книги / Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений
..pdf§ 11 МЕТОД ЛАПЛАСА В ФУНКЦИОНАЛЬНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Ю1
функции
Р{Х*(х) е А \ Щф)} = 0(P{X*(x) е= ЩФ)})
при г -> 0.
Весьма схожая ситуация возникает при применении
метода Лапласа для вычисления асимптотики интегралов
ъ
вида J е~г if{x)g(x)dx при е-vO . Если х0 — единствен-
а
пая точка минимума непрерывной функции f(x) на отрезке \а, Ъ], и функция g(x) непрерывна и положительна, то ос новной вклад в этот интеграл дает окрестность точки х0.
Действительно, пусть |
Ul — произвольная окрестность |
||
точки х0. Так как х0 — единственная точка |
минимума |
фун |
|
кции / на отрезке, то |
minf(x) > f(x0) + |
у, где у |
неко- |
x e [a ,b ]\ 17,
торое положительное число. Используя эту оценку, полу чаем, что
j g (X) exp { — е- v |
(.r)l dx < |
[a.b]\U, |
|
< (b — a) max |
£(*)exp[ —e-1 ( / (z0) + v)}. (1.5) |
x£[a,6] |
|
Для интеграла по окрестности точки х0 получаем оценку снизу:
f g{x)e~* if(x)dx > | g(x)e~~z 1(/(3C«HY/2)^ >
LTi |
|
|
x0— 6 |
|
|
|
|
|
|
> 2 6 |
min |
g(x) exp {— e_1 (f (x0) + |
?/2))4 |
(1-6) |
|||
|
|
xe[a,6] |
|
|
|
|
|
|
где |
б выбирается из условий: шах |
f(x)<Zf(x0) + |
||||||
{х: |
\х — я0|< |
6} cz |
|
|
|х—эс0[<б |
(1.6) следует, |
||
их. Из оценок (1.5) и |
||||||||
|
|
ь |
|
|
|
|
|
|
что интеграл | g(x) exp { —e"1f(x)}dx |
при е |
0 логариф- |
||||||
|
° |
|
_ |
г/(х0)}, т. е. lim eln |
г |
|||
мически эквивалентенехр { —е |
|
J g(x)X |
||||||
xexp { —e 1f{x)}dx= |
|
|
|
e-*0 |
a |
|||
—f(xQ). Используя тейлоровское раз |
102 |
ФУНКЦИОНАЛ ДЕЙСТВИЯ |
[ГЛ. 3 |
ложение функции f(x) вблизи точки х0, можно получить
более точные асимптотические формулы для интеграла
ь
jg(x)exp { —&~4(x))dx.
а
При вычислении вероятностей различных событий, свя занных с процессом Xf, положение аналогичное. Оказы вается, можно ввести такой фукционал 5(<р) от функций на отрезке [0, Г], что при достаточно малых е и б
Р{1|Х8 - ф||< 6} » ехр { - 8”25 (ф)}.
(Точный смысл этой формулы раскрывается в следующих параграфах.)
Если минимум функционала 5(ф) на множестве А
достигается на функции ф, то по аналогии с методом Лап ласа можно ожидать, что при малых е основной вклад в
вероятность Р {Х г е А } даст окрестность функции ф. Чтобы доказать это, нужно получить оценку снизу для Р{]|Х8 — ф||< 6} типа оценки (1.6) и оценку сверху типа оценки (1.5) дня вероятности остальной части мно жества А. Эту программу мы реализуем в настоящей главе.
Идея применения подобных конструкций в асимптоти ческих задачах в функциональном пространстве восходит к работам Р. Фейнмана по квантовой механике (см. Ф е fi ll м а н, X и б с [1 ]). Если имеется классическая меха ническая система, для которой действие вдоль траектории Ф* есть S(ф), то, как известно, движение этой системы будет происходить вдоль экстремалей функционала S(ф). Этот же функционал можно использовать для квантовомеха нического описания системы. В квантовом движении уже возможны различные траектории, причем каждой траек
тории ф* приписывается вес С exp S (ф)|, называемый
амплитудой вероятности. (Придание этому точного смыс ла — сложная проблема.) Здесь h — постоянная Планка, С — нормирующий множитель. Амплитуда вероятности множества траекторий вычисляется суммированием (инте грированием) вкладов траекторий, входящих в это мно жество. Квадрат модуля амплитуды вероятности, соот ветствующий множеству траекторий, интерпретируется как
3 1] МЕТОД ЛАПЛАСА В ФУНКЦИОНАЛЬНОМ ПРОСТРАНСТВЕ ЮЗ
вероятность соответствующего квантовомеханического дви жения. Такой подход удобен, во всяком случае, в задачах, связанных с квазиклассическим приближением в кванто вой механике, т. е. когда различные характеристики движения приближенно заменяются своими главными чле нами при h->- 0 и последующими поправками. Так, прин цип соответствия, состоящий в том, что при 0 квантово механическое движение должно перейти в классическое, при фейнмановском описании квантовомеханической си стемы немедленно следует из того, что при суммировании амплитуд вероятности основной при малых h вклад в сумму дадут траектории ф, которые являются экстремалями функ ционала действия, т. е. классические траектории. Вклад других траекторий будет существенно меньше из-за осцил ляции амплитуды вероятности. Зто рассуждение — беско нечномерный аналог принципа стационарной фазы, соглас но которому основной вклад в интеграл
дают стационарные точки функции S(x).
