книги / Линейная алгебра
..pdfXI |
*2 |
Хз |
х4 |
5 |
4 |
1 |
2 |
13 |
10 |
3 |
4 |
В заключение этого параграфа отметим следующие свойства ре шений неоднородной и однородной систем линейных уравнений.
1.Сумма любого решения неоднородной системы и любого реше ния ее однородной системы является решением неоднородной системы.
2.Разность любых двух решений неоднородной системы является решением ее однородной системы.
3.Общее решение Хц неоднородной системы представляется в ви де суммы общего решения Х 0дн ее однородной системы и како го-либо частного решения х° неоднородной системы, т.е. имеет место формула
-Хн = -Ходи + х° |
(2.18) |
Особо обратим внимание на то, что в теории систем линейных уравнений большую роль играют ранг матрицы и линейная зависи мость линейных форм. Если вычисления проводятся с округлениями, то при вычислении ранга матрицы и выяснении вопроса о линейной зависимости линейных форм (см. п. 2.2 и п. 2.3) могут быть допу щены ошибки. Это может весьма сильно сказаться на устойчивости решения системы. В таких случаях обычно для нахождения устой чивого решения системы применяют метод регуляризации (см. п. 6.15), и в нем соответствующим образом выбирают значение параме тра. Некоторые рекомендации по решению систем линейных уравне ний на ЭВМ и итерационными методами приводятся в п. 6.19 и в гл.
8.
2.7.Линейные п одпространства
Подмножество L линейного пространства X называют п одп ро странством этого пространства, если оно само является линейным пространством по отношению к определенным в X операциям сло жения векторов и умножения их на числа. Так, векторы-отрезки, выходящие из начала координат и лежащие на прямой (плоскости) в обычном трехмерном пространстве Хз векторов-отрезков, соста вляют одномерное (двумерное) подпространство.
Систему (2.20).называют параметрическими уравнениями под п ростран ства L в координатной форме.
Любое линейное подпространство L конечномерного пространства Хп можно также представить как пространство решений однородной системы линейных уравнений с п неизвестными, т.е. можно задать однородной системой линейных уравнений. Такое задание подпрост ранства называют его общ ими уравнениями. Если подпростран ство L задано параметрическими уравнениями (2.20), то для получе ния общих уравнений подпространства L нужно из (2.20) исключить параметры <i, *2, ..., t*.
Пример 1. Подпространство L = < ai, аъ >, где а\ = (1, 1, 2, 0)т и 02 = (1, —1, 0, 2)т , задать в виде (2.19), (2.20) и общими уравнениями.
Решение. |
Векторное уравнение (2.19) в данном случае принимает |
вид |
|
|
L = t1 - (1, 1, 2, 0)т + * 2 -(1, -1 , 0, 2)т |
Отсюда, переходя к покоординатным равенствам, получаем для L параметрические уравнения
' XI |
= |
11 + *2 |
*2 |
= |
t l - h |
хз |
= |
2*i, |
кх4 |
= |
2*2 |
в координатной форме.
Исключив здесь параметры i и *2, получим для L общие уравнения
Г2xi - |
х3 |
- х4 |
= |
О, |
\ 2х2 - |
х 3 |
+ х4 |
= |
0. |
Если подпространство L задано общими уравнениями, т.е. систе мой однородных уравнений, то для построения базиса подпростран ства L следует построить какую-либо ФСР этой системы однородных уравнений.
Пример 2. Найти какой-либо базис подпространства L, задан ного системой уравнений
Г Х\ + Х2 |
+ хз + Я4 |
= |
0, |
\ Xi —Х2 |
+ Хз ““ ХА |
— |
0. |
Решение. Решив эту систему, получим ее общее решение X = = ( - х 3, —х4,х з,х 4)т Здесь два свободных неизвестных. Поэтому
возьмем какой-либо отличный от нуля определитель второго порядка, например, определитель
1 |
О |
|
О |
1 |
’ |
и положим в общем решении сначала хз = 1, х* = 0, затем а?з = О, Х4 = 1. Соответственно получим частные решения
X ! = (-1 , 0, 1, 0)т , Х 2 = (0, - 1 , О, 1)т ,
составляющие ФСР данной однородной системы уравнений. Эти ре шения составляют один из базисов подпространства L.
