книги / Линейная алгебра
..pdfРешение. Составим матрицу |
|
|
|
|
|
|
|||||
А*А = |
/ 2 |
—1 0 |
|
|
2 - 1 0 |
5 - 3 - 1 |
|||||
|
- 1 |
1 1 |
|
- 1 |
1 |
1 |
- 3 |
3 |
3 |
||
|
V |
|
0 |
|
|||||||
|
|
|
1 |
0 |
21 2 |
- 1 3 |
5 |
||||
Ее характеристический многочлен |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
5 |
- А |
- 3 |
|
- 1 |
|
|
|
|
|А*А - |
\Е |= |
- 3 |
3 - |
А |
|
3 |
-А(А 2 - |
13А + 36) |
|||
|
|
|
|
- 1 |
|
3 |
5 |
- А |
|
|
|
имеет корни |
Ai |
= 9, |
Аг = |
4, |
Аз |
= |
0 |
Поэтому |
<т\ — \/Xj" = 3, |
||
<г2 = \/А7 = 2 и |
|
|
/ 3 0 |
|
о |
\ |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Е = |
|
0 |
2 |
0 |
I |
|
|
|
|
|
|
|
\ |
0 |
0 |
0 / |
|
|
Из системы {А*А — АЕ)Х = 0 при А = 9, 4, 0 найдем соот ветственно векторы 6i = (1 , —1 , —1)т , Ь2 = (1 , 0, 1 )т , 63 = (1 , 2, —1)т Они уже ортогональны, так как принадлежат различным собствен ным значениям. Нормируя их, получим векторы
ei = - L ( l , - l , - l ) T, е'2 = - ^ ( 1 , 0, 1)т , е' = i ( l , 2 , - l ) T
Заметим, что в силу симметричности матрицы А, эти векторы явля ются собственными векторами матрицы А.
Из столбцов координат векторов е^, е^, е*3 составим матрицу
/ |
1/л/З |
1 / / 2 |
1 |
/л/6 |
\ |
Р = |
-1 /V 5 |
0 |
2/\/б |
|
|
\ |
-1 /V 3 |
1/лД |
- 1 |
/V 5 |
/ |
Далее построим векторы
Систему векторов Д , Д дополним до ортонормированного базиса пространства Уз, например, вектором /3 = ^ -(1 ,2 ,—1)т
Из столбцов координат векторов Д, / 2, /з построим матрицу Q Она совпала с матрицей Р.
Теперь запишем искомое сингулярное разложение
А = QZP* =
(Т з |
1 |
|
^ / 3 |
|
0 \ |
( 7з |
1 |
~7з ^ |
|
72 |
Л |
0 |
|
||||||
-Тз |
0 |
75 |
|
0 |
2 |
о о |
72 |
0 |
72 |
|
|
|
|
V п |
п |
|
|
о |
|
~7з |
72 |
~7в / |
\ и |
и |
|
\75 |
1 |
~7в / |
|
|
|
|
75 |
||||||
П ример 3. Построить сингулярное разложение матрицы |
Ч |
- |
« |
" |
0 |
|
Реш ение. Характеристический многочлен |
|
|
|||
\А*А - ХЕ\ = |
2 5 - А |
|
0 |
= (25 - А)2 |
|
0 |
|
2 5 - А |
|
||
матрицы А*А имеет корни Ai = А2 = 25. Поэтому <?\ = |
= л/25 = 5. |
||||
Следовательно, матрица Е имеет вид |
|
|
|
|
|
|
- |
0 |
! |
) |
|
При А = 25 система (А* А —АЕ)Х = 0, т.е. система |
|
|||||||
|
|
|
Г 0 |
•x i + |
0 х2• = 0, |
|
|
|
|
|
|
\ 0 •xi + 0 •Х2 = 0, |
|
|
|
||
имеет ФСР, |
состоящую из двух решений, |
например, из решений |
||||||
6i = (1 , 0)т , 62 = (0 ,1)т |
Они уже ортогональны. Нормируя их, полу |
|||||||
чим е[ = (1,0)т , е'2 |
= (0 ,1)т |
Из столбцов координат этих векторов |
||||||
построим матрицу |
|
ч ; |
?) |
|
|
|
||
Далее строим векторы |
|
|
|
|||||
_ |
М _ 1 / |
4 -3 » \ / 1 \ |
1 |
/ 4 |
\ |
|||
Л " |
<Ti |
“ |
5 V -3 i |
4 ) \ 0 ) |
~ 5 |
1, -Ъг |
) ’ |
|
h |
Ае2 |
|
1 / |
4 -М \ ( 0 \ _ 1 ( -S i \ |
||||
а2 |
|
5 V -3* |
4 Д 1 ) ~ 5 |
V 4 |
) |
|||
|
|
Число этих ортонормированных векторов равно размерности про странства У2. Поэтому из столбцов их координат построим матрицу
и запишем искомое сингулярное разложение
При конструировании сингулярного разложения матрицы на ЭВМ его обычно получают косвенным путем (см. [18], [37]). Стандартную программу такого метода можно найти в [29], [33], [37].