Функционал £(ф), который мы введем для изучения поведения при е О вероятностей событий, связанных с
процессом Xf, играет роль, аналогичную роли функцио нала действия в фейнмановском описании квантовомеха нической системы; только наши рассуждения являются бесконечномерным аналогом не метода стационарной фазы, а метода Лапласа (а стало быть, проще).
По аналогии с квантовомеханическими задачами функ ционал е ~2S(ф) мы будем называть функционалом действия для соответствующего семейства случайных процессов. Это не означает, конечно, что мы придаем этому функцио налу какую-либо механическую интерпретацию; речь идет только об аналогии с той ролью, которую играет действие
вфейнмановском подходе к квантовой механике.
Вследующем параграфе мы введем функционал дейст вия н получим необходимые оценки для процесса X® =*
=еwt, т. е. для случая, когда векторное поле Ь(х) тождест венно равно нулю. Вид функционала действия и соответ
ствующие оценки для процесса Х\ при произвольном поле Ъ(х), а также для некоторых других процессов уста навливаются в § 4 этой главы и в § 1 следующей.
104 |
|
|
ФУНКЦИОНАЛ ДЕЙСТВИЯ |
|
1ГЛ. 3 |
|||
|
|
§ 2. Экспоненциальные оценки |
|
|||||
Обозначим |
Стхт2= |
Стхт2(# г) |
множество |
непрерыв |
||||
ных |
функций |
на отрезке |
[7\, |
Т2] со |
значениями в Rr. |
|||
Будем |
рассматривать |
в этом |
пространстве |
метрику |
||||
Ртхт, |
(ф, ф)= |
sup |
|
|
На абсолютно непре- |
|||
|
|
|
T t< t < T 2 |
|
функционал |
|
||
рывных функциях ф* |
определим |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
Т2 |
|
|
|
|
SW) = STlTl(4>)= -Y ^\^\2ds; |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Тх |
|
|
если |
функция |
ср^Стхт2 не |
абсолютно |
непрерывна на |
||||
[Z'I , |
Tt] |
или интеграл |
расходится, полагаем £(ф) = +оо. |
Пусть wt — винеровский процесс в Rr, Wo = 0. Функционалом действия для семейства случайных про
цессов Xst — E W t назовем функционал |
1тхт2(ч>) — &~~28тхт2(ф); |
||||
STIT2(ф) будем называть нормированным функционалом |
|||||
действия для |
семейства |
процессов |
ewt. |
||
Т е о р е м а |
2.1. Для любых б, |
у, К найдется ео > 0 |
|||
такое, |
что |
при г < ео |
|
|
|
р {рот(*е. ф) < S} > |
ехр { —е -2[50Г(ф) + -yl), |
||||
где Т > |
0 и ф е |
СоТ таковы, что фо = 0 и Т -f- 5оТ(ф) |
|||
Эта теорема дает оценку снизу |
для вероятности «про |
хождения б-трубочки около функции ф». При вычислении
вероятности Р{Х8 e |
i } |
для |
некоторого |
множества |
А а Сот эта теорема |
поможет |
нам оценить |
снизу вклад |
окрестности экстремали ф ^ Л . Чтобы можно было реализовать метод Лапласа, мы должны еще оценить сверху вероятность того, что траектория Хг пройдет
вдали от «наиболее вероятной» функции ф. Нужную оцен
ку дает |
|
2.2. |
Пусть s — положительное |
число. |
||
Т е о р е м а |
||||||
Обозначим |
Ф(я) = {ф Е |
СоТ, |
фо = 0, S0T(ф) ^ я}. |
Для |
||
любых б > |
0, у > 0 , so > |
0 существует ео^>0 такое, что |
||||
при 0 < г |
ео |
и s < |
so |
|
|
|
р(Рот(Хе>ф(5)) > |
< |
ехр{—6-2(s — Y)}. |
|
§2] |
ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЕ |
ОЦЕНКИ |
|
105 |
||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о |
т е о р е м ы |
2.1. |
Если |
||
^от(ф) ^ К < |
оо, то функция ф |
абсолютно |
непрерывна |
|||
|
т |
|
|
|
|
|
n |
J |ф3 |ds < |
оо. Рассмотрим |
случайный процесс |
У? = |
||
|
о |
|
|
|
|
|
= |
Xf — ф*, |
получающийся |
из |
Xf = zwt |
сдвигом на |
функцию ф. Сдвиг на функцию, имеющую интегрируемую в квадрате производную, индуцирует в пространстве Сот абсолютно непрерывную замену меры. Если реш — мера
в СоТ, соответствующая процессу Xf = EWU a pys — мера,
соответствующая y f, то плотность одной меры относитель но другой имеет вид
^у8
( E W ) = exp
ги>
Используя это выражение для плотности, получим
Р 1р.г (S ', ф) < 6] - Р 1рот (У\ 0) < 6) -
|
“ |
I |
з ^ {ги,)Р^ |
- |
|
|
|
|
{РоT(ew,0)<6} |
|
|
|
|
*= exp I — %£- (* I cps |3 rfs! • |
f |
exp J - |
e-1 f (<p„du>,)} X |
|||
*■ |
0 |
•* {p0K*i.oxe} |
*■ |
о |
> |
|
|
|
|
|
|
Х Р ( Ц |
(2.1) |
Легко видеть, что вероятность множества, по которому производится интегрирование, при е — 0 равномерно по Т ^ К стремится к 1. Это следует, например, из нера венства Колмогорова. В частности, можно выбрать поло
жительное Ei так, что при е < |
si и |
Т ^ |
К |
Р{р0Г(еи;, 0) < |
6} > |
3/4. |
(2 .2) |
Далее, в силу неравенства Чебышёва |
|
106 ФУНКЦИОНАЛ ДЕЙСТВИЯ 1ГЛ. 3
s 1 [ (cps, dws) 2 ]/2 е-1 (ф)| <
<
т. е.
' Т |
2 |
е2М И (Ф,, dwt)
i“ 1/4,
Вв ^оу(ф)
Р|ехр |— е 1|(ф41 da>s)| > c x p {— 21^2 в |
*Х |
|
||||
|
|
|
|
х / 5 0т(ф)} |
> 3 /4 . |
(2.3) |
Из |
оценок |
(2.2) |
и (2.3) |
выводим, что |
|
|
|
j |
ехр | - |
е-1 J (ф„ dws)I Р {da) > |
|
|
|
(рот(еш ,0)<6] |
{ |
О |
J |
|
|
|
|
|
|
|
> 4 - е х р { - 2 / 2 е-% т (Ф )} |
||
и, |
следовательно, |
|
|
|
||
Р 1рот (-Xei ф) < |
б) > -|- ехр [— Е~2S0T(ф) — |
|
||||
|
|
|
|
- 2 У 2 е ~ 1У 1 ^ ) } |
||
Отсюда вытекает утверждение теоремы 2.1. |
|
|||||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы |
2.2. Мы доля* |
ны оценить вероятность того, что траектории нашего пр<г цесса проходят вдали от множества малых значений фун^ ционала SQT(q)). На самих траекториях Х\ = ewt функционал действия равен +оо, и мы приблизим функции X* более гладкими. Обозначим ft, 0 ^ t ^ Г, случайную лома ную с вершинами в точках (0,0), (Д, Х д), (2Д, Х|д),..., ( Т,
Хт)> Позже мы уточним, как выбирается Д, а сейчас только скажем, что Г/Д — целое число. Событие {роТ(Хе« Ф ($))]>6} может произойти двумя способами: либо пр* этом роТ(Хе, Iе) < б, либо р0Т(Хе, 1г) ^ б. В первом слУ'
§ 2] |
ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ |
107 |
чае непременно будет Iе ф Ф($), т. е. SoT(f) > 5. Отсюда получаем
Р{р0Г(Х8,Ф ( * ) ) > 6 } <
< P{SQT(f) > s) + P{por(Xs, f) > б}. |
(2.4) |
Чтобы оценить первую вероятность, преобразуем
5иГ(Г):
т |
т /д |
л г .т (о = 4 - 5 1 '<* 1 <и=-¥• 2 |
|“’" 7 д‘ - 1>>р- |
0 |
|
Вследствие автомодельности и независимости приращений
т / д
винеровского процесса сумма 2 А—1 |^^д— Щн-1>д I2 рас-
h=l
гТ/А
пределена, как 2 £?, гДе I* — независимые случайные