Если в пространстве X даны линейные подпространства L\, Li, то множество Lo векторов, принадлежащих как к L\, так и к Li, является подпространством в X. Его называют пересечением под п ростран ств L\ и Li и обозначают через LQ = L\ П Li.
Линейным подпространством является также и линейная оболочка объединения подпространств L\ и Li. Это подпространство назы вают суммой п одп ростран ств L\ и Li и обозначают через L\+ Li. Оно состоит из векторов, которые представляются в виде суммы двух слагаемых, одного из Ь\, другого т Li, ъ только из таких векторов.
Если пересечение L\ C\Li является нулевым подпространством, то сумму L1+ L 2 называют прямой суммой и обозначают через L\®Li.
Понятие пересечения и суммы подпространств распространяется на любое конечное число подпространств. Для размерностей выпол
няется следующее соотношение: |
|
dim(Li 4- Li) = dimL\ + dimLi — dim(L\ П Li). |
(2.21) |
Если пространство X является прямой суммой подпространств L\ и Li, то для любого вектора х из X однозначно выполняется соотно шение х = х\ + xi, где xi £ Li, xi € Li. При этом х\ называют про
екцией вектора х |
на п одп ростран ство L\ параллельно под |
п ростран ству Li. |
Аналогично xi называют проекцией вектора |
х на п ростран ство Li параллельно п одп ростран ству L\. Подпространства Lin Li, удовлетворяющие условию X = Li®Li,
называют прямыми дополнениями друг к другу в простран стве X.
Пример 3. В пространстве X построить для подпространства L\ = < fli,a2 >, где ai = (1, 1, 1, 0)т , ai = (1, 0, 1, 0)т , какое-либо
прямое дополнение Ь2 и найти проекцию вектора х = (2, 1 , 5, 5)т на подпространство Ь\ параллельно подпространству Ь2.
Решение. Векторы а\ и а2 составляют базис в Ь\. Дополним эту систему векторов до базиса в X , например, векторами
*1 = (0, о, 1 , 0)т и Ьз = (0, 0, 0, 1)т ,
и положим L2 = < 61,62 >• Очевидно, что £2 является искомым под пространством. Далее запишем векторное равенство
х = aiai + а2а2 + /?i6i + j32b2)
перейдем от него к покоординатным равенствам (см. пример 1 из п. 2.2) и из них найдем ct\ = а2 = 1, fli = 3, р2 = 5. Поэтому
х = (ai + аг) + (З61 + 562) = (2, 1, 2, 0)т + (0, 0, 3, 5)т ,
где (2, 1, 2, 0)т Е £ 1 , (0, 0, 3, 5)т Е Ь2. Следовательно, проекцией вектора х = (2, 1, 5, 5)т на подпространство L\ параллельно подпро странству Ь2 является xi = (2, 1 , 2, 0)т
Пусть L\ = < ai, аг,..., а* >, Ь2 = < 61, 62, ... , 6/ > и системы век торов ai, аг, . . а* и 61, 62, . . 6/ составляют базисы соответственно в Li и Ь2. Чтобы найти какой-либо базис в L\ + Ь2у следует вы делить какую-либо максимальную линейно независимую подсистему
системы векторов |
|
|
ai, a2, |
a*, 61, 62, |
6/. |
При построении какого-либо базиса в LiflZ^ следует записать (см.
в [22] решение задачи N 1319) векторное равенство |
|
z = a^ai + а2а2 + ... + otkQjc = /?i6i + (32b2 + ... 4- /?/6/ |
(2.22) |
и перейти от него к покоординатным равенствам. В результате полу чится однородная система линейных уравнений относительно коэф фициентов ai, а 2, . . а*, /?1 , /?2> •••, А . Построив какую-либо фунда ментальную систему решений этой системы уравнений и подставив поочередно каждое решение построенной фундаментальной системы решений в (2.22), получим базис в L\ Г\Ь2.
Если пространства L\ и Ь2 заданы однородными системами урав нений, то пересечение Ь\ П Ь2 будет определяться системой, получае мой объединением всех уравнений из систем, определяющих Ь\ и Ь2.
