книги / Микронапряжения в конструкционных материалах
..pdfконтроля? Оказывается, что такая необходимость все же есть и она связана, например, с развитием теории усталостной прочности материалов. Металловедам давно известно, что всякая пластиче ская деформация, как бы она мала ни была, независимо от ее знака, сопровождается остаточным увеличением объема тела — пластическим разрыхлением, свидетельствующим о том, что в теле образуются микропоры и микротрещины.
В работе [135] было показано, что этот факт описывается уравнениями теории пластичности, если предположить, что кри терий пластичности хотя бы очень слабо, но все же зависел не только от среднего касательного напряжения, но и от среднего нормального напряжения. При этом остаточное изменение объема оказывается пропорциональным сумме площадей всех петель гистерезиса, образующихся на диаграмме напряжение—дефор мация. Отсюда представляют интерес теоретический анализ пла стических деформаций при циклических нагружениях, выявление их закономерностей, а это связано с необходимостью существен ного уточнения теории пластичности в сторону более строгого учета поведения статически неопределимой системы зерен, образующей
всовокупности поликристаллическое тело.
1.3.МОДЕЛИРОВАНИЕ ОСНОВНЫХ ВАРИАНТОВ
ТЕОРИИ ТЕЧЕНИЯ
Теория пластичности является отделом реологии (общей науки о течении), в которой широко используются наглядные модели, имитирующие свойства тел со сложным поведением при их де формировании. Эти модели конструируются из элементов, харак теризующих упругость, пластичность и вязкость, связываемых различным образом в единую систему. При этом такие модели обычно рассматривают как одномерные, описывая поведение ма териала лишь при одноосном напряженном состоянии.
Ранее было показано, что понятия микронапряжений и микро деформаций, хорошо известные металловедам, могут быть созна тельно введены в феноменологическую теорию пластичности поли кристаллов. Оказалось, что микронапряжения посылают своего представителя в мир макроскопических явлений, наблюдаемых в лабораториях сопротивления материалов на хорошо известных и повсеместно распространенных испытательных машинах. Таким представителем и оказался макроскопический тензор pfJ-, работа которого на осредненных деформациях равна работе микрона пряжений на микродеформациях.
Указанное основное свойство р^, а также экспериментальные данные позволяют достаточно достоверно определить его через посредство влияния на картину макроскопической деформации. 11спользование этого тензора позволяет составить осредненное представление о картине микронапряжений и ее зависимости от пути нагружения. В пояснение всего этого приведем еще следую-
21
|
|
щие |
модельные |
соображения. |
||||||||
|
|
Поведение |
идеального |
упруго |
||||||||
|
|
пластического |
тела |
при |
растя |
|||||||
|
|
жении и сжатии может быть |
||||||||||
|
|
уподоблено перемещению конца |
||||||||||
|
|
пружины, |
другой |
конец |
кото |
|||||||
|
|
рой прикреплен |
к |
телу, |
лежа |
|||||||
|
|
щему |
на |
горизонтальной |
пло |
|||||||
|
|
скости (рис. 1.1). Данная ана |
||||||||||
|
|
логия |
может |
быть |
распростра |
|||||||
|
|
нена и на случай совместного |
||||||||||
|
|
действия |
двух |
напряжений, |
||||||||
|
|
например |
нормального |
|
акх |
и |
||||||
УУЛЛЛЛЛМЛЛЛ |
|
касательного аху. В этом |
слу |
|||||||||
|
чае уравнение границы текуче |
|||||||||||
|
|
сти записывается в виде |
|
|
|
|||||||
Рис. 1.1 |
|
F = V X 2 + |
Ка = -§-а?, |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.19) |
||
|
|
ГДв X |
= |
2 |
|
|
= |
2 |
® ху» |
|||
|
|
^ ^ хх т К |
|
|
||||||||
|
|
от — предел текучести при рас |
||||||||||
|
|
тяжении. |
|
|
|
|
|
|
тен |
|||
|
|
Компоненты девиатора |
||||||||||
vwvw-- |
|
зора деформаций гхх и е'ху, |
со |
|||||||||
|
ответствующие |
напряжениям |
||||||||||
|
|
а„я и а„у, могут быть сопо |
||||||||||
|
|
ставлены с перемещениями |
й и |
|||||||||
О |
л |
v концов |
двух |
пружин, |
при |
|||||||
крепленных |
под |
прямым |
|
уг |
||||||||
Рис. 1.2 |
|
|
||||||||||
|
лом |
к |
телу, |
лежащему |
|
на |
||||||
1.2). Если силы X и |
|
горизонтальной плоскости (рис. |
||||||||||
У подчиняются |
равенству |
(1.19), |
то |
сила |
трения погашается равнодействующей натяжений обеих пружин. Пусть далее одна из сил (например, X) получает бесконечно малое приращение АХ, причем считается, что AF"> 0. Тогда тело начнет скользить по плоскости, однако не в направлении той силы, которая возросла, а в направлении равнодействующей сил X и Y, поскольку только в этом последнем направлении сила трения уравновешена.
