книги / Микронапряжения в конструкционных материалах
..pdfПодставляя зависимости (3.149)’, (3.150)] в соотношения Кренера (3.71), находим
<в«>- «Я = £4 ^ ‘(в& — <ef/>). |
(3.151) |
Умножим правую и левую части соотношений Кренера в форме
(3.151) на atJ и сложим, |
тогда получим |
|
Е (?а, ап) = |
(г’и) «ш |
(3Л52) |
где Е (то, а;/) |
= т\ър + |
гца{] — т\ <е?/> а,;, mi = 1 -fm/(2G). |
Очевидно, что равенство в (3.152) достигается для тех направ лений а1} и значений То, для которых имеет место микропластическое деформирование.
Обозначим множество направлений активного микропластического деформирования через £2. Тогда условие течения пред ставим в виде
Е (та, а*/) > (е'/> ап. |
(3.153) |
Равенство в последнем выражении достигается для всех а1} £ О. По аналогии с тем, как это сделано в параграфе 3.4, функцию Е (то, Щ)) здесь можно трактовать как функцию интенсивности
разрешающих деформаций. Из неравенства (3.153) следует, что микропластическое деформирование в направлении ац для ча стицы с пределом текучести по деформации То может осуще ствляться только в том случае, когда интенсивность разрешаю щих деформаций окажется равной проекции девиатора средних
деформаций на это направление: (г'ц) |
<хц. |
В области направлений активного |
микропластического де |
формирования из (3.153) очевидным образом следует дифферен
циальная |
форма условия |
течения |
Ё (То, |
off/) ^ {е,7> |
(3.154) |
Здесь, как и выше, точка обозначает производную по времени. Последнее уравнение является основным разрешающим урав нением теории микродеформации при жестком нагружении. Оно служит для определения интенсивности скорости микропласти-
ческой деформации ёр (у0, аи). Неравенство |
(3.153) совместно |
с условием ёр (у0, ai}) > 0 можно трактовать |
как условие для |
определения области активного микропластического деформиро вания. При известной функции ёр (у0, &ц) и области Q скорость макропластической деформации определяется по формуле (3.74).
Определяющие соотношения в этом случае |
представляются |
в следующем виде: |
|
ip ц) = 2G6(k6fi ((е*/) — (з*/))» |
(3.155) |
81
т. е. в конечном счёте представляются разрешенными относи тельно скоростей изменения напряжений, в отличие от (3.102), которые являются разрешенными относительно скоростей де формаций.
Скорость изменения разрешающих деформаций зададим по
аналогии с (3.101) в виде |
|
|
|
Е(Ъ аи) = |
|
|
|
Bi&p (aq, () -j- Bi (е?/) aq + 5 з | |
ер (aq, t) d£2 , |
aq — aq) |
|
|
Q |
|
|
Вг (е?/) ац + |
Вз j ер (aq, t) d£2 , |
aq Ф ± aq) |
|
= |
Q |
|
|
Вг (ё?/) aq + |
Вз J Bp (aq, t) dQ + ^4 [ёР (осц, t) + |
ф], |
atl = — aq
(3.156)
Воспользовавшись основным разрешающим уравнением тео-' рии (3.154), с учетом явного выражения для скорости изменения интенсивности разрешающих напряжений (3.156) находим
B\kp [aq, t) -|- В % В з J ёр (aq, t) dQ = (ёц)
а
Введем в рассмотрение девиатор активных деформаций
= (bci) — Вз (ё?/).
Тогда уравнение для определения ёр (aq, t) представится в сле дующем виде:
Вуёр (aq, t) + Вз J ёр(а\,, |
t) dQ' = (r\q) aq. |
|
Q |
|
|
Решение этого уравнения имеет вид |
|
|
®р (аи> 0 == ~щ~ (Ли) аи ~ |
(1 + ^Q) |
(3.157) |
где Fq= | a'qdQ'i щ = B3/Bi.
