книги / Микронапряжения в конструкционных материалах
..pdf[•прмаций по уравнениям (3.2) при задании аналогичного пути де формирования. В указанных случаях соотношения (3.1) и (3.2) ♦шляются обыкновенными дифференциальными уравнениями, ко эффициенты которых зависят от некоторых параметров. Число п.фаметров в этой главе по сравнению с предыдущей увеличиилстся.
Предположим, что в поликристалле имеется случайное поле начальных упругих микродеформаций Е°ц (е?/), не нарушающее макроскопической однородности и изотропности тела в исходном п о состоянии. Ввиду требования статистической однородности тгла этот случайный тензор должен быть стационарной функцией координат, а ввиду требования статистической изотропии все его I.иизные направления должны быть равновероятными, из чего г:н'дует, что плотность вероятности шестимерной случайной ве тчины Е?/ может быть функцией только инвариантов е?/.
При этом для дальнейшего представляет интерес лишь девиаторная часть тензора Е°/, поскольку именно она оказывает влия ние на развитие пластических деформаций. Ввиду этого, а также *читая, что шаровая и девиаторная части Е?/ суть независимые случайные величины, будем в дальнейшем полагать, что Е°ц яв ляется девиатором (чтобы не вводить специального обозначения
Л-1я его девиаторной части). Плотность распределения |
Е?/ со |
i деланными оговорками может быть функцией только |
второго |
и третьего инвариантов е?/, а его математическое ожидание <е?/> должно быть равно нулю. Однако, естественно сделать дополни тельное предположение, что не только все главные направления КV/ равновероятны, но и равновероятны все виды начальных ми кродеформаций, поскольку нет оснований ожидать, что имеется предпочтение для какого-либо из них (например, хотя бы для чпетого сдвига или растяжения). Тогда остается единственная полможность — плотность вероятности есть функция его второго
имварианта (его |
интенсивности): |
|
р (гЧ,) = р (в°), |
= |
(3.3) |
Заметим, что положительная случайная величина 8° ограни-
чгна сверху неравенством |
|
к®< */(2G), |
(3.4) |
и котором G — модуль упругого сдвига (строго говоря, локаль ный модуль упругого сдвига). Однако в духе рассматриваемой риближенной теории, в которой осреднение по ориентациям кристаллитов предполагается выполненным заранее, G следует •|иждествить с эффективным модулем сдвига поликристалла.
<мысл неравенства (3.4) состоит в том, что при остывании м< млла в нем не могут возникнуть начальные микронапряжения интенсивностью, превосходящей локальный предел текучести. Мри этом в зависимости от локальной ситуации е° может оказаться к нк равным <t/(2G), так и меньше этого значения. Однако в целях
41
упрощения теории представляется допустимым заменить нера венство (3.4) равенством
е° = */(2G). |
(3.5) |
Такое предположение, как очевидно, направлено в сторону преувеличения влияния начальных микронапряжений на микро скопическую картину пластического деформирования, поскольку интенсивность упругих начальных микродеформаций оценивается при этом по верхнему ее пределу. Нетрудно заметить, что в такой теории упругая область деформаций должна отсутствовать! любое сколь угодно малое изменение нагрузки, произведенное в любом направлении, должно вызывать пластические деформации, по скольку сила сухого трения согласно (3.5) оказывается уравнове шенной начальными микронапряжениями. Тем самым в такой теории будет отсутствовать понятие границы текучести в том смысле, как оно понимается обыкновенно в курсах теории, пла стичности.
Однако, как известно, понятие границы текучести (предела текучести) является результатом идеализации экспериментально наблюдаемой картины пластического деформирования. В действи тельности пластические деформации происходят при любых из менениях нагрузки, и чем точнее постановка опыта, тем скорее они обнаруживаются. Известно, что технический предел теку чести при растяжении определяется как такое напряжение, при котором пластическое удлинение достигает 0,2 %. То обстоя тельство, что на практике предел текучести приходится опреде лять, задаваясь значением пластической деформации, подчерки вает условность этого понятия. Таким образом, отсутствие в тео рии, основанной на равенстве (3.5), понятия предела текучести не является ее пороком, а скорее свидетельствует о сближении тео рии с экспериментом.
Следует подчеркнуть, что и в этом варианте теории могут быть введены понятия предела текучести и границы текучести, если задаться порогом интенсивности пластической деформации, т. е. такой интенсивности, начиная с которой пластические деформации учитываются, а ниже которой ими пренебрегают. Естественно, что размеры и форма получаемых при этом границ текучести будут зависеть от величины этого условного порога, что и наблю дается экспериментально [200].