Возможность получения сингулярного разложения косвенным пу тем позволяет этот процесс, по аналогии с методом вращений (см. п. 9.2.), приспособить к отысканию абсолютных величин собственных значений (диагональных элементов матрицы Е) и соответствующих им собственных векторов (столбцов матрицы Р ) произвольных сим метрических (эрмитовых) матриц, а в случае положительно опреде ленных матриц — к отысканию собственных значений и соответству ющих им собственных векторов. Причем этот итерационный процесс будет быстро сходящимся.
Сингулярное разложение находит самое широкое применение в те ории (см. [34]) и приложениях, при конструировании псевдообратной матрицы (см. п. 6.13 и [36]), при отыскании псевдорешений системы линейных уравнений и их проекций на пространства правых сингу лярных векторов (см. п. 6.14, [5], [36], [37]), при отыскании устойчи вого решения системы линейных уравнений (см. п. 6.18, п. 6.19, [5], [37]), при проведении сингулярного анализа модели выравнивающей функции по методу наименьших квадратов (см. п. 6.19, [18], [37]).
Здесь приведем лишь один |
|
|
Пример 4. Решить систему |
|
|
{ 2xi— х2 |
+ х 3 |
—lj |
- ® i + х2 |
= О, |
|
х2 |
+2яз |
= 1, |
опираясь на применение сингулярного разложения ее матрицы.
Решение. Пользуясь сингулярным разложением матрицы данной
ситемы, полученнным в примере 2, запишем систему в виде
Q ZP'X = 6,
что в подробной записи дает
/ i/V5 |
1/V2 l/Ve \ |
/ з |
о о \ |
-1Д/5 |
0 2/л/ё |
0 |
2 О х |
\ —1/л/З |
1/V5 —1/л/б/ |
\ 0 |
о о / |
|
/ |
1/л/З —1/л/З |
—1/л/З \ |
/ XI \ |
= |
/ 1 \ |
|
||||
|
х |
1/V5 |
О |
|
1Д/2 |
*2 |
|
0 |
|
||
|
V 1 / / 6 |
2 / / ё |
- 1 / / 6 / |
V *3/ |
|
\ 1 / |
|
||||
Введя обозначение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
Z! \ |
|
/ |
1/л/З |
-1/л/З |
-1 //3 |
\ |
/ |
*1 |
\ |
|
Z = |
Z2 = Р*Х = |
\ |
1/V5 |
0 |
1/л/2 |
|
\ |
*2 |
/ |
||
\ |
*з / |
|
1/л/б |
2/л/б |
-1/л/б / |
*3 |
|||||
и умножив систему слева на Q "1 = Q*, получим систему |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
Г 3zx = 0, |
|
|
|
|
|
|
EZ = Q~1b |
|
или |
< 2z2 = 2/л/2, |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
1 0-^3 = 0 |
|
|
|
|
|
Отсюда находим Z = (0, 1/\/2, |
с)т , где с — произвольное постоян |
||||||||||
ное. Из равенства1X1 |
Z = Р*Х найдем |
|
|
|
|
|
X
. ЧII з |
|
1 |
7 |
5 |
( )0 |
|
|
|
/ |
1 |
|
|
|
7 |
5 |
1 |
1 |
> |
Те |
||||
7 |
7 |
|
2 |
||||||||
5 |
0 |
Л |
|
1 7 5 |
2 |
0 1 + с |
|
1 |
|||
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
У |
|
|
V |
т |
/л з/ 2 |
Т |
/ e |
\ / с |
|
|
/ |
V ^7бе / |
||
|
|
|
6.11.Полярное разложение матрицы
Вп. 6.7 и п. 6.8 было отмечено, что любой линейный оператор,
действующий в евклидовом (унитарном) пространстве, разлагается в произведение симметрического (эрмитова) и ортогонального (уни тарного) операторов. Для матриц это означает, что любая квадрат ная действительная (комплексная) матрица разлагается в произведе ние
симметрической (эрмитовой) матрицы и ортогональной (унитарной) матрицы U. Такое разложение матрицы А называют ее полярным разложением. В нем матрица Я всегда единственная и Я = у/АА*] матрица U единственная, если А — невырожденная. В этом случае
U = Н~~1А.