Таким образом, из изложенной выше механической аналогии вытекает, что тензор приращения пластической деформации дол жен быть соосен тензору напряжений (а не тензору их прираще ний), как это и принимается в теории течения Рейсса.
При,распространении данной аналогии на случай, когда ма териал обладает упрочнением, имеются три возможности:
22
а) считать, |
что |
|
упрочнение |
|
|
||||||
есть |
эффект |
необратимый |
и |
оно |
|
|
|||||
может быть интерпретировано как |
|
|
|||||||||
непрерывное |
возрастание |
силы |
|
|
|||||||
трения в процессе активной де |
|
|
|||||||||
формации; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б) считать, что оно вызывается |
|
|
|||||||||
внутренними |
упругими |
силами, |
|
|
|||||||
сопротивляющимися |
|
пластичес |
|
|
|||||||
кой деформации; |
|
имеет |
место |
|
|
||||||
в) |
считать, |
что |
|
|
|||||||
упрочнение как |
типа |
«а», |
так |
|
|
||||||
и типа |
«б». |
|
тип |
«а», то ука |
|
|
|||||
Если принять |
|
|
|||||||||
занная выше механическая модель |
|
|
|||||||||
(при |
рассуждениях, |
аналогичных |
Рис. |
1.3 |
|||||||
изложенным |
выше) |
приведет |
к |
|
|
||||||
представлению о |
равномерно рас |
|
|
||||||||
ширяющейся во все стороны гра |
|
|
|||||||||
нице |
текучести |
и |
к |
соосности |
|
|
|||||
тензоров deft] |
и оц, |
т. е. к |
гипо |
|
|
||||||
тезам |
теории |
течения |
Мизеса. |
|
|
|
|||||
Если приписать эффект упроч |
|
|
|||||||||
нения упругим силам, то полу |
|
|
|||||||||
чится |
|
иная |
картина, |
|
представ |
|
|
||||
ленная |
на рис. 1.3. |
|
и |
раньше, |
|
|
|||||
Рассматривая, |
как |
|
|
||||||||
тело, |
находящееся |
на |
плоскости |
|
|
||||||
и нагруженное (через |
посредство |
|
|
||||||||
двух |
взаимно |
перпендикулярных |
|
|
|||||||
пружин) силами X и У, мы |
долж |
|
|
||||||||
ны присоединить |
к телу в данном |
|
• предыдущим |
||||||||
случае |
еще |
две |
|
пружины, |
противоположные |
(рис. 1.4). Условие уравновешивания силы трения (уравнение
границы текучести) при этом |
запишется |
следующим образом: |
У { Х - Х гу + ( У - У х)а = 4 |
ат, |
( 1.20) |
г де Xi, Ух — усилия в дополнительных пружинах.
Таким образом, в рассматриваемом случае граница текучести
I" на плоскости X = -|- о**, У = |
аху j |
есть круг постоянного |
радиуса 2ат/3 с центром в Хх = |
рхх, Ух = |
-— -рху. |
Если сообщить силе X бесконечно малое приращение АХ (такое, чтобы равнодействующая сил X, У, Хх, Ух превосходила гилу трения), то тело начнет перемещаться к новому положению равновесия, причем вектор этого перемещения будет направлен
23
не в сторону внешней силы F и не в сторону ее приращения, а по направлению равнодействующей сил F и Т7! (показанному на рис. 1.4 штриховой линией), поскольку только в этом направлении сила трения является уравновешенной.