Наряду с вариантом теории, основывающемся на равенстве (3.5), ниже рассматриваются и некоторые другие упрощенные варианты теории. В частности, будет исследован вариант, бази
рующийся на |
предположении, |
что |
|
е° = |
const, |
41 = const, |
(3.6) |
причем |
|
|
|
8° < |
*/(2G). |
|
(3.7) |
42
Оказывается, что в такой теории имеется понятие границы и'кучести в обычном понимании, причем на этой границе в про цессе пластического деформирования образуются угловые точки.
Принятое допущение (3.5) устанавливает однозначную взаимо-
синзь между двумя |
случайными |
скалярными параметрами — |
интенсивностью сил |
сухого трения |
и интенсивностью началь |
ных упругих деформаций, причем плотность распределения е° должна быть тождественна плотности распределения <в/(2G). (’ учетом начальных микронапряжений второе из уравнений (3.1)
вписывается следующим образом! |
|
% = <%> — «е?/ — 2Ge?/. |
(3.8) |
Ч;т,е.сь учитывается, что начальные упругие микродеформации <пособствуют или, наоборот, препятствуют преодолению локаль ного сухого трения в зависимости от того, как они направлены — одинаково или противоположно действующим напряжениям. Ска- <MI})ный коэффициент а в (3.8) считается в дальнейшем констаниж. Уравнение (3.8) может быть приведено к виду, идентичному
C U ) :
%ij = (aij) — аг*¥> |
(3.9) |
| де |
|
+ |
(3.10) |
и I чего следует, что в указанной выше постановке задачи учет начальных упругих микродеформаций может быть формально ппдменен введением поля начальных пластических деформаций
— 2G&tjla. |
(3.11) |
Совокупность формул (3.9), (3.1), (3.5) образует вариант ква1и<татистической теории пластичности микронеоднородных телучмтывающий начальные упругие микродеформации. Для воз, мпжности применения этих формул, в частности для вывода из них соотношений между микроскопическими напряжениями <о4у>
и макроскопическими пластическими деформациями (е?/), надо,
■шако, |
еще знать закон распределения случайного тензора е?/. |
Как |
было отмечено, случайный тензор начальных микроде- |
Ьч>маций в силу требования начальной изотропии и однород |
|
на н I и поликристалла должен обладать сферической симметрией — |
• in плотность вероятности является функцией только его интен-
т;пости. |
Последнее в совокупности с тензорной линейностью |
. равнений |
рассматриваемой теории делает возможным и удоб |
ным |
использование в дальнейшем векторной интерпретации |
|
\ |
А. |
Ильюшина [49], поскольку все приведенные ниже фор- |
ч .лы |
инвариантны в пятимерном векторном пространстве. Вве- |
|
,• м |
вместо шести компонент девиатора е?/, связанных между со |
43
бой линейной зависимостью eg* = 0, пять независимых величин!
в! = У 4 е°1ь е§ = у Т (е§2 +4-®?»).
eg = V T 812, eg = )/Т 823, eg = 1/ Т е?3> |
(3.12) |
рассматривая их как компоненты пятимерного вектора, длина которого
= ew |
(3.13) |
Величину е£ будем трактовать как реализации случайного пя тимерного вектора Е£. В силу описанных ранее свойств случай ного тензора Е°/ математическое ожидание этого пятимерного вектора равдго нулю, а его плотность вероятности является функ цией только е°. Следовательно [161, вектор Е% распределен по нормальному закону, т. е. его плотность вероятности опреде лится выражением
= |
4 " е х р Т |
? ’ |
(З Л 4 > |
в котором |
а2 — дисперсия, |
одинаковая для всех |
е£. |
Задаваясь законом распределения компонент пятимерного |
|||
вектора, можно вычислить и закон распределения |
его длины: |
||
8о |
|
|
(3.15) |
Воспользуемся для этого известным выражением для плотности распределения случайной величины %а с k степенями свободы [1901. Положив в нем k = 5 и перейдя от случая единичной дис персии к дисперсии а2, получим
Р (е°У |
(в0)8 |
-(в °)2 |
(3.16) |
2б/2Г (5/ 2) а 5 вХ1> |
2аа |
Из этой формулы, дающей плотность распределения (е0)2, вытекает следующее выражение для плотности распределения е°:
1 |
(е<>)* |
ехр - |
(в°)а |
’ |
(3.17) |
К2я |
её |
|
2аа |
|
распространяющее на пятимерные векторы известный закон Рэлея, определяющий плотность распределения длины случай ного плоского вектора, компоненты которого суть независимые случайные величины, подчиняющиеся нормальному закону рас пределения. Подробно теория случайных многомерных векторов со сферической симметрией изложена в работе [16].