В общем случае за матрицу U можно принять любую из орто гональных (унитарных) матриц, являющуюся решением матричного уравнения (6.45) при уже найденной матрице Я = у/АА* Так для матрицы
матрица
имеет каноническое разложение
50 |
-5 0 |
100 |
-5 0 |
50 |
0 |
Поэтому (см. п.3.8)
Теперь за U следует принять любую из ортогональных (унитарных) матриц, получающуюся из общего решения
матричного уравнения А = HU при найденной выше матрице Я . Такими являются матрицы
Выбор ортогональной (унитарной) матрицы U из общего решения матричного уравнения А = HU при известных А и Я может ока заться затруднительным. Поэтому при конструировании полярного разложения произвольной квадратной матрицы А порядка п лучше придерживаться следующего правила: если А — невырожденная ма
трица, то матрицы Н и U можно найти по формулам
В общем же случае следует выполнить первые три пункта из правила предыдущего параграфа. Затем найти матрицу Н либо по формуле Я = V АА*, либо из соотношений
|
Я Д |
= |
tn fu |
|
|
(6.47) |
|
Hfn |
— |
Vnfn, |
|
|
|
|
|
|
|
|||
а матрицу U — из соотношений |
|
|
|
|
||
|
Не, |
= |
Л, |
|
|
(6.48) |
|
Неп |
= |
/п • |
|
|
|
|
|
|
|
|||
П ример. |
Построить полярное разложение для матрицы |
|||||
|
Для матрицыЧ |
- 1 |
|
|
|
|
Реш ение. |
1 |
|
|
|
) |
|
|
|
- 1 |
|
/ 2 |
14 |
|
|
|
1 |
V 14 |
98 |
|
характеристический многочлен \АТА — ХЕ\ = А(А —100) имеет корни Ai = 100, Аг = 0. Поэтому а, = = 10, <Т2 = 0. При А = 100 система (А* А-----АЕ)Х = 0 имеет фундаментальную систему реше ний, состоящую из одного решения, например, из решения (1,7)т , нормируя которое, получим
|
|
|
е, |
1 |
|
|
|
|
|
= |
(1, |
7)т |
|
|
|
|
|
5л/2 |
||
Аналогично при А = 0 находим |
|
|
||||
Далее строим вектор |
|
егЧ (7'1)Т |
||||
АЕ\ |
|
( |
|
7 ) |
б>/5 ( 7 ) “ л/5 ( 0 |
|
fi = <г1 |
Ю |
1 |
||||
|
и дополняем его до ортонормированного базиса пространства, напри мер, вектором
Теперь найдем матрицу |
|
|
|
) |
|
|
|
- |
( 4 |
|
1 |
|
|
||
либо по формуле Я = V АЛ* , как это сделано выше, либо из системы |
|
||||||
|
Г Я Л |
= |
<71fi, |
|
|
|
|
\ Я /г |
= |
<72f 2, |
|
|
|
||
а матрицу |
|
|
|
|
|
|
|
НО 4) |
|
|
|
||||
из системы |
, тт |
= |
Л, |
|
|
|
|
|
I Uei |
|
|
|
|
||
|
1 Ue2 |
= |
/ 2 |
|
|
|
|
и запишем искомое полярное разложение |
|
|
|
|
|||
— |
|
D |
|
- |
( K 4 |
J |
4 |
В заключение отметим, что наряду с левым полярным разложе |
|
||||||
нием А = HU с Н = V АА* квадратной матрицы А рассматривают |
|
||||||
и правое полярное разложение А = VQ |
с |
Q = у/А*А. Кроме того, |
|
оба эти вида полярных разложений обобщены на случай любых пря моугольных матриц (см. [34]). При этом обнаружена глубокая связь между полярными и сингулярными разложениями (тхп)-м атриц (см. [34]).
6.12.Скелетное разложение матрицы
Представление действительной или комплексной (т х п)-матрицы А ранга г в виде произведения
А = ВС |
(6.49) |
с ( т х г)-матрицей В ранга г и (г х п)-матрицей С ранга г называют скелетным разложением матрицы А. Любая матрица А обладает многими скелетными разложениями.