Соотношения (3.157) позволяют полностью решить задачу построения определяющих уравнений теории микродеформации при жестком нагружении, когда известна область Q направле ний активного микропластического деформирования. Для опре деления самой области Q необходимо воспользоваться неравен ством (3.153) и условием активности процесса микродеформйрования для направления, которое имеет вид ёр (aq, t) > 0. Оче видно, что для исследования этих неравенств требуется знать
82
интенсивность разрешающих деформаций Е (at}, ij, которая опре деляется интегрированием соотношений (3.156) по времени.
Соотношения (3.156) с учетом явного выражения (3.157) для скорости изменения интенсивности микропластической деформа ции ер (atj, t) можно привести к виду
Ё (aih if) = |
{ъц)аФ |
аЦ — аН’ |
|
В2(ё?/)агг + *1» |
ацф ±:аф |
||
|
т1{л«)а« + 52<ё?/}а,/ + ф, |
ап = «й» |
|
|
|
|
(3.158) |
где положено |
«х = 1+ ^ + д- |
Ф = (1 + |
2т]) *х. |
Зависимости (3.158) дают возможность построить интенсив ность разрешающих деформаций для произвольного жесткого нагружения и из (3.153) совместно с условием ёр {aijy t) > О найти область й при произвольном нагружении.
Подстановка выражений (3.157) в формулу (3.74) приводит
после |
интегрирования |
к следующему результату: |
Ш |
- - k [ ° « « - |
Т Т 5 3 w - ] <*“ '>' |
где обозначено, как и выше, Gm i = J а'цаkidQ\
Разрешая полученные зависимости относительно скорости из менения пластической деформации, находим
<ё?/> = |
ОЭД|<«ы>* |
(3-159) |
G% = |
+ B 2G\%9) - ' G%W, |
|
G\ni = |
(Gw - r f w FilFkl) l B |
l. |
Из (3.155) с учетом (3.159) находим определяющие соотношения теории микродеформации при жестком нагружении:
(ои) = 2G$ipbjg [bpkbgi - G'VH] <ё«>. |
(3.160) |
Как отмечалось выше, определяющие соотношения в такой трак товке разрешающих уравнений теории микродеформации пред ставляются в виде, разрешенном относительно скоростей измене ния напряжений.
83
3.8. ПОСТРОЕНИЕ УНИВЕРСАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ МАТЕРИАЛА
Для конкретизации определяющих соотношениЗ теории микро деформации необходимо установить правила построения универ сальных функций материала A lt Л2, р, тр В связи с этим в пер вую очередь необходимо задать, от каких параметров процесса деформирования или нагружения должны зависеть эти функции.
В качестве таких переменных могут быть использованы: Я —> площадь гиперсферического сегмента единичного радиуса или «тех — максимальный угол отклонения направления активного микропластического деформирования от направления девиатора активных напряжений (ri}) и <Х> — длина траектории макропластического деформирования. При таком подходе параметр Я или атах характеризует циклически стабильные свойства, тогда как введение параметра (X) позволяет описать явления цикличе ской нестабильности. Очевидно, что нецелесообразно решать воп рос о построении универсальных функций материала для описания всех возможных свойств материалов. Здесь ограничимся рассмо трением циклически упрочняющихся и циклически стабильных материалов, подчиняющихся обобщенному принципу Мазинга. Для
такого материала достаточно принять А х = А х (Я), |
Л2 = А2 (Я), |
р = р (Я, (А,)) ИЛИ А х — Ах ( а тах ), Аг = Л2 (оСшах), |
и* (®тах» (^)) |
и 1) = 1. Причем функцию р можно считать слабо изменяющейся по переменной (к).
Для построения алгоритма определения универсальных функ ций материала рассмотрим в рамках теории микродеформации мягкое циклическое нагружение. Процесс такого нагружения определим так же, как и в параграфе 3.6 (п. 2):
(CTi/) = 0°ц (— 1)Й 1(t — tk—l) Т0; 0°ц</(1 = 1.