г=1
величины, имеющие нормальное распределение с пара метрами (0, 1):
(гТ/А |
\ |
Р [ S OT (Iе) > *] = Р { 2 |
if > 2e~2sJ. |
Оценим правую часть с помощью экспоненциального
неравенства Чебышева. Так как М exp 2 |
| = Са < оо |
||
при любОхМ ' а > |
0, то |
|
|
|
(гТ/А |
\ |
|
Р 15от (О > «1 = |
Р { 2 if > |
2е—2sJ < |
|
Г, гТ/А
|
Мехр |
Е? |
__ r rT/A |
|
—е |
||
< |
_____ L - . |
«rrt___ |
с |
||||
— L/a |
|
|
|||||
|
е х р { е 2s ( l — а ) } |
|
|
|
|
||
Отсюда следует, |
что можно выбрать ео > |
0 так, |
|||||
е < во и s ^ so |
|
|
|
|
|
|
2s(l—а) ♦
что при
Р [S0T (Iе) > *] < -±_ ехР 1“ е“ 2 - V)!- |
(2-5) |
108 |
|
|
|
ФУНКЦИОНАЛ ДЕЙСТВИЯ |
|
|
|
|
[ГЛ. Я |
|||||||
Оценим теперь |
второй |
член |
в неравенстве (2.4): |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
Т/А . |
|
|
|
, |
|
|
, |
|
|
||
Р {рог (X®t f ) |
> |
6} < |
2 Р { |
тах |
|
I X? — |
I > |
б) =5 |
||||||||
|
|
|
|
|
h = i |
y(h—l)A<t<hA |
|
|
|
) |
|
|||||
т■Р { шах I Х\ —■It |^ б} |
|
|
Р { тах |
I zwt I ^ |
8/2). |
|||||||||||
А |
|
KQ < t< A |
|
|
|
|
J |
|
А KQ0<*<Дt< A |
|
|
j |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2. 6) |
Здесь мы воспользовались тем, что случайные величины |
||||||||||||||||
шах |
|
|Xf — It \ |
при различных к |
одинаково распре- |
||||||||||||
(k— \ )A < t< k A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
делены и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р { max I X? — /81^ |
б} = Р ( max I zwt — е *4- м?д|^ б! ^ |
|||||||||||||||
1о<хд |
|
|
|
|
J |
1о<«д | |
|
|
д |
j |
|
J |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
Р |
max |ewt \^ |
г. |
|||
Продолжая оценку (2.6) и принимая во внимание нера |
||||||||||||||||
венство Р (ц?д> z } |
z |
у 2я |
g~*a/2A, справедливое для |
нор- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 и дис |
|||
мальной |
случайной |
величины w\ |
со средним |
|||||||||||||
персией А, будем иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Р lpur(*e. 1‘ ) > |
6| < |
Т Р {,™ 1А|‘ "’*1>!в/2} < |
|
|
||||||||||||
< |
|
р К |
> б/2ге) < |
if. |
|
|
уъ |
|
|
|
(2.7) |
|||||
Теперь |
достаточно |
взять |
А < |
52/4г2$о, |
и |
правая |
часть в |
|||||||||
(2.7) при достаточно |
малых |
|
е и s ^ |
so |
будет |
меньше |
||||||||||
2 ехр |
{ —в-2 |
(s — у )}. Отсюда |
и |
из неравенств |
(2.4), |
|||||||||||
(2.5) вытекает |
утверждение |
теоремы. |
|
|
|
S0T(ф). |
||||||||||
Установим |
некоторые |
свойства |
функционала |
|||||||||||||
Л е м м а |
2.1. |
а) |
Функционал |
S0T(ср) |
полунепрерывен |
|||||||||||
снизу в смысле равномерной сходимости; т. е. если последо |
||||||||||||||||
вательность ср(п) сходится к ф в |
пространстве СоТ, то |
|||||||||||||||
5ог(ф )< |
lim S0T (ф<п>)« |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
б) |
|
П —>оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
Г, таких, что фо |
|||
|
Множество функций ф*, 0 ^ |
|
||||||||||||||
принадлежит |
некоторому |
компактному |
?годмножеству |
|||||||||||||
пространства |
