книги / Микронапряжения в конструкционных материалах

Последние соотношения показывают, что направляющий девиатор vg> определяет направление оси гиперконуса полного до­

гружения, а девиатор v 'f , ортогональный ему, лежит в гипер­ плоскости, построенной на девиаторах (ги) и (hj)-

Учитывая, что

А = (hi) (га) - ((hi) vg»)», из (3.171) находим

vg* = [(ги) - ({ги) v^P) vg>]/ / < ,„ > (hi) + ((hi) v|}>)2•

Записанное соотношение позволяет определить направляющий де­ виатор если заданы девиаторы (гц), (hi)-

Используя представление для направляющих девиаторов v)/5, Vff, неравенство (3.169) запишем в следующем виде:

Отметим, что область й0, достигнутая в процессе монотонного нагружения, в гиперсферической системе координат (3.111) имеет

нагружения всегда включается в область й0, так как в противном случае будет нарушено условие течения (3.170). В силу этого обстоятельства второе неравенство (3.172) можно опустить и ра­

Учитывая формулы (3.111), первое неравенство (3.172) пред­

где p — угол излома траектории активных напряжений, для его определения имеем tg р = г2/г1.

91

Введем функцию ос2 (0J, определяющую максимальное значе­ ние угла 0а области направлений активного микропластического деформирования. Тогда для 02 из (3.173) получаем

тивного микропластического деформирования и в силу этого соот­ ношение (3.174) в общем случае нужно рассматривать как транс­ цендентное уравнение для построения функции а2 (Gi). Для функ­ ций Qt, F2из (3.102), (ЗЛИ) после интегрирования находим:

a,

Рг = j X2dQ — n J sln401[^sina2(0i) + -g-sin 3a2(0i)Jd0x; (3.175)

Qx D

заметим, что F* = J XhdQ = 0 {k = 3, 4, 5). Q,

При известной области £2X, используя зависимости (3.103), можно построить определяющие соотношения теории микроде­ формации в угловой точке траектории нагружения. С учетом при­

* В дальнейшем знак суммирования по повторяющимся индексам (m, n, k)

не ставится.

92

После интегрирования находим»

a

at

Oaa = -g- j sin® 0i [cca (0i) — -j- sin 4aa (0r)] d0x;

о

(3.177)

остальные Gran — 0*

Из определяющих соотношений (3.176) и формул (3.175), (3.177) для построения Gmn и Fm очевидным образом следует, что скорость микропластической деформации расположена в гипер­ плоскости, построенной на девиаторах <г^> и (Гц). Полученное следствие из теории микродеформации ранее вводилось в работах [92, 194] в качестве постулата для перехода от плоской траекто­ рии нагружения к случаю произвольной догрузки.

Используя указанное следствие, определяющие соотношения

Записанными соотношениями в угловой точке можно восполь­ зоваться лишь в том случае, когда известны величины Gmn и Fm. Построим алгоритм определения указанных величин. Примем процесс нагружения, предшествующий точке излома, монотон­ ным, так что в дальнейшем будем считать известным значение па­ раметра ctj. Зададим девиатор скорости изменения напряжений (о'ц). Принимая на первом шаге итерации а а (0Х) = л, с исполь­ зованием квадратурной формулы типа Гаусса из (3.175), (3.177) вычисляем Gmn, Fm, а из (3.178) определяем скорость изменения активных напряжений, что, в свою очередь, дает возможность найти новые значения функции аа (0Х). Повторяя этот процесс

до тех пор,, пока не выполнится условие (г?/*-1) — (г*/) < е0, где (гц), (г*/-1) — скорости изменения активных напряжений на k-ft и (k + 1) -й итерации соответственно и е0 — заданная малая величина, находим функции Gmn и в угловой точке траекто­ рии нагружения.