Задача построения зависимости О ь~ е£ для такого закона из менения напряжений сводится к интегрированию соотношений (3.103) . Как было показано выше, область активного микропла стического деформирования в этом случае представляет собой гиперконус в девиаторном пространстве напряжений с осью, направленной вдоль а®/, и с углом раствора при вершине, равным ak. С учетом этого упрощающего обстоятельства соотношения (3.103) , как показано в параграфе 3.6, принимают следующий вид:
в? = |
А (ссь) |
i |
|
— рл; |
|
Ах(Qft) |
k Ai (Qft) |
|
|||
X = |
n (Qk (X)) F (afe) |
?k> P* = |
A 2(Я*) kit |
(3.161) |
|
l + H(Qfe,(?,»Q(afe) |
84
где |
|
|
|
|
|
|
Q Ы |
= -^ -[3(1 — cos ak) — -i- (1 - cos 3aft) ] ; |
|
||||
P M |
= |
[ l |
— cos 2aft — \ |
(1 — cos 4aft) ] ; |
|
|
A (aft) = |
[ l |
— cos a,, — |
(1 — cos 3ah) - |
-^(1 — cos5aft) ] . |
||
|
|
|
|
|
|
(3.162) |
Параметр |
aft, характеризующий величину |
области |
на Л-м |
полуцикле нагружения, определяется из условий (3.146) и (3.143):
cos «х = |
[т0+ к (0]//у, |
|
||
„ „ „ |
_ |
2 [т0+ м (<,,_!)] + и (0 — и (th-i) |
(k = 2, 3, ...). (3.163) |
|
C0S |
------------ MO + a-^ft-i) |
|||
|
Формулы (3.161)—(3.163) дают возможность построить диа
грамму с* ~ б* на произвольном k-м полуцикле нагружения. На помним, что эта диаграмма будет центрально подобна диаграмме а, ~ е? на первом полуцикле нагружения с коэффициентом подо бия в = 2 (т0 + х)/т0. Если дополнительно принять р = О, то приходим к циклически стабильному поведению. Кроме того, из формул следует, что материал запоминает только значения
х (h -1). достигнутые в конце предыдущего полуцикла нагру жения.
Отмеченные свойства материала, вытекающие из рассматривае мого варианта теории микродеформации, приводят к простейшим правилам построения универсальных функций материала Ах (Q) и р (£2, (А,)). В качестве базового эксперимента для построения указанных функций примем эксперименты на знакопеременное нагружение при различных уровнях достигнутых напряжений. На основе этих экспериментов строится диаграмма одноосного нагружения ох = / (е?) и с использованием полученных выше ус
ловий |
подобия |
находится зависимость и = ф (е?). |
|
Полученные |
графически или |
аналитически функции <р (е?) |
|
и / (е^) |
позволяют построить на |
основании формул (3.161)— |
(3.163) искомые зависимости для универсальных функций мате
риала Ах и р. Они |
имеют следующий вид: |
|
|
Аг = |
A (a j [f (8f) - |
р' (ef)] - F (a,) <p' (ef); |
|
p = |
Ф' (ef)/{F(a1) [/' (ef) - p' (ef)] - Q (oct) <p' (ef)}, |
(3.164) |
|
где <p', |
p' — производные от соответствующих функций по ef. |
Параметр ах при этом определяется по формуле (3.163), ко
торая с учетом принятых |
выше обозначений запишется так: |
|
cos <хг = |
т0+ Ф(ef) |
(3.165) |
|
/ ( e f ) - p t f )
Соотношения (3.164) и (3.165) устанавливают зависимости для At = At (ашах) и р = fjb (ашах), так как в данном случае а шах = а*. Если же в качестве параметра принимается Q, то зависимости Ах = Ai (D) и р. = р>(£2) можно построить, используя формулу (3.162), связывающую Q с аг. Заметим, что при монотонном на гружении представления универсальных функций материала через а тах и Q эквивалентны, тогда как при сложном активном нагружении в угловой точке излома траектории нагружения пара метр а шах изменяется непрерывным образом, a Q — скачком.
Вприведенных выше формулах остается неизвестной функция
р= р (е?), определяемая при простом нагружении. Для построе ния этой функции необходимо привлекать дополнительные эк спериментальные данные. В частности, можно использовать ре зультаты экспериментального построения поверхности равного уровня пластической деформации, причем процесс построения
функции р (е?) можно существенно упростить, если принять р = рQf (ef). В таком случае для определения р0 достаточно иметь данные для одной поверхности. Отметим, что в литературе от сутствуют, как правило, данные комплексных эксперименталь ных исследований, позволяющие реализовать в полной мере алгоритмы построения универсальных функций материала. Поэ тому в отдельных случаях приходится изменять описанные ал горитмы; так, в частности, для нахождения постоянной а можно использовать эксперименты на сложное нагружение. Постоянная а при этом определяется простым подбором.
Вдальнейшем при проведении конкретных расчетов функции /,
Фи р принимались в следующем простейшем виде:
f К ) = |
[ 1 + |
а0(е?)1АЧ; |
Р = |
/ (<*?) — г (ef); |
т (ef) = |
%(! + |
ro (ef)1/n‘): |
* = |
V o (ef)1/n*. |
В этом случае задача конкретизации уравнений состояния теории микродеформации сводится к определению постоянных т0, Оо, п, г0, х0, пи л2 и формулы (3.164), (3.166) преобразуются к виду
|
Г |
* _I |
|
_1__I |
|
А1= |
*0 Н г А («Л |
~ |
l t F (0Cl) (8f) |
J * |
|
» = |
X,>/ [ ^ F («i) ro(e?P |
~ ^ |
- Q К ) «о] . |
|
|
COS CCx = |
l+ « o W '/n' |
|
|
(3.166) |
|
|
|
1+ ^ о К )1/Л! |
|
|
|
На рис. 3.9 приведены результаты сравнения теоретических данных с экспериментальными [129] при знакопеременном на гружении. При проведении теоретических расчетов принято <с0 = 80 МПа, п = пх = Пг = 2,5, х0 = а0а, а0 = 0,53, а = 0,13.
86
Теоретические |
данные |
показа |
6J2,Mfla |
||||||||
ны сплошными линиями, а кру |
|
||||||||||
жочками |
—• |
эксперименталь |
|
||||||||
ные |
точки. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Отметим, что введенное вы |
|
|||||||||
ше представление для |
универ |
|
|||||||||
сальных |
функций материала |
|
|||||||||
приводит |
к |
простым |
|
соотно |
|
||||||
шениям |
для |
описания |
знако |
|
|||||||
переменного |
нагружения |
ци |
|
||||||||
клически |
упрочняющихся |
ма |
|
||||||||
териалов. Они |
имеют вид |
|
|
||||||||
|
а2+ |
0i ^ |
8[^o4-j4(82+ ei)/8)]> |
|
|||||||
|
cf2<or1; |
or2 = |
4?0 + |
/ K ) , |
|
||||||
|
a2 ^ ai> ' |
|
|
|
|
|
|
|
|||
где |
e |
= 2 |
(т0 |
+ а (сгх — т0))/т0. |
|
||||||
|
Записанная |
формула позво |
|
||||||||
ляет |
производить |
расчеты |
зна |
|
|||||||
копеременного нагружения про |
|
||||||||||
стым |
масштабированием |
диа |
|
||||||||
граммы |
|
деформирования |
на |
|
|||||||
первом полуцикле |
без конкре |
|
|||||||||
тизации |
аналитического |
выра |
|
||||||||
жения |
функции / (е*7). |
|
|
|
|||||||
|
Очевидно, |
|
что |
представле |
|
||||||
ние |
универсальных |
функций |
|
||||||||
материала |
зависящими |
толь |
|
||||||||
ко |
от |
параметра |
ах |
не |
дает |
|
|||||
возможности |
описать |
в полной |
|
||||||||
мере |
циклически |
нестабильное |
|
поведение металлов. Для учета циклической нестабильности достаточно, как отмечалось выше, принять р слабо изменяющейся функцией длины траектории макропластического деформирова ния. Зависимость функции р от (к) можно определить из экспе риментов на мягкое циклическое нагружение с постоянной амплитудой напряжений. Если дополнительно принять, что к =
=a ((A,)) f (б ? ), т о с учетом введенных обозначений приходим к про
стой формуле для описания циклически нестабильного поведения:
ок + ок- 1 = 8* {TQ + / [(eg + 8fe_i)/efe]},
где |
e* = 2 |
а (<J{-1 — 0(-1 (/?)] }/To. |
На рис. 3.10 приведены результаты сравнения эксперименталь ных данных [129] с теоретическими, построенными с помощЫо
87
последней формулы. |
При расчетах принято % = 75 МПа, а — |
||
= |
(Я,), ах = |
0,14, |
Ьх — 1,56, и аналитическое выражение для |
функции f (е?) |
не строилось. Теоретическая кривая показана |
||
сплошной линией. |
|
3.9. ОПИСАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ ТЕКУЧЕСТИ
ПО ТЕОРИИ МИКРОДЕФОРМАЦИИ
Предположим, что в результате предварительного нагруже ния достигнуто некоторое распределение разрешающих напря жений. Тогда задача построения поверхности текучести и равного уровня пластической деформации сводится к построению области активного микропластического деформирования при заданной функции Т (ai}, t), отличной от постоянной.
Пусть предварительное нагружение будет мягким цикличе ским, как описано в п. 4 параграфа 3.6. Тогда функция интенсив ности разрешающих напряжений в конце k-ro полуцикла нагру жения будет определяться формулами (3.147):
f ^h°h (th)> 0 ^ |
9ft ^ ah> |
|
Т (к№, 0 = | Т0+ Х (ih) + ^hPh (ifi), ah |
9ft ■'‘С Л — ah\ (3.167) |
|
l 2 [t0-f- x (^)] + |
Oft(tk) Xh, |
n — ak ^ 0ft n. |
Как следует из записанных зависимостей, поверхность теку чести будет состоять из трех частей, отвечающих различным фор мам задания разрешающих напряжений.
Пусть 0 •< 0ft <; ак, где 0* — направление начального микро пластического деформирования после предварительного цикличе ского нагружения. В этом случае из (3.77) и (3.167) следует
Ы М О - М О О Х о. |
(3.168) |
Отсюда находим, что поверхность текучести в точке предвари тельного нагружения ак (t) = ак (tk) сингулярна, так как ра венство в (3.168) достигается при любых Кк из указанного выше промежутка. Если же ак (t) Ф ак (th) и cos ак < Хк < 1, то поверхность будет представлять гиперконус в девиаторном про
странстве с |
углом |
раствора при вершине, |
равным |
л — 2ак. |
В случае, когда |
ак < 0* < л — ак, из |
(3.77) и |
(3.167) на |
|
ходим |
|
|
|
|
V * (9 < |
«о+ *(#*)• |
|
|
Последнее неравенство приводит к поверхности текучести, пред ставляющей собой гиперсферу радиусом R = т0 4- и (tk) с цент
ром в точке |
pft (<). |
я, |
то имеем |
||
Если п — ак < |
0ft < |
||||
К [стл (0 — ок (tk)] < 2 [т0+ |
2и (<)]. |
||||
Записанное |
соотношение |
приводит к гиперсфере радиусом 2R |
|||
с центром |
в |
точке |
нагружения. |
88
Сечение |
поверхности |
|
||||
текучести |
гиперплоско |
|
||||
стью, проходящей |
|
через |
|
|||
о?/, для |
различных |
уров |
|
|||
ней предварительного на |
|
|||||
гружения |
показано |
на |
|
|||
рис. |
ЗЛ1 |
( аа = |
У 2 вп , |
|
||
ax = |
V 3/2сгп). |
|
по |
|
||
При |
построении |
|
||||
верхности |
равного |
|
уров |
|
||
ня |
пластической |
дефор |
|
|||
мации приходим к |
задаче |
|
||||
определения области Q при повторном нагружении. Этот воп |
||||||
рос |
решается очень |
просто, |
когда нагружение осуществляется |
|||
по лучам из точки |
|
нагружения, но так, чтобы выполнялось |
||||
условие |
cos ak < |
A,k+1 < 1 , |
и при нагружении по лучам из |
точки, определяющей положение центра гиперсферической ча
сти поверхности |
текучести, |
при |
условии —cos ah<; Як+1 < |
< cos ah. В первом случае |
можно воспользоваться формулами |
||
(3.161) и (3.163) для циклического |
нагружения на (k + 1)-м |
||
полуцикле нагружения, а |
во втором — формулами (3.161), |
||
в которых следует |
принять |
|
|
cos ah+1 = [т0 + к (/)]/[rft+1 (/)].