Нетрудно видеть, что описанной механической схеме в теории пластичности соответствуют уравнения теории Ишлинского.
Действительно, согласно равенствам (1.3), граница текучести не изменяет при деформации ни формы, ни размеров, тензоры
def/ и о'ц — рtf подобны (а следовательно, и соосны), грц есть тен зор упругих деформаций по отношению к напряжениям ptj. Физический смысл этих последних величин состоит в том, что они являются теми скрытыми «внутренними» [79 ] упругими микро напряжениями, которые возникают в теле при пластической де формации. После снятия нагрузки эти напряжения остаются (по скольку сами по себе они не могут преодолеть сил сухого трения, препятствующих пластическим сдвигам).
Можно рассмотреть и механическую схему, соответствующую случаю «в», когда упрочнение является эффектом, не полностью упругим. При этом условие уравновешивания силы сухого тре ния (в двухмерном случае) будет иметь вид
F (X - * ! )» + O '- K i) a = * . |
( 1.21) |
|
В |
(1.21) <0— монотонно возрастающая |
при активной дефор |
мации |
инвариантная величина, ограниченная неравенствами |
|
|
|
( 1.22) |
При нижнем предельном значении <и получаем границу теку чести, соответствующую идеальному эффекту Баушингера, а при верхнем его предельном значении — равномерно расширяющуюся границу текучести с неподвижным центром.
Применив к случаю «в» те же рассуждения, что и ранее, придем к такому выводу: тензор приращения пластических деформаций должен быть соосен не тензору истинных напряжений а}/, а тен зору активных напряжений %ц = о'ц — рц, причем pt/, как и в случае «б», — упругие остцточные напряжения, характеризую щие перемещение центра границы текучести. Случаю «в» соответ ствует система формул (1.4).
Для определения функций т и а требуются опыты на растяже
ние и последующее обратное ему сжатие (рц = аец). Пластические свойства реальных квазиизотропных тел ближе
всего описываются схемой «в».
Следует при этом отметить, что материал, работающий по схеме «б», т. е. материал с идеальным эффектом Баушингера, по своим механическим свойствам, несомненно, ближе к действи тельности, чем материал, работающий по схеме «а».
24
Ввиду этого случай идеального эффекта Баушингера, описы ваемый формулами (1.3), представляет несомненный интерес и заслуживает изучения.
Из изложенного видно, почему в указанной теории тензор приращения пластических деформаций был принят подобным именно тензору активных напряжений %ц = о'ц — р а не тен зору aif. Объяснено также, почему рц были выражены через пластические деформации по принципу упругой взаимосвязи. Становится понятен и термин остаточные напряжения, поскольку напряжения р^ сохраняются в теле й после снятия внешней на грузки, так как сами по себе они не могут преодолеть пластиче ского сопротивления. Такого рода моделирование можно провести и для более сложных вариантов теории течения.
Г Л А В А 2
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ
Поликристаллы представляют собой конгломераты монокристаллических зерен, механические свойства поликристаллов опре деляются статистическими свойствами этих конгломератов. Име ются существенные успехи в отношении определения констант упругости поликристалла по заданным статистическим свойствам стационарного случайного поля, образуемого тензором модулей упругости всей совокупности кристаллов [109, 116, 19 и др.1. При этом оказалось, что даже в простейшем случае, когда поля напряжений и деформаций стационарны, для определения зави симости между математическими ожиданиями напряжений и упру гих деформаций в поликристалле приходится решать нелиней ную, стохастическую краевую задачу.
Распространение такого подхода на область пластического деформирования поликристалла в настоящее время нереально, гак как пластические свойства кристаллитов несравненно сложнее их упругих свойств. Последнее объясняется не столько тем, что пластические сдвиги развиваются в поликристаллах по дискрет ным плоскостям и направлениям, сколько неоднородностью про цесса скольжения, являющегося результатом перемещений в атом ной решетке многочисленных дефектов. Некоторые из них при ♦том исчезают, другие возникают, третьи образуют устойчивые скопления.
Трудность теоретической расшифровки экспериментальных кривых, отражающих связь между напряжениями и деформациями и кристаллах, объясняется тем, что эти кривые выражают весьма ♦ложные и до сих пор еще не поддающиеся истолкованию стати стические закономерности.
25
Таким образом, если при определении упругих свойств поли-* кристаллов приходится иметь дело лишь с одной статистикой (и притом более простой) — статистикой упругих зерен, то при определении пластических свойств поликристаллов необходимо считаться с гораздо более сложной статистикой дефектов. Все это предопределяет неизбежную нестрогость всех предпринятых до настоящего времени попщток построить теорию пластичности поликристаллов.
Например [23], кристаллы принимаются либо идеально пла стичными, либо упрочняющимися по обобщенной на кристаллы теории Ишлинского [51 ]. Кроме того, принимается гипотеза Кренера [233] о линейной связи между отклонениями напряже ний и деформаций от их средних значений. Указанные предполо жения позволяют рассчитывать кривые напряжений — дефор маций для поликристаллов при некоторых видах их нагружения.
Слабым местом исследований данного направления является, на наш взгляд, недостаточная их строгость с теоретической точки зрения и недостаточная обозримость с практической точки зрения. Внимание в этих работах сосредотачивается, главным образом, на скрупулезном учете анизотропии кристаллитов; что же ка сается их механических свойств, то последние (а также условия совместности деформации кристаллитов) довольно грубо схема тизируются. Не считая возможным (при современном состоянии физики твердых тел) разработку статистической теории пластич ности поликристаллов и не считая целесообразным детальный учет анизотропии кристаллитов ввиду невозможности достигнуть той же степени строгости в отношении описания их пластических свойств и оценки их взаимодействия, авторы предлагают ниже квазистатистический вариант теории пластичности, в котором при отказе от точного осреднения анизотропии кристаллитов, точного осреднения условий их взаимодействия и точного учета механических свойств отдельных кристаллитов тем не менее де лается попытка уловить статистический характер процесса пла стического деформирования.
Неравномерность пластической деформации, обусловленная как зернистостью структуры поликристалла, так и неравномер ностью распределения Дефектов в атомных решетках кристаллитов, приближенно учитывается путем представления тензора пласти ческой деформации в виде суммы (или в пределе в виде интеграла) элементарных пластических деформаций, каждой из которых отвечают своя поверхность текучести и система внутренних микроупругих сил. Указанный подход основывается на предположении, что статистика анизотропных кристаллитов может быть подме нена статистикой изотропных. частиц, обладающих 'различными пределами текучести.
Приемлемость данного предположения подтверждается рядом примеров, показывающих, что соответствующая теория способна описывать и даже предсказывать достаточно тонкие эффекты,
26
наблюдаемые при симметричных и несимметричных циклических нагружениях. Последний вид нагружений, относящийся к числу наиболее сложных .(поскольку при нем траектория пластического деформирования многократно меняет свое направление на про-' тивоположное) и в то же время являющийся достаточно простым с точки зрения вычислительной, служит своего рода «испытатель ным стендом», на котором следует проверять и сопоставлять раз личные варианты теории пластичности, желая достигнуть высо кой степени точности.
Идея описанного выше обобщения феноменологической теории пластичности родственна работам И. Бесселинга [13, 141. Однако упомянутый автор ограничился только простейшим вариантом этой идеи и не сделал попытки придать своей теории квазистатистический характер, что достигается только путем перехода к мо делям с бесконечным числом элементов. Рассмотрение таких мо делей интересно в том отношении, что позволяет вскрыть предель ные возможности тех или иных моделей с конечным числом эле ментов. Ясно, что если какой-либо эффект, наблюдаемый при пла стическом деформировании, не может быть описан моделью с бес конечным числом элементов, то тем более его нельзя Ъписать с помощью аналогичной модели, но с конечным числом элементов.
Такой подход, основы которого заложены в работах Г. Мазинга [240], А. Ю. Ишлинского [50], Н. Н. Афанасьева [6 ], позволяет по-новому, с единых позиций взглянуть на широкий класс теорий пластичности и ползучести, увидеть их общие черты и различия и четко проследить, какие возможности существуют в детализации теории для лучшего согласования с опытными данными.
2.1. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ ТЕОРИИ
Пластическая деформация объемного элемента поликристалла неоднородна ввиду его микроскопической и субмикроскопической неоднородности и анизотропности. В соответствии с этим осредненная по всему объему пластическая деформация может быть представлена в виде суммы
w < ) - - r 2 ef'" ’ |
(2 |) |
*—1 |
|
Здесь и в дальнейшем угловые скобки обозначают осреднение по объему. Объем элемента мыслится подразделенным на N об
ластей, в пределах которых осредненные деформации равны е?/А). Каждая из таких областей состоит из множества частиц, не имею щих друг с другом общей границы, поскольку одинаковые средние
пластические деформации |
возникают |
одновременно во |
многих |
|
I очках |
рассматриваемого |
объемного |
элемента. Будем |
считать, |
что все |
области занумерованы в порядке возрастания |
соответ |
27
ствующих им пределов текучести. При этом [для того чтобы из бежать в ряду (2.1) весовых коэффициентов] допустим, что не которые области могут иметь и одинаковые пределы текучести. Тем самым можно будет учесть, что не все значения пределов текучести одинаково вероятны.
В каждый момент нагружения будут пластически деформиро ваться только те области, в которых пределы текучести окажутся превзойденными. Поэтому в ряду (2.1) некоторые из его членов будут равны нулю, причем число пластически деформированных областей увеличивается с ростом напряжений. Аналогично и осреднение напряжения в объемном элементе поликристалла можно представить в виде
N
<2-2)
k=\
(Ь\
где под о\]} подразумеваются средние значения девиатора напря жений в тех же областях объемного элемента, о которых гово рилось ранее.
В соответствии с (2.1) и (2.2) приращение работы пластиче ской деформации поликристалла, отнесенное к единице его объема,
dA = т 5 г 2 |
(2-3) |
k= \ |
1=1 |
Известно, что при деформировании по замкнутому циклу часть работы пластических деформаций всегда обратима, что обусловли вается существованием микроупругих сил, оказывающих сопро тивление остаточным сдвигам. Механизм возникновения этих микроупругих сил состоит в том, что условиям совместности деформации подчиняются не упругие и пластические деформаций порознь, а их сумма. Отсюда неоднородной пластической дефор мации всегда сопутствует и неоднородная упругая деформация, сопровождающаяся возникновением внутренних упругих сил, оказывающих сопротивление пластическому деформированию (а в некоторых случаях, например при разгрузке и противополож ном нагружении, наоборот, ему помогающих).
На этом основании |
следует |
представить в |
виде |
||
Лк) _ |
гг(А!> |
|
|
(2.4) |
|
Oil |
= |
Ъц + Рц > |
|
|
|
подразумевая под девиаторами т и |
pi/' диссипативную и упру |
||||
гую составляющие сопротивлению |
пластическим |
деформациям. |
|||
В силу |
такого определения |
|
|
||
S |
2 |
Jplpde?/0 = 0 . |
|
|
(2.5) |
*=1 |
/=i |
|
|
|
28
если интегрирование выполняется по любой траектории, замкну той в отношении всех е?/(/). Отсюда
р<,*> = df(k)/deV l), |
(2.6) |
причем для первоначально изотропных тел скалярные функции
должны зависеть только от инвариантов тензоров е?/г) (/= 1, 2, .... N).
В первом приближении предположим, что соотношения между
в?/(/) и |
|
линейны, т. е. |
|
|
|
N |
|
Рг/’ |
= |
2 смгЬ11)1 сы = const, chl = clh. |
(2.7) |
|
|
l= \ |
|
Что же касается тензоров диссипативных сил %ц\ то их будем считать связанными с локальными пластическими деформациями соотношениями типа сухого трения (типа Рейсса):
4 k) dept,ik) = ч\к) dlh; |
= ] A # 4 F , |
(2.8) |
где < &) есть предел текучести &-й области объемного элемента поликристалла.
Допущение здесь возможности.знака равенства пределов теку** чести позволяет учесть неодинаковую вероятность пределов те кучести, о чем уже упоминалось. Математически это равносильно введению в ряд (2Г1) весовых коэффициентов
м |
|
< e ? /> = 4 " 2 |
<2-9> |
*=1 |
|
причем с ббльшими весами должны входить те члены, которым соответствуют области с наиболее вероятными значениями пре дела текучести.
Приведенных соотношений, однако, недостаточно для опреде
ления осредненной пластической деформации (еу) по заданному закону изменения осредненных напряжений (Оу>. Сюда необ ходимо добавить соотношения, связывающие локальные напря
жения <$> с (еу), (еу) и Следуя рекомендациям Е. Креиера [2331, примем, что локальные отклонения напряжений от их осредненных значений линейно связаны с аналогичными от клонениями пластических деформаций:
<»«> - <*№= mh (е?/(4) - |
<8у». |
(2.10) |
|
Уравнение (2.10) |
замыкает теорию, позволяя использовать |
||
«ч> для определения |
осредненных пластических деформаций по |
||
заданной истории изменения осредненных напряжений. |
|
||
Во всех предыдущих рассуждениях объемные пластические |
|||
деформации пренебрегалиеь, |
в соответствии с чем тензор |
пласти- |
29
A/VWWWVWWV'i |
ческих деформаций отождествлялся с его |
||
7У^77/77Л |
девиатором. |
|
|
A/W W VW VW W |
Введение в теорию |
соответствующих |
|
*7/7//7, |
поправок |
представляет |
интерес, скорее, |
/WWVWS/WWS/V |
с точки |
зрения теории |
прочности, чем |
Jtrrrsrb?, |
теории |
пластичности, |
занимающейся |
ллллллллллллллл. |
только оценкой пластических деформаций. |
||
V77, |
Отметим два важных частных случая. |
||
I [ЛЛЛЛЛЛЛЛЛЛ^УУЧ |
1. |
Можно |
было б |
Рис. 2.1 |
редненные пластические |
деформации по |
|
формуле (2.1), пренебречь неравномер |
|||
|
ностью распределения |
напряжений |
в |
элементе объема поликристалла. Этому соответствует равенство |
|||
»{/* = < » « ). |
' |
(2 .1 1 ) |
получаемое из (2.10) при тк = 0.
Аналогичное допущение принималось при определении эф фективного модуля упругости поликристаллов А. Рейссом [250].
2. Другой крайний вариант теории получается, если, сохранив неравномерность распределения напряжений, предположить, что равномерно распределены в элементарном объеме суммарные де формации, т. е. что
е<*> = e?/fc) + e?/(fc) «= <T|/)/(2G) + е?/(4) = <е„>, |
(2.12) |
||
где ef/(ft) — локальная |
упругая деформация. |
|
|
Как видно из (2.10), этому допущению соответствует равенство |
|||
тк = 20. Такое предположение |
принималось при |
определении |
|
эффективного модуля |
упругости |
поликристаллов |
В. Фохтом |
[263]. Этот последний вариант теории допускает наглядную ин терпретацию в виде модели, образованной из N параллельно соединенных элементов, каждый из которых состоит из пружины и груза, удерживаемого сухим трением (рис. 2.1).
То обстоятельство, что предложенные Е. Кренером соотноше ния (2.10) содержат в себе как крайние частные случаи модели поликристалла, рассмотренные А. Рейссом и В. Фохтом, говорит в пользу этих соотношений. Последнее дает основание полагать, что при надлежащем выборе тк можно получить теорию, доста точно близкую к экспериментальным данным.
Изложенный^ подход открывает возможности построения при ближенных вариантов теории пластичности, основанных на удер жании того или иного числа элементов N, причем чем больше их будет сохранено, тем более полно можно описать картину пласти ческого деформирования.
Самый простой вариант получается при N = 1. Он оказы вается тождественным известной теории Ишлинского [51]. При N = 2, 3, 4, ... и см = 0, /л* е= 2G получается теория, пред ложенная И. Бесселингом [13]. Но прежде чем подробно рассма-
30