93

В22 г= [С22 (1 + /42Сц) — Л2С12]/А;

Д == (1 + ^С ц) (1 + Л2С22) — Cf2-

Из (3.181) с учетом (3.180) для модулей догрузки и продолжаю­ щегося нагружения окончательно получаем

в угловой точке траектории нагружения имеет место монотонное нагружение. В этом случае С12 = 0 и, следовательно, модули догрузки и продолжающегося нагружения не зависят от угла из­ лома траектории нагружения 0 и определяются по формулам

94

При 0О<! 0 -< 0i модули- Gi, G2 существенно зависят от угла излома траектории нагружения 0. Их можно построить, исполь­ зуя описанный выше алгоритм вычисления Gmn и Fm. Зависимости

ния девиатор напряжений ( о';/) можно однозначным образом предствить в виде разложения по девиаторным осям:

<<г«>-« ,* !!’ + * v l? .

Определенную таким образом траекторию нагружения .будем на­ зывать плоской траекторией.

Будем считать известным закон изменения sx = Si (/), s2 = = s2 (/), и поставим задачу построения траектории деформирова­ ния

(fill) = + e2vf^r

которая при плоской траектории нагружения будет также пло­

ской.

Для случая, когда имеет место монотонный процесс нагруже­ ния, т. е. при выполнении условий монотонности в каждой точке траектории нагружения, задача решена в параграфе 3.6 и не только для плоской траектории нагружения. В частности, для рассма­ триваемого здесь случая плоской траектории можем записать

« - Т Г р ( ? ) - * « * > - А . + А , о с . ) * » ] X

A d ) + ^ В (a ) ( s ( - А Л ) ,

et = st/(2G) + ePt (t, fe = l, 2).

Здесь функции А (а), В (а), F (а), Q (а) определяются по формулам (3.114) и параметр а — из уравнения (3.107). Условие монотонности в этом случае принимает следующий вид:

0 <Р < Р о >

где

95

Пусть в некоторый момент процесса нагружения условия мо­ нотонности нарушаются. Введем наряду с фиксированным девиа-

торным базисом подвижный pi/). Причем последний выберем так, чтобы первая ось его в процессе нагружения была направлена вдоль девиатора активных напряжений, а вторая ось лежала в плоскости нагружения. В этой подвижной системе в окрестности угловой точки излома траектории нагружения приходим к следую­ щим определяющим соотношениям:

где

Эти зависимости непосредственно следуют из соотношений, записанных в предыдущем параграфе, в угловой точке траекто­

рии нагружения. Функции Gif/, Ft и Q, входящие в (3.182), вы­ числяются по формулам (3.175) и (3.177).

Очевидно, что приведенные в настоящем параграфе формулы позволяют вести расчеты для произвольной плоской траектории активного нагружения, т. е. такой, когда в процессе нагружения не возникает частичной разгрузки и повторного пластического деформирования в некоторых направлениях девиаторного про­ странства. Для полного же решения задачи необходимо рассмо­ треть вопрос об описании частичного повторного пластического деформирования.

Пусть в некоторый момент t* процесса нагружения произошел излом траектории нагружения, в результате которого возникла зона частичной разгрузки. Эта зона может быть построена с ис­ пользованием алгоритма, приведенного в предыдущем параграфе она имеет вид 0 •< 0jf а, а2 (0£) ^ я. Заметим, что в дан­ ном случае область частичной разгрузки определена в подвижной системе координат.

Обозначим область направлений частичной разгрузки через Qp. Как следует из условия течения (3.77), функция разрешающих напряжений в пределах направлений частичной разгрузки примет

где t* — момент процесса нагружения, при котором в данном на­ правлении ац возникла частичная разгрузка, а <сг*/) — девиатор напряжений, отвечающий этому моменту процесса нагружения.

При последующем нагружении разрешающие напряжения в на­ правлении «у £ Qp изменяются, и это изменение определяется по формуле

I

96

где f (al}, t) = (Рг/)+й, так как направление а1} не принадле­ жит области направлений активного микропластического дефор­ мирования.

Направление ai} не является активным до тех пор, пока согласно условию течения (3.77) выполняется неравенство

ац (oh) {аф {a’il) + [<р(1(0) — {рц (*.))]«« + * (0 - к (U- (3.185)

Когда же в (3.185) будет достигнуто равенство, направление а и вновь станет направлением активного микропластического де­ формирования. Таким образом, условие возникновения направле­ ний вторичного микропластического деформирования принимает следующий вид:

Последнее условие по виду напоминает условие для построения границы области частичной разгрузки (3.172), толькр в данном случае Д (гф определяется как приращение девиатора активных напряжений от их значения (г*/), при котором направление ац стало направлением частичной разгрузки.

Введем в рассмотрение угол между текущим направлением девиатора активных напряжений (гф и указанным выше его при­ ращением А (гф. В принятых выше обозначениях этот угол определится по формуле

Из сравнения формул для построения области частичной раз­ грузки (3.172) с формулами для построения направления вторич­ ного микропластического деформирования (3.188) приходим к сле­ дующему выводу. Если в процессе нагружения, следующем за угловой точкой траектории нагружения, в которой произошла частичная разгрузка, угол Ф будет все время оставаться меньше, чем текущее значение угла излома (3, то вторичного пластического деформирования возникать це будет. В противном случае, когда Ф > Р, для определения области Q следует воспользоваться ус­ ловием (3.188).

линейных участков, т. е. он пред­ ставляется в виде многозвенной ломаной. В указанном комплекте программ также предусмотрена возможность описания процессов жесткого нагружения, когда заданной является траектория де­ формации и строится соответствующая ей траектория нагружения. Для построения алгоритма таких расчетов' использовались соот­ ношения, полученные при мягком нагружении, и они были до­ полнены законом Гука в форме

Подстановка определяющих соотношений (3.182) в (3.189) дает возможность построить искомую зависимость sk от ён и иссле-

98

ными в работах [243, 244]. Авторы деформировали тонко­ стенные трубчатые образцы при совместном растяжении и кру­ чении. Траектории деформирова­ ния показаны на рисунках. Мате­ риал — поликристаллическая ла­

делялись из эксперимента на знакопеременное нагружение

В экспериментах соблюдалась постоянная скорость деформи­ рования

dL/dt = 3 -10-® с '1,

где

L = J[{detf + (йеаП *

В этих экспериментах после начального растяжения трубки до деформации L0 прикладывались одновременно растяжение (или сжатие) и кручение, так что в точке траектории Р0 образовывался угол. Во всех экспериментах, результаты которых приведены на рис. 3.15—3.17, длина первого звена траектории деформирова­

R = 0,9 %.

На рис. 3.17 показано изменение напряжений для трехзвен­ ных траекторий деформирования. Условное обозначение ф отве­ чает зависимости sx/s0 от AL при = 0,5 %, О — зависимости

На всех графиках сплошной линией показаны теоретические результаты. Соответствие следует признать хорошим.

3.12.ПРОИЗВОЛЬНАЯ ТРАЕКТОРИЯ НАГРУЖЕНИЯ

Впринципиальном отношении развивая алгоритм, приведен­ ный В предыдущем параграфе, можно построить процесс вычисле­ ний для описания произвольного процесса нагружения. Однако, как отмечалось ранее при исследовании циклического нагружения, подобные построения приводят к довольно громоздким формулам, использовать которые при проведении расчетов лишено смысла. Более разумным представляется для произвольной траектории нагружения применить определяющие соотношения в их исходном виде, записанном в некотором фиксированном девиаторном ба­

зисе, v*/, а для построения области £2 воспользоваться условием течения (3.77) и условием гр > 0. Изменение интенсивности раз­ решающих напряжений при этом можно построить, используя формулы (3.104). В случае жесткого, нагружения можно восполь­ зоваться результатами, представленными в параграфе 3.7.

Приведем здесь сводку формул, необходимых для проведения расчетов при произвольной траектории нагружения.

Мягкое нагружение:

100