Полученные выше результаты дают возможность по экспери ментальным данным построить центр гиперсферической части поверхности равного уровня пластической деформации, сформи ровавшейся после первого полуцикла нагружения, и найти по стоянную а = р (е?)// (ef).
На рис. 3.11—3.13 показаны результаты обработки экспери ментальных данных, приведенных в работах [180, 265]. На рис. 3.11 изображено развитие текучести, отвечающее эксперименталь ным результатам работы [265]. При построении принято: а —
— 0,5; ф (е?) = 3ef. Соответствующие им кривые равного уровня пластической деформации при допуске 0,05 % на остаточную пла стическую деформацию приведены на рис. 3.12, где кружочками показаны экспериментальные результаты [265].
На рис. 3.13 показаны кривые равного уровня пластической деформации при допуске 0,2 %, отвечающие экспериментальным
данным работы [180]. |
На графике приняты следующие обозна |
чения: <ха = У~2 |
-f <x22J; аг = j / " a u ; О — экспери |
ментальные данные [180] для начальной поверхности, А — после первого и V — после третьего полуциклов нагружения с амплиту дой 2 % остаточной деформации; □ — поверхность при одноос ном растяжении до 3 % остаточной деформации. При построении теоретических кривых принято: а = 0,26; ф = 0,16/ (А,).
89
2 О
500
< о |
2 Г |
з}б,/А |
/ |
||
|
/ |
|
о |
|
|
Рис. |
3.12 |
Рис. 3.13 |
Приведенные данные показывают, что теория микродеформации дает удовлетворительное описание экспериментальных резуль татов.
3.10. УГЛОВАЯ ТОЧКА ТРАЕКТОРИИ НАГРУЖЕНИЯ ПОСЛЕ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО МОНОТОННОГО НАГРУЖЕНИЯ
Пусть в процессе монотонного нагружения достигнута область направлений микропластического деформирования й 0. Зададим скорость изменения девиатора напряжений (д'ц) и построим опре деляющие соотношения теории микродеформации, не ограничивая при этом ориентации девиатора {д'ц> по отношению к (гф. Оче видно, что если девиатор {оц) удовлетворяет условиям моно тонности нагружения (3.124), то поставленная задача уже решена в п. 1 параграфа 3.6.
Предположим, что условия монотонности нарушаются, т. е. угол излома траектории нагружения больше угла монотонности. В этом случае область направлений активного микропластического
деформирования |
будет отличаться от Q0. Для определения об |
||
ласти |
воспользуемся условием ёр (aiJt t) > 0, |
di} £ fit. |
|
Из последнего неравенства, с учетом явного выражения для |
|||
функции ер ( а ц , |
t) (3.102), находим |
|
|
ij} |
а и ----- 1 +^£2^ ^ |
(3* ^ 9 ) |
Неравнство (3.169) необходимо дополнить условием течения (3V77), из которого в условиях предварительного монотонного на
гружения следует, как установлено в параграфе 3.6, |
|
{ёа) аи ^ % Н~ и (0. аи € Qo* |
(3.170) |
Введем в рассмотрение локальную систему координат по следу ющему правилу: первую ось в девиаторном пространстве напра-
90