5 -1 3 0 7
Любая фундаментальная система решений такой системы уравнений дает базис пересечения L\ П Li.
П ример 4. |
Найти базисы суммы и пересечения подпространств |
||
Li = < 01, 02,03 > и Li = < |
61, 62,^3 >, если |
|
|
в1 = |
(1 , 1 , 1 >1)т , а2 = (1 , 1 , - 1 ) - 1)т ) |
а3 = ( 1 , - 1 , 1 , - 1)Т, |
|
*1 = ( 1 , - 1 - 1,1)т, |
&2 = (2, —2,0,0)т , |
Ьз = (3, —1,1,1)т |
|
Реш ение. |
Сначала заметим, что системы векторов a i, 02, 03 и 61, |
62, 63 составляют базисы соответственно в L\ и Li* Затем составим матрицу
/ |
1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
2 |
3 |
\ |
(а1 ,а 2,аз,Ь1, 62,Ьз) = |
1 |
1 |
- 1 |
- 1 |
|
- 2 |
- 1 |
|
|
1 |
- |
1 |
|
1 |
- 1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
/ |
|||||||
|
1 |
|
- |
1 |
- 1 |
1 |
0 |
1 |
Ранг этой матрицы равен четырем и один из ее базисных миноров располагается на векторах ei, а2, аз, 6i. Следовательно, эти векторы составляют один из базисов суммы L\ + L2.
В пересечение L\ П L2 входят лишь векторы вида
z = a i d + £*202 + азаз = 0ih + /?262 + 03Ь3, |
(2.22') |
||||||||
т.е. векторы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
^ |
|
1 |
^ |
|
1 |
\ |
|
z = а 1 |
1 |
+ а 2 |
1 |
+ |
0!3 |
- 1 |
|
|
|
1 |
- 1 |
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
) |
|
|
|
\ |
- ч |
|
|
|
/ |
1 |
\ |
/ |
2 |
\ |
1 |
|
|
= А |
|
- 1 |
|
+ 02 |
—2 |
+ Рз |
- 1 |
(2 .22") |
|
|
- 1 |
|
О |
1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
/ |
|
0 |
/ |
|
1 / |
|
Переходя в уравнении (2.22,/) к покоординатным равенствам, полу чим однородную систему уравнений
{ °ti + &2 |
+ <*з |
= |
01 + 2 h |
+ 3/?з, |
|
<*1 + (*1 |
—<*3 |
— —01 — 202 — |
03, |
||
&1 —(*2 + 013 |
= |
—01 |
+ |
/?з, |
|
a i - a 2 - a 3 |
= |
0\ |
+ /?з, |
относительно ot\> 0.2 , Qf3j 0i, 02, 0з• Ее общим решением является решение
(«1 = 03, «2 = о, а3 = 0 2 + Ра, 01 = -/?2 - /?з, /%, Дз)т,
а одну из фундаментальных систем решений составляют решения
(ах = 0, а2 = 0, а3 = 1, Р\ = - 1, 02 = 1, Рз = 0)т,
(ах = 1, а 2 = 0, а 3 = 1, Pi = -1 , 02 = 0, 0з = 1)т
Подставляя эти решения поочередно в (2.22'), или, что то же самое, в (2.22"), получим векторы
Zi = |
|
a 3 = - b i |
+&2 = (1, —1,1, —1)т, |
|
Z2 |
= |
а х + |
а 3 = — Ьх + 6 3 = |
( 2 , 0 , 2 , 0 ) т , |
составляющие один из базисов в L\ П |
|
|||
Для построения |
базиса в Ь\ П Ьъ можно найти, |
как в примере |
1, задание подпространств L\ и L 2 однородными системами и найти какую-либо фундаментальную систему решений объединения этих си стем. Проделаем это.