В рамках теории, основывающейся на предположении (3.5), плотность распределения интенсивности сил сухого трения р (т)
44
определяется той же формулой (3.17) при замене в ней а2 на
Ь2 = (2G)2 а2, |
(3.18) |
е.
(3.19)
Приведенные выше формулы позволяют вычислять математи- •<ггкие ожидания и дисперсии любых случайных величин, являю щихся функциями случайного тензора е?/ и случайного скаляра и. При этом, хотя формула (3.19) была получена в тесной связи » предположением (3.5), следует пользоваться ею и в других ва риантах теории, считая тем самым, что тензор сил сухого трения иг имеет ни предпочтительных ориентаций главных осей, ни ка кого-либо более вероятного чем другие, значения параметра Поде. В условиях предположения (3.5) инвариант е° не является <амостоятельным случайным параметром [поскольку он связан
• г равенством (3.5)1. Последнее надо учитывать при вычислении математических ожиданий или дисперсий случайных величин, пнисящих от ф и в?/. В общем случае е° следует считать незави симой случайной величиной в области, ограниченной неравен-
. гном (3.4). Из (3.19) вытекает, что математическое ожидание интенсивности сил сухого трения (которое может быть истолко пано, как макроскопический предел текучести поликристалла, гмободного от начальных микронапряжений) определяется вы ражением
(3.20)
т е. оказывается пропорциональным среднему квадратическому отклонению случайного скаляра ч? (интенсивности диссипатив ных сил, сопротивляющихся пластической деформации). Это обстоятельство постоянно практически используется металловелами с целью повысить предел текучести сплавов путем введения и них кристаллические решетки легирующих включений, назначгние которых заключается в увеличении разброса локальных пределов текучести относительно их среднего значения, т. е. и повышении дисперсии 6а.
3.2.МАКРОСКОПИЧЕСКИ ОДНОМЕРНОЕ НАГРУЖЕНИЕ ТЕЛА
СНАЧАЛЬНЫМИ МИКРОДЕФОРМАЦИЯМИ
Применим рассматриваемую теорию к случаю одномерной де- [•ормации, воспользовавшись при этом уравнениями
ii] = t |
(3.21) |
46
и считая, что имеются начальные пластические деформации ef/°. Систему (3.21) целесообразно заменить эквивалентной ей систе мой с пятью независимыми неизвестными
т deg = дХ, т* = (aft) — aeg, |
|
|
(3.22) |
в которой, следуя А. А. Ильюшину |
[49], |
|
|
e? = j / I f e f b eJ = V T (efe + |
4 - e fi), |
|
|
e £ = V T ef2, eS = V T e2p3, eg = |
] /T |
ef3. |
(3.23) |
Величина (oh) выражается через (atj) по формулам, аналогич ным (3.23). Нетрудно проверить (если учесть при этом равенства
е?/ = 0, (<т//> - 0), что система (3.21) действительно является следствием (3.22). Введем далее еще одну замену переменных
(°к) • h |
(3.24) |
после чего уравнения (3.22) приведутся к следующему наиболее простому видуг.
dph = tk dy, tk = sh — pft |
& = l), |
(3.25) |
причем
(3.26)
Применим (3.25) к случаю макроскопически однородного на гружения. При этом
sh = 0 при к ф I, st = s. |
(3.27) |
Подставив (3.27) в (3.25), получим |
|
dp, = (s — р,) dy, dp* = —р* dy (k Ф /), (s — p,)2 + p2 = |
1. |
|
(3.28) |
В последней формуле |
|
p2 = p 2- p ? . |
(3.29) |
Из (3.28) вытекает, что |
|
Рл = Pfeoe_vi к ф 1 , |
(3.30) |
где pfto — значения pfe прл у = 0, т. е. в момент начала одноосного пластического нагружения.
Из (3.30) следует, что
P* = P*o*r ~v- |
(3-31) |
Отсюда |
(3.32) |
dp* = —P*dy. |
46
Теперь интегрирование системы (3.28) сводится к интегриро
ванию системы из двух уравнений |
|
|||
dpi = ( s — Pi) dy, |
dp# = p* dy, |
(3.33) |
||
при дополнительном условии |
|
|
||
(s — Pi)2 + P2 |
= !• |
|
(3.34) |
|
11олагая в нем pг |
= |
рго, p# = |
р*0, получаем два значения |
|
Sio = У 1 — р^о + |
Рго» 5го = |
— У 1 — р*о + рю> |
(3.35) |
|
ограничивающие область значений S! |
|
|||
S10 > S > Sgo, |
|
|
|
(3.36) |
н пределах которой деформации упруги, т. е. pft = pft0. Система (3.33) легко интегрируется. Ее решение с учетом
(3.35) |
имеет вид |
|
|
|
|
|
р, = |
\s — рго — th[s — s0 + arth(s0 — pt0)]} X [(s — s0)sign s0] + Pin» |
|||||
P* = |
{ ch [s — s0 + |
arth (s0 —pi0)] |
P*° } * KS — S°) sign S°1 + |
P*0’ |
||
|
|
|
|
|
|
(3.37) |
где %(x) — функция |
Хевисайда! |
|
|
|
||
X (*) = b(x > 0), |
x (*) = 0 (x < 0). |
|
|
|||
Из (3.37), (3.30) и (3.31) следует, что |
|
|
||||
Р» |
= |
-p~;0Th'[s - s0 + arthTs, - Р;,) |
« № - S°> Sign 5oi + |
Pfco. |
k ^ l . |
|
|
|
|
|
|
|
(3.38) |
Решение (3.37), (3.38) объединяет оба случая! s# = |
«и, и s«>= |
|||||
soa |
при условии, что ни одно из граничных значений не равно |
нулю. Последний случай возможен и для дальнейшего является <ущественным. Ранее (в ' предыдущем параграфе) было пред положено, что интенсивность начальных случайных мик- (чжапряжений в каждой точке тела равна локальному пределу
п кучеети. Этому соответствует равенство ро = |
1, при котором |
|||
soi = |
I Рго I ~Ь Рю> s«2 = — I Piol + Pio- |
|
(3.39) |
|
| ипода, |
если р!0 >• 0, то s02 |
= 0, если р(0 < |
0, то % = |
0. |
Нетрудно, одцако, заметить, что в этом случае формулы (3.37), |
||||
(.1.38) должны быть изменены следующим образом: |
|
|||
Pi = {s — Рю — th [s — arth p,0]} x [—e sign pIO] + pl0; |
|
|||
P* = |
{ p»0ch[s—°arthpt0] |
~ ph° } X [_ S Sign Plo] + pM‘ |
<3 -4°> |
Полученные выше формулы позволяют решить первую часть ■ЛД.1ЧИ об одномерном нагружении тела с начальными упругими мнкродеформациями, а именно! они выражают локальные, пла-
47
стические деформации через макроскопические напряжения и локальное значение упругих микродеформаций, т. е. определяют одну из возможных реализаций пластической деформации в по ликристалле. Для того чтобы найти макроскопическую пласти ческую деформацию надо решить и вторую часть задачи: зная закон распределения начальных микродеформаций (3.13) и за висимость от них локальных пластических деформаций, выра жаемую формулами (3.37), (3.38), (3.40), вычислить математи ческое ожидание пластической деформации. Пользуясь извест ным выражением для математического ожидания величин, зави сящих от компонент случайного вектора,
{е/> = JJJJ7 ер,р (е\) del d e l... |
del, |
(3.41) |
подставляя в него вместо р (eg) выражение (3.14), а вместо е%
и
е? = ^ р 2 , |
в? = -1-р, |
(3.42) |
и учитывая, что согласно допущению (3.5) |
||
рЬ = S р?0 = |
1, |
(3.43) |
/=1 |
|
|
получаем: |
|
d (^Рш)^(ч?Р2о)•. .</(тр6о), |
(*f> = -^бТГ "ВТ "5" ЯШ^ ехР |
||
|
|
(3.44) |
где интегрирование выполняется по всем «рк0 в пределах от 0 до с»; 62 — дисперсия интенсивности тензора сил сухого трения (3.18).
При фактическом вычислении интегралов (3.44) следует поль зоваться сферическими координатами в пятимерном простран стве рь0, полагая
PlO = |
cos 01. Рао = SIB 01 COS 0а, |
рад = |
sin 01 sin 02 cos 0#, |
p4> „ = |
Sin 01 Sin 0a Sin 08 COS 04, |
рь, о = |
Sin 01sin 02 sin 08 sin 04. |
|
|
|
(3.45) |
При этом 47 играет роль радиуса-вектора этой сферической системы координат. Введенные новые координаты имеют следующие диа пазоны изменения:
0 ^ 47 со, 0 01 ^ я, 0 ^ 0а я, 0 ^ 08 ^ я, 0 04 ^ 2я,
(3.46)
в пределах которых существует однозначное соответствие между всеми точхами пятимерного эвклидова пространства и криволи
48
нейными координатами. Якобиан данной сферической системы координат
J = и4,sin8 0! sin2 0а sin 08. (3.47)
и, следовательно, формула (3.44) в координатах qr, 0ft записывается как
оо п п Я |
|
|
«)--^57ГТ-гИD О |
ОИО |
ОIP,eXP |
X sina 02 sin 08 d<s d&! ... |
d04. |
(3.48) |
Это выражение может быть использовано для вычисления математических ожиданий пластических деформаций как в рас смотренном выше частном случае одномерного нагружения, так и для других видов нагружения. Остановимся в заключение на
определении математического ожидания е?/ в общем случае, когда вместо равенства р0 = 1 принимается неравенство р0 <; 1.
Тогда е° оказывается |
независимым от <в случайным параметром, |
ограниченным сверху |
неравенством е° <P/(2G). Последнее огра |
ничение математически эквивалентно требованию, чтобы в области е° > T/(2G) совместная плотность распределения sft и <г равнялась нулю. Введя опять сферические координаты в пятимерном про
странстве |
е£, получаем: |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
оо |
|
т/(2 О) |
|
|
||
|
|
|
О |
|
|
О |
|
|
|
я |
|
я |
|
|
Я |
2л |
|
|
|
X ^ sin3 0i dQi j sin2 02 dd2J sin 0з dd3 ^ |
e£ d04. |
|
(3.49) |
||||||
o |
|
o |
|
o |
o |
|
|
|
|
Формально для |
получения (3.48) |
из |
(3.49) |
надо |
положить |
||||
р (е0)= ~ т у к |
~ |
^ |
ехр J=^ L |
|
lv/(2G) - |
е0]* |
(3-5°) |
||
где 6 функция Дирака: |
|
|
|
|
|
||||
|
( |
оо (х = |
0) |
|
7 |
|
|
|
|
<»(*) = |
{ |
о (хфО) |
J |
6 (*)<** = |
!, |
|
|
(3.51) |
поскольку именно такая замена означает, что вероятно только значение е°, совпадающее с <о/(2G).
Однако здесь следует сделать следующее замечание. Если для выбора закона распределения р (е°) были приведены сообра жения в пользу обобщенного распределения Рэлея, то при усло вии е° Ф n/(2G) однозначного ответа о характере совместной функции распределения е®/, <в получить нельзя. Предложение (3.49) записано по аналогии с (3.17). По-видимому, более пра-
49
вильным |
следует |
считать, что плотность распределения в зоне |
||
е° <; n?/(2G) имеет |
вид |
|
|
|
р (е°, |
<s) = ^ r |
1 |
* * ■ » * = & - т . |
(3.52) |
|
||||
|
3 |
У2я |
|
|
|
as |
|
где функция f (<в) должна быть определена на основе опвггных данных.
Начнем исследование результатов теории с наиболее простого частного случая, а именно’ предположим, что начальных микро
напряжений нет. Тогда е? будут функциями только скалярного
параметра <в, в соответствии с чем |
|
|
(е?) = |
J ef (т) р (<с) dx, |
(3.53) |
где р (<г) |
о. |
(3.20). |
определяется формулой |
Полученное решение остается справедливым и при pft0 == 0,
причем |
тогда s10 = 1, s20 == —1. |
Отсюда |
|
Pi = |
(s — s0) x [(s — So) sign s0], |
pft — 0 (k Ф /). |
(3.54) |
Возвращаясь к первоначальным обозначениям и полагая для
определенности s0 = +1, т. е. считая s > |
0, получаем |
еР = — ((a) — чг)х((ш> — |
(3.55) |
Здесь для простоты написания дальнейших формул опущены
индексы / у 8? и (oi). Подставив (3.55) в (3.53), приходим к сле дующей формуле, выражающей зависимость между математи ческими ожиданиями напряжений и пластических деформаций в случае одномерного нагружения!
a (еР> — |
J |
((a) — <в) р (х) dx\ |
(3.56) |
|
о |
|
имеей |
продифференцировав (3.56) по (а) |
|||
|
|
(а) |
<3-57> |
aJT§-= J |
|||
|
|
о |
|
Отсюда следует, что |
|
||
|
(О) |
т |
|
a <ер> = |
J d n J p ^ d g , |
(3.58) |
оо
т.е. математическое ожидание пластической деформации при
отсутствии начальныхмикронапряжений оказывается пропор циональным двукратному интегралу от плотности распределения предела текучести. На рис. 3.1—3.3 показаны кривые, изобра жающие
p((a)) = |
fx ((a)) = - d ' |
(а) = U (а |
|
d(a) |
|
(3.59)
50