(h) — положительная числовая функция, стре мящаяся к +сх> при h | 0; S(x) — функция на X, при нимающая значения из [0, оо]. Мы будем говорить, что
%(h)S(x) — функция действия для рЛ при h | 0, если выполнены следующие утверждения:
(0)при любом s ^ 0 множество Ф($) = {х: S(x) ^ s} компактно;
(1)для любого б > 0, любого у > 0, любого х е X
существует ho > 0 такое, что при всех h <1 ho
{у : р(я, У) < S} > ехр{—K{h)[S(x) + v 1}; |
(3.1) |
(II)для любого б > 0, любого у > 0, любого 5 > 0
существует ho > 0 такое, что при h ^ ho
Vh{y |
: Р{у, Ф(*)) > 6} < ехр{—X(h)(s — у)}. |
(3.2) |
Если |
— семейство случайных элементов |
X , опре |
деленных на вероятностных пространствах {Qh,@~h, Ph}, функция действия для семейства распределений р/1,
112 |
ФУНКЦИОНАЛ ДЕЙСТВИЯ |
[ГЛ. 3 |
pA(^) = рл{£л e i } , называется функцией действия для семейства В этом случае формулы (3.1), (3.2) прини мают вид
Рл{р(£л>*) < |
8} > |
ехр{-Х(Л)[5(*) + ?]}, |
(3.1') |
|
РЛ{Р(1Л, Ф(«)) > |
6} < |
ехр{—\(h)(s — v)}. |
(3.2') |
|
Функции S(x), X(h) в отдельности будем называт нор |
||||
мированной функцией действия и нормирующим |
коэффи |
|||
циентом. |
Ясно, что разбиение функции действия на два |
|||
множителя |
X(h) и 5(х) неоднозначно; кроме того, функ |
|||
цию X(h) всегда можно заменить функцией Ki(h) ~ |
X(h). Но |
|||
мы докажем ниже, |
что |
при фиксированном нормиру |
ющем коэффициенте нормированная функция действия
определяется |
одназначно. |
П р и м е р |
3.1. X = Л1, \ih при каждом h > 0 — рас |
пределение Пуассона с параметром h\ и мы интересуемся
поведением |
при h \ 0. |
Здесь %(h) = |
—In h; S(x) = х |
|
при |
целых |
неотрицательных х, S(x) = |
-foo при осталь |
|
ных |
х. |
|
функциональное пространство, |
|
Когда X — какое-то |
будем пользоваться термином функционал действия. Так, для семейства случайных процессов ewt, где wt — вине-
ровский процесс, f e |
[0, Г], |
wo — 0, |
нормированный |
||||
|
|
|
|
|
|
т |
|
функционал |
действия |
при е |
0 есть |
о |
|||
для |
абсолютно непрерывных |
сpt, |
0 ^ |
||||
t ^ Т, фо = 0, |
|||||||
и 5(ф) = |
Для прочих ф, а нормирующий коэффици |
||||||
ент равен е~2 (в качестве пространства X берется прост |
|||||||
ранство непрерывных функций на отрезке |
[0, Т] с метри |
||||||
кой, |
соответствующей |
равномерной |
сходимости). |
Заметим, что из условия (0) вытекает, что функция |
|
S(x) достигает своего минимума на любом непустом замк |
|
нутом множестве. Достаточно рассмотреть только случай |
|
замкнутого AczX с $A= in f{S(x): х^А }< со . Берем после |
|
довательность точек х п е А с sn = |
S(xn) | sA. Вложен |
ные друг в друга компакты Ф($п) П |
А непусты (так как |
Ф($п) П А ^ |
хп), значит, их пересечение также непусто |
и содержит |
точку хА, S(xA) = sA. |
§ 3] ФУНКЦИОНАЛ ДЕЙСТВИЯ. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ИЗ
Было бы желательно получить сразу значительное число примеров семейств случайных процессов, для кото рых мы могли бы указать функционал действия. Сделать это нам поможет следующий результат (Ф р е й д л и н [7 ]).
Т е о р е м а 3.1. Пусть ,k{h)S'l{x) — функция действия для семейства мер рл на пространстве X (с метрикой рх ) при h \ 0. Пусть <р — непрерывное отображение X в пространство Y с метрикой рг , и мера vh на этом прост ранстве задается формулой vh(A) = ^(ф -^Л)). Тогда асимптотика семейства мер vh при h { 0 задается функ
цией действия X(h)Sv(у), где Sv(y) = min {S“(x): х^ср-Цу)} (,минимум по пустому множеству полагаем равным-^ оо).