Rr |
и |
SoT(ф) ^ |
so < |
ос, |
компактно. |
§ 21 ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ юэ
Д о к а з а т е л ь с т в о , а) |
Достаточно |
рассмотреть |
|
случаи, |
когда существует конечный предел Ит 5ог(ф(п))- |
||
Мы воспользуемся следующим |
п-+оо |
||
фактом (см. |
Р и с е и |
||
Н а д ь |
[11, стр. 86): функция фе абсолютно |
непрерывна |
и ее производная интегрируема в квадрате тогда и только тогда, когда конечен
sup |
(2.8) |
причем в случае конечности эта верхняя грань равна
т
J i<pti2 dt■
о
Выражение
sup
0 < U < t x< . . . < t N < T
(2.8) |
равно |
|
|
|
N |
I ф(п) _ |
ф(п) 12 |
|
|
l i - 2 ' |
! - Г - ~ < |
|
||
п-*оо |
|
1 1 |
4 —1 |
|
|
N |ф( п ) _ ф(п) 12 |
Т |
< lim |
• sup |
2 |
—1------iim f | |
cp^n) |cZs = |
n—*JO |
• ' ' ' Z |
. t j —j |
i i i |
n —*oo Q |
|
|
|
= |
2 lim S (cp(n)) < oo. |
|
|
|
|
n->oo |
Отсюда следует, что функция ср абсолютно непрерывна и
5 (ф )< Н ш |
S ( ф<п)). |
|
71—*1X5 |
т |
|
|
|
|
б) Из оценки j |Фз \^ds = 2£0г(ф) ^ |
2$о получаем, что |
|
|ф»1=|фо+ |
|ф»&|<|ф0|+ |
фз |ds ^ I Фо1 + |
|
] f Tb |
' |
+ Y 2Ts0. Таким образом, все функции нашего множества равномерно ограничены. Из той же оценки следует равно
степенная непрерывность |
функций |
ф: |
|
||
|
t+h |
/ |
t+h |
|
|
I % +h — ф[ К |
( |Ф* \ds |
h |
J |
|ф. \4s < |
|
|
|
< / Щ |
ф ) |
Yh. |
|
Компактность |
вытекает |
из теоремы Арцела. |
|
no ФУНКЦИОНАЛ ДЕЙСТВИЯ [ГЛ. 3
С л е д с т в и е . IIа каждом непустом замкнутом мно жестве в пространстве Сот, для которого начальные значе ния фо содержатся в некотором компакте, функционал 50г(ф) достигает наименьшего значения, причем значения, близкие к наименьшему, он принимает только вблизи
функций, на которых достигается |
минимум. |
|
|
|||||
Т е о р е м а |
2.3. Пусть функция ф е |
С0Т такова, что |
||||||
фо = О, £ от(ф) < оо . |
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
lim lim е2 ln Р (Рог (X е, ф) < |
б} — |
|
|
|
|
|
||
6 i 0 е4, О |
|
|
|
|
|
|
|
|
= Нш lim е2 In Р {р0з (Х 8, ф) < 6} = |
— S0T(ф). |
|||||||
|
"ёТо |
|
|
|
|
|
|
|
Для д о к а з а т е л ь с т в а |
этой теоремы достаточно |
|||||||
установить, что |
для* всякого, у > |
0 |
и достаточно |
малого |
||||
бо > 0 найдется |
ео > |
0 такое, что при 0 < е ^ ео |
||||||
е х р {- е -2(50Г(ср) — у)} > Р{роТ(Хе,ф) < |
б0} > |
|
|
|||||
|
|
> |
ехр{—е -2(5цТ(ф) -f |
у)}. |
(2.9) |
Правое неравенство составляет утверждение теоремы 2.1. Убедимся в справедливости левого неравенства. Выберем 6 о > 0 столь малым, чтобы
inf S()r(\f) > S0T(ф)— Y/4. i Рот<Ф*^<бО
Это можно сделать на основании леммы 2.1. В силу след ствия из той же леммы
6i = por({i|> : р0Т(ф, v|!) < |
6U}, |
Ф(50Г(ф) — Y/2)) > |
0. |
|
Применяем теорему |
2.2: |
|
|
|
Р{р0Г(Хв, ф) < S0} < |
Р {Рот(А'е, Ф(50Г(ф) - |
|
||
— Y/2 )) > |
61} < |
ехр{—е -2(£0Т(ф) - |
Y)}, |
если только е достаточно мало. Тем самым доказаны нера венства (2.9),- а с ними и теорема 2.3.
Доказательства теорем 2.1 и 2.2 воспроизводят в простейшем случае процесса X8 = &wt конструкцию,