Правило. Для построения скелетного разложения (6,49) матрицы А ранга г нужно за В принять матрицу, состоящую из каких-либо
1 4 - 1 3 0 7
г линейно независимых столбцов матрицы А или каких-либо г их линейно независимых линейных комбинаций, и элементы c\j, C2j,
crj j -го столбца матрицы С, |
j = 1 ,п, находить из равенства |
||
|
c\jB\ + C2j i ?2 + |
•••+ crjBr = A j, |
(6.50) |
где B\, В2, |
Br — столбцы матрицы В, Aj |
— j -й столбец ма |
|
трицы А. |
|
|
|
При построении скелетного разложения (6.49) матрицы А можно за С принять матрицу, состоящую из каких-либо г линейно незави симых строк матрицы А или каких-либо г их линейно независимых линейных комбинаций, и элементы 6,i, 6,2, ..., Ь*у *-й строки матрицы В , i = 1 , т находить из равенства
ЬцС\ + 6*2^2 + •••+ Ь{ГСГ = А{, |
(6.51) |
где Ci, С2, . • Сг — строки матрицы С, А{ — г-я строка матрицы
А.
Отметим два важных частных случая. Если ранг (т х п)-матрицы А совпадает с числом ее столбцов, то в разложении (6.49) можно по ложить В = А. Тогда С будет единичной матрицей порядка п. Если ранг ( т х п)-матрицы А совпадает с числом строк, то в разложении (6.49) можно положить С — А. Тогда В будет единичной матрицей порядка т.
Это правило следует из того, что по теореме о ранге матрицы все столбцы матрицы А линейно выражаются через столбцы матрицы В, т.е. можно записать равенство (6.50) при j = 1 ,п. Но матричной записью этих равенств служит равенство (6.49). Аналогично можно рассуждать относительно строк матриц А и С и равенств (6.51) и (6.49) .
П ример. Построить скелетное разложение для матрицы
Реш ение. Здесь ранг матрицы А равен двум и первые ее два столбца линейно независимы. Поэтому положим
и будем искать элементы j-го столбца матрицы С, j венства
|
- 1 |
= Aj, |
сц - i ) + . y |
1 |
|
|
1 |
|
1,2,3, из par
(6.50')
где Aj - j -й столбец матрицы А.
При j = 1 Aj = A i = (2 , —1 ,0)т и равенство (6.500 приводит к системе
( |
2сц — С21 |
= |
2, |
|
\ |
—СЦ + С21 |
= |
—1, |
|
( |
С21 |
= |
0 , |
|
из которой находим Си |
= 1, С21 |
= |
0. |
Поэтому первым столбцом |
матрицы С будет столбец (1,0)т |
Аналогично при j = 2,3 соответ |
ственно находим второй и третий столбцы (0 ,1)т , (1,2)т матрицы
С. Следовательно, |
( |
0 |
1 |
) |
|
|
И |
|
|
||||
С = |
1 |
|
|
|
||
0 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
/ |
2 |
-1 |
|
1 |
0 |
1 \ |
А = ВС = I |
- 1 |
1 |
|
|||
|
О |
1 |
2 у |
|||
V |
0 |
1 |
|
|||
|
|
|
|
- скелетное разложение матрицы А.
При конструировании скелетного разложения матрицы с помощью ЭВМ обычно стремятся получить его косвенным образом, используя дЯ-разложение матрицы (см. [3, с. 217]).
6.13.П севдообратная матрица
Матрицу |
размера (п х т) называют п севдообратн ой к ( т х |
||
^-действительной или комплексной матрице А , если |
|
||
|
АА+А = А} |
А+ = UА* = A'V , |
(6.52) |
где U и V — некоторые матрицы. Псевдообратную матрицу можно рассматривать как псевдообратный оператор (см. [4], [7]). Для любой (т х п)-матрицы А псевдообратная матрица А+ существует и един ственная, причем для невырожденной квадратной матрицы А псевдо обратная матрица совпадает с обычной обратной матрицей А -1 .
14*
Если для (ш х п)-матрицы А известно ее скелетное разложение
А = ВС (см. п. 6.12), то псевдообратная матрица |
определяется |
формулой |
|
А+ = С+В+ = СГ{ССт)шт1 {В ^ в у 1В* |
(6.53) |
В частности, при г = п эта формула превращается в формулу |
|
А+ = {А*А)~1А*1 |
(6.53') |
а при г — га — в формулу |
|
А+ =А *(А А т) - г. |
(6.53") |
Если А = RDS, где R и S — ортогональные или унитарные ма трицы, то
А+ = S*D+R* |
(6.54) |
Формула (6.54) особенно удобна, если (га х п)-матрица D имеет вид
( <Т1
0 )
D =
0 Ч
так как для такой матрицы D псевдообратной матрицей является (га х п)-матрица
<71 |
о |
\ |
|
|
|
D+ = |
х |
(6.55) |
|
|
O r
Оо /
В частности, если матрица А |
имеет сингулярное разложение |
А = QEP*, то |
|
<7\ |
° ) |
|
_i_ |
о |
°т |
0 У |