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Введем |
обозначения: |
|||
Фм(в) = {х: |
S»(x) < |
s}, Фv{s) = {у: |
Sv(y) < s). Легко |
||
видеть, что Фу($) = |
ф(Фц00)> откуда немедленно вытекает |
||||
выполнение для функции Sv условия (0). |
Зафиксируем |
||||
Докажем |
выполнение |
условия |
(I). |
произвольное у ^ Y и какую-то окрестность этой точки. Если Sv(y) = oo, то доказывать нечего; если же Sv(y) <сю,
существует х такое, что ф(.г) = у, Sv(y) = 5ц(;г). Берем окрестность точки х, образ которой входит в выбранную окрестность точки у, и получаем нужное нам условие.
Перейдем теперь к условию (II). Прообраз множества {у: ру (у, Ф » )> б }п р и отображении ф замкнут и не пересе кается с компактом Фм($); поэтому можно выбрать поло жительное б' такое, что б'-окрестность Ф^($) не пере секается с Ф"‘1{у: ру(у, Фv(s)) ^ б}. Из неравенства (3.2) с pY, Фд и б' вместо б вытекает такое же неравенство для
мер vh, pY, Фу и б.
Пользуясь этой теоремой в частном случае, когда X и Y — одно и то же пространство, но с разными метриками, получаем, что если X(h)S(x) —.функция действия для
семейства мер рЛ,А{ 0, в метрике |
pi, а метрика рг такова, |
|
что р2(я, у) -> 0 при рДя, у) |
0, |
то X(h)S(x) — функция |
действия и в метрике рг. Конечно, это простое утвержде
ние можно получить и |
независимым образом. Отсюда, |
в частности, получаем, |
т |
что |
|
|
о |
114 ФУНКЦИОНАЛ ДЕЙСТВИЯ ГГЛ. 3
остается функционалом действия для семейства процессов Ewt, 0 Т, при е | 0, если рассматривать метрику
гильбертова пространства LOT* |
|
|
|||
Следующие |
примеры уже более содержательны. |
||||
П р и м е р |
3.2. |
Пусть |
G(s, |
t) — к раз |
непрерывно |
дифференцируемая |
функция |
на |
квадрате[0, |
Г ]х [0 , Г], |
к ^ 1. Рассмотрим в пространстве С0г оператор G, опре деляемый формулой
т
t = 1G(s, t)d(fs.
О
Здесь интеграл понимается в смысле Стплтьеса, и в силу предположенной гладкости фукции G допустимо интегририрование по частям:
т |
|
t —G(T, t) yT — G (0, t) ф0 — ^ |
Ф^5* |
о |
|
Это равенство показывает, что G осуществляет непрерыв
ное отображение Сот в пространство Сот""1* функций, имеющих к — 1 непрерывную производную, с метрикой
1(ср, ф) = |
шах |
dt{ |
.Вычислим функционал |
|
0<i<kKi<k—1 |
|
|
||
|
ОС0<t<T |
|
|
|
действия для семейства случайных процессов |
||||
|
X* = zGivt = е j |
G(s, |
t) dw3 |
|
в пространстве |
Сот”1* |
при е |
0. |
В силу теоремы 3.1 |
нормирующий коэффициент остается прежним, а норми рованный функционал действия задается равенством
Sx (ф) =S OT (ф) = min {SOT (Ф)‘- 5ф = ф] =
5= min
§ 3] ФУНКЦИОНАЛ ДЕЙСТВИЯ. ОБЩИЕ СВОЙСТВА 115.
если таких ф, для которых |
Сг|) = ф, |
не существует, то |
Sx(q>) = + °° . |
оператор |
G в пространстве |
Введем вспомогательный |
||
LOT, задаваемый формулой |
|
|
Of(t) = fт G(s, t)f(s)ds,-
6
и выразим функционал SOT через оператор, обратный к G. Это будет, вообще говоря, неоднозначный оператор, пото му что оператор G переводит в нуль некоторое пространст
во L0Q L OT» которое может быть нетривиальным. Мы искусственно сделаем обратный оператор однозначным,
положив |
СГ’1ср = |
ф, |
где |
ф — единственная |
функция |
из |
|||
LOT» |
ортогональная |
подпространству |
Lo |
и такая, |
что |
||||
Сф = |
ср. Оператор GT1 определен на |
области |
значений |
||||||
оператора |
G. |
оо, |
то |
существует |
функция |
ф е |
СоТ |
||
Если |
^ (ф ) < |
такая, что 5ф = ф и SOT (Ф) < оо. При этом функция ф
абсолютно непрерывна, и бф = Сф; поэтому
SQT (ф) = |
m in у |
К * |
|^ ^ ф = |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
min j y ||/||3: Gf = |
cpj, |
||
где ||/|| — норма элемента |
/ в LOT- Любой элемент /, |
для |
|||||||||
которого |
Gf = |
ф, |
представляется в виде / |
= СГ”1ф + /', |
|||||||
где /' е |
Lo. Учитывая, что G-1ф ортогонально Lo, получа |
||||||||||
ем: ||/ 1| = |
|в -1ф12 |
+ |
I/' f^ llG -1 ф||. Это |
значит, |
что |
||||||
SOT (ф) = 4*1 G |
4ф | |
для |
ф из |
области |
значений опера- |
||||||
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тора G; |
а |
для |
остальных |
ф е |
Сот”1* |
этот |
функционал |
||||
принимает |
значение |
|
+ °° - |
|
|
|
|
|
|||
П р и м е р |
3.3. |
Рассмотрим |
случайный |
процесс |
X® |
||||||
на отрезке |
[О, |
Г], |
удовлетворяющий линейному диффе- |
116 ФУНКЦИОНАЛ ДЕЙСТВИЯ [ГЛ. 3
ренциальному уравнению
Р |
dkX* |
= ew ti |
|
|
d t k |
•
где w t — одномерный процесс белого шума. Чтобы выде лить единственное решение, нужно еще задать п гранич ных условий; будем считать их для простоты однородными линейными, причем неслучайными. Обозначим через G($, t) функцию Грина граничной задачи, связанной с
оператором |
нашими граничными условиями |
(см. К о д д и н г т о н |
и Л е в и н с о н Ц ]). Процесс X? |
|
т |
можно представить в виде X* = е j G(s, t ) d w 8J т. е. Хе=
_ |
0 |
*= G(ew). Соответствующий оператор в этом случае имеет
однозначный обратный с областью опреде
ления, состоящей из функций, удовлетворяющих гранич ным условиям. Отсюда заключаем, что функционал дейст
вия для семейства процессов X* при е |
О есть &~2SQT (ф), |
||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S QT (ф) = |
|
|
|
|
|
причем, |
если |
функция ср не |
удовлетворяет граничным |
||||
условиям |
пли |
производная |
dn~ 1(p. |
но |
абсолютно |
не- |
|
------- -- |
|||||||
прерывна, то |
SQT (ф) = +оо. |
d t n~ 1 |
|
|
|
||
функционал |
действия |
для |
|||||
Аналогичный вид имеет |
семейства многомерных случайных процессов, являющихся решением системы линейных дифференциальных уравненений, в правых частях которой стоит белый шум, умно женный на малый параметр.
В следующей главе (§ 1) с помощью того же приема, основанного на теореме 3.1, мы установим, что функцио нал действия для семейства диффузионных процессов,
8 31 ФУНКЦИОНАЛ ДЕЙСТВИЯ. ОБЩИЕ СВОЙСТВА 117
возникающих в результате возмущения динамической
системы х = b(xt) добавлением |
в правую часть белого |
|
о |
параметр е, равен |
1 |
шума, умноженного на малый |
|
т
х J |ф* — b(ift)\4t.
О
Рассмотрим условия (0), (I), (II) подробнее. Условие (0) в случае полного пространства X можно
разбить на два: полунепрерывность S(x) снизу на X (что равносильно замкнутости множества Ф($) при любом 5) и условную компактность множества Ф($); такое разбие ние удобно для проверки этого условия (см. лемму 2.1). Условие полунепрерывности S не очень обременительно: легко доказать, что если для функций Цк), S(x) выполне ны условия (I), (II), то они также выполняются для Я,(А)и полунепрерывной снизу функции S (х) = S (я) Д lim S(y).
~ |
У-+Х |
(Прием доопределения нормированного |
функционала |
действия по полунепрерывности используется |
в несколько |
уточненном виде при доказательстве теоремы 2.1 гл. 5.)
Т е о р е м а |
3.2. |
Условие |
(I) вместе с условной ком |
|||||||
пактностью Ф(s) равносильно условию |
0 существует |
|||||||||
(1равн) |
для любых б > 0, |
у > |
0 |
и so > |
||||||
ho > 0 такое, что при всех h ^ ho и всех х е |
Ф($о) выпол |
|||||||||
няется |
неравенство |
(3.1); |
|
|
|
|
|
|
||
из |
условия |
(II) |
вытекает |
0 и so > |
0 существует |
|||||
(Правы) |
для любых б > 0, |
у > |
||||||||
ho > 0 |
такое, |
что |
для всех h ^ |
hoy s ^ so |
выполняется |
|||||
неравенство (3.2); |
|
|
|
|
|
|
|
|||
из (0) и (II) вытекает |
и s ^ O |
существуют у > 0 |
||||||||
(11+) |
для любого 8 > 0 |
|||||||||
и 1ю > 0 |
такие, что при всех h ^ |
ho |
|
|
|
|||||
V-h{y- Р(у, |
ф(«)) > 6} < |
ехр{—k(h)(s + |
|
v)}. |
(3.3) |
Докажем только последнее утверждение. Значения функции S на замкнутом множестве А — {у: р(г/, Ф($)) ^ > 8 } больше, чем s; поэтому нижняя грань S(y) по этому множеству больше s. Выберем положительное у так, что бы inf (5(у): у ^ А } > s 2у; тогда А П Ф(« + 2у) = = 0 . Выбираем положительное 8', не превосходящее р(Л, Ф($ + 2у)) (это расстояние положительно в силу
118 |
ФУНКЦИОНАЛ ДЕЙСТВИЯ |
1ГЛ. 3 |
компактности |
второго множества), и пользуемся |
нера |
венством (3.2) для 6' вместо 6 и s + 2у вместо s. Условия (I), (II) в качестве формы описания грубой
асимптотики вероятностей больших уклонений введены в
статьях В е п т ц е л я, Ф р е й д л и н а [1 ], [4 ]; есть другие способы такого описания, но при выполнении
условия (0) |
они равносильны принятому здесь. |
(II) |
||
В статье |
В а р а д а н а |
[1] |
вместо условий (I), |
|
фигурируют |
следующие условия: |
|
||
(Г) для любого открытого i c |
X |
|
||
lim X(ih)~ 1In \ih(Л) |
— inf {S (x): x e A}; |
(3.4) |
||
hj0 |
|
|
|
|
(II') для |
любого замкнутого / i c X |
|
||
ПЫ к (/г)-1 In ц* (4) < |
- |
inf {S (х): х <= А). |
(3.5) |
h10
Те о р е м а 3.3. Условия (I) и (Г) равносильны, из (1Г)
вытекает (I D , а из (0) и (II) вытекает. (II')-
Таким образом, (I) фф (Г), (И) ФФ (1Г) при выполнении
условия (0).
Д о к а з а т е л ь с т в о . То, что (I') =Ф (I), (Г) =Ф (I), (ТГ) =ф>(II) доказывается очень просто; докажем, напри
мер, последнее. Множество А = |
{у: |
р(у, Ф(4')) ^ |
б) зам |
||||
кнуто, в |
нем S(y) > s, |
поэтому |
inf |
{S(y) : у е |
А } ^ s. |
||
Из (IT) |
получаем: Uni |
1(h)-1 In |хл |
T 4 )< -s , что озна- |
||||
|
|
М о |
0 при достаточно малых h имеем: |
||||
чает, что для любого у > |
|||||||
7i(/i)-4n р.л(Л )< |
—s + У, т. |
е. выполнено (3.2). |
|
||||
Пусть |
теперь |
выполнены |
(0) |
и (II); докажем (IT). |
|||
Выберем произвольное у > 0 |
и |
положим s = inf {S(y) ! |
y ^ A }—у. Замкнутое множество А не пересекается с ком пактом Ф($), поэтому б = р(И, Ф(«)) > 0. Пользуемся неравенством (3.2); получаем, что при достаточно малых h
р/>(Л) < р/Дг/: р(у, Ф($)) > |
б }< |
|
^ ехр( — k(h)(s — у)} = |
ехр{ — k(h)(ini{S(у): у е |
А) |
|
- |
2у)}. |
Логарифмируя, деля на нормирующий коэффициент Щ)
§ 3] |
функционал действия, |
общие |
свойства |
119 |
|||
и переходя к |
пределу, |
получаем lim |
\(К) |
1 ln p /^ H )^ |
|||
^ |
—inf {S(y): у Ez А } |
+ 2у, |
М О |
так |
как |
у > О |
|
откуда, |
|||||||
произвольно, |
вытекает |
(3.5). |
[1] грубая |
асимптотика |
|||
|
В статье |
Б о р о в к о в а |
вероятностей больших уклонений характеризуется одним условием вместо двух ((I) и (II) или (Г) и (II')).
Будем называть множество A cz X регулярным (отно сительно функции S), если нижняя грань S по замыка нию А совпадает с нижней гранью этой функции по мно
жеству внутренних точек А\ |
|
|
|
|
inf {£(;г): х е |
[А ]} = |
inf |
{S(x): х е (И)}. |
|
Введем следующее |
условие: |
борелевского |
A Q X |
|
(I V2) для любого регулярного |
||||
lim 1(h)-1 lnp/1(А) = |
- |
int{S(x): х<=А}. |
(3.6) |
|
hi О |
|
|
|
|
Т е о р е м а 3.4. Из условий (0), (I), (II) вытекает условие (I х/2). При этом, если А — регулярное множество,
a min |
{5 (х)\ х е |
[А ]} |
достигается в единственной точке |
||||||||
хо, то |
при любом 6 > |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ijm |
H'k ( A [ } { x г р (з?0, |
х) |
< |
6}) |
__ | |
|
|
у\ |
||
|
МО |
|
\ih(A) |
|
|
|
' |
|
V |
^ |
|
Обратно, из условий (0), |
(I |
V2) |
вытекают (I) |
и (II). |
|||||||
Заметим, что в терминах случайных |
элементов |
прост |
|||||||||
ранства X (3.7) |
переписывается |
в виде |
|
|
|
||||||
|
lim Рл {р (я0, |ft) < |
б |
е |
Л) = 1. |
|
(3.7') |
|||||
|
hi 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
' |
Д о к а з а т е л ь с т в о . Мы воспользуемся уже уста |
|||||||||||
новленной эквивалентностью (при условии (0)) |
(1) фф (I'), |
||||||||||
(II) 44 |
(И'). То, что из (Г), (1Г) вытекает (I V2), |
очевидно; |
более того, если А — не борелевское регулярное множест во, то (3.6) выполняется, если заменить рл(Л) на соответ
ствующие внутреннюю и внешнюю меру. |
что |
||
Чтобы получить |
соотношение |
(3.7), заметим, |
|
min {S(x): х е [А], |
р(х, хо) ^ |
6} > *S(^o). Из |
(3.5) |
120 |
ФУНКЦИОНАЛ ДЕЙСТВИЯ |
|
[ГЛ. 3 |
||
получаем |
|
|
|
|
|
lim X {к Г 1In \ih {x s A: p (x0, x) ^ |
6} ^ |
|
|
||
hi 0 |
|
|
|
|
|
< l i m l {h r 1In \ih |
{x e [А]: p (дг0, я) > |
6} < |
— S {x0). |
||
hi о |
|
|
|
|
|
Это значит, что [ih{x s |
Л: p(xo, a:) > 6} стремится к нулю |
||||
быстрее, чем |
р/1(Л) х |
ехр { — X {h) S (#0)}. |
|
|
|
Покажем, что из (I V2) вытекают (Г), (1Г). Для поло |
|||||
жительного б и произвольного множества А с |
X обозна |
||||
чим через Л+а его б-окрестность, |
через |
множество |
точек, находящихся на расстоянии, большем чем б, от до полнения А. Положим $ (±6 ) = inf{S(.z): х е Л±б} (нижнюю грань по пустому множеству полагаем равной +оо). Функция s определена при всех действительных значениях аргумента, кроме 0; в нуле доопределим ее значением hd{S{x): а: е А). Легко видеть, что это — невозрастающая функция, и она непрерывна во всех точках, за исключением, может быть, счетного числа.
Если А — открытое множество, то функция s непре рывна слева в нуле; поэтому для сколь угодно малого у > > 0 можно выбрать б > О такое, что s(—б) < 5(0) у, причем функция s непрерывна в точке —б. Последнее обеспечивает возможность применения соотношения (3.6)
к |
множеству |
Л _6; получаем lim |
^(^“ Чп р/1{А) ^ |
|
> |
__ |
|
hi 0 |
как у произво |
lim ЦК) Чпцл(Л-а) > |
—5(0) — у. Так |
|||
|
ди) |
вытекает |
(3.4). |
|
льно, отсюда |
|
В случае замкнутого множества А пользуемся услови ем (0), чтобы установить непрерывность функции 5 справа в нуле, а дальше повторяем то же рассуждение с заменой
А- а на Алб. |
|
|
П р и м е р 3.4. Пусть |
А — внешность |
шара в LOT • |
А = {ф е Ь%т:||ср||>с}. |
Это множество |
регулярно от |
носительно функционала SOT, рассмотренного в примере 3.3. Чтобы проверить это, умножим все элементы А на число д, меньшее единицы, но близкое к ней; открытое множество q*A = q*{A) поглотит [А], а нижняя грань функционала, как и все его значения, изменится лишь незначительно (умножится на g2).