Подпространство L\ имеет векторное уравнение
L\ = t\ai + 12&2 + <заз-
Переходя в нем к покоординатным равенствам, получим для L\ па раметрические уравнения
{ si |
= |
^1+ ^ 2 + *з, |
|
S2 |
= |
*1 + i>2 —t3, |
|
S3 |
= |
<1 — *2 + ^3) |
|
Ха |
— ^1 — ^2 “ ^3* |
||
После исключения параметров |
%2, *з, придем к общему уравне |
нию х\ — ®2 — S3 + ха = 0, определяющему подпространство Ь\. Ана логичным образом получается общее уравнение х\ + S2 — S3 — Х4 = 0, определяющее подпространство Ьз. Поэтому общими уравнениями пересечения L\ П L 2 будет система уравнений
Г х\ —Х2 — хз + |
ха |
= |
0 , |
\ si + S2 - S3 - |
ха |
— 0. |
|
Одну из ФСР этой системы уравнений составляют, например, решеная Xi = (1 , 0, 1, 0)т , Х 2 = (0, 1, 0, 1)т Они дают один из базисов пересечения L\ П 1 >2-
2.8.Упражнения
1. Найти линейную комбинацию векторов.
1)3ai — 2а2 + 8аз,
если ai = (1 ,2 ,1 ,2 )т , а2 = ( - 1 , - 3 , 4 , 5 )т , а3 = ( - 5 , 0 , 2 , 3 )т ;
2)2ai Ч- 3ci2 — 8аз Ч* 4tt4,
если |
ai = ( 1 , - 1 , 2 , - 1 , 1)т , а2 = |
( 3 ,1 ,1 ,- 3 ,4 )т , |
03 = |
(3,1, - 1 , 2 , 4 )т , 04 = ( - 5 , - 2 , |
- 3 , 1 , 2 )т ; |
3)5ai — баг + 7аз,
если О! = ( 1 , - 1 ,2 , - 2 ) т , о2 = (1,1, - 1 , - 1 ) т , о3 = (3 ,0 ,- 1 , 2 )т
2.Решить уравнения:
1)2ai + Заг — аз — 7х = а4,
где ох = ( - 1 , 2 , - 3 , 4 ) т , о2 = ( —1, —1, —1 ,5 )т , о3 = ( 2 , - 5 , - 1 , 3 )т ,
04 = (2, 1, - 2, 1)т ;
2)3(ai — 2х) Ч- 5(а2 Ч- аз — Зх) = 2(аз — 4х),
где О! = (4 ,3 ,1 ,2 )т , 02 = (2, —1, —3 ,4 )т , о3 = ( - 1 ,4 , —5 ,3 )т ;
3)2(х — а\ Ч" а3) — 5(х — 2а2 — аз) Ч- 3(2х Ч- аз Ч- а4) = х — сц,
где oi = ( 1 , 1 , - 1 , - 1 ) т , аз = (3,0, - 5 , 1)т , а3 = ( 1 , - 3 , 0 , - 4 ) т , а* = ( 2 ,3 ,4 , - 5 ) т
3. Используя правило из п.2.2, выяснить вопрос о линейной зависимости системы векторов:
1) |
oi = (1, —1,1, —1)Т , |
а2 = (1,0,1,0)т , |
о3 = (1,-3,1,-3)т ; |
|
2) |
01 =(1,1,1,1)т , |
а2 = ( i , - i , i , - i ) T , |
“з = (2,3,1,4)т , |
|
|
04 =(2,1,1,3)т ; |
а2 = (2,5,7)т , |
|
|
3) |
oi = (1,2,3)т , |
о3 =(3,7,10)т ; |
||
4) |
oi =(1,2,3)т , |
02 = (2,5,7)т , |
о3 =(3,7,11)т ; |
|
5) |
01 =(1,1,1,1)т , |
02 = (1, -1,1, -1 )т , |
а3 = (1, —1,1, —1)Т , |
|
6) |
04 |
= (1,1,-1,-1)т ; |
|
|
oi =(1,2,3,4)т , |
02 = (4,3,2,1)т , |
о3 = (5,5,5,5)т ; |
||
7) |
01 |
= (1, -1,1,1)т , |
02 = (1,0,1,0)т , |
«з = (1,-3,1,3)т ; |
8) |
01 |
=(1,1,1,1)т , |
02 = (1, -1,1, -1 )т , |
оз =(2,3,1,4)т , |
|
04 =(2,1,1,3)т ; |
|
|
|
9) |
oi =(1,2,3,4)т , |
02 — (4,1,2,3)т , |
оз = (3,4,1,2)т , |
|
|
04 = ( 1, 1, 1, 1)Т |
|
|
4.Вычислить ранги матриц: