книги / Линейная алгебра

Знак е базиса при столбце координат вектора обычно опускают. Кроме того, часто, если это не вызывает путаницы, вектор ото­ ждествляют со столбцом его координат. Векторы линейного про­ странства Х п в данном базисе полностью определяются своими коор­ динатами. При этом операции над векторами сводятся к соответст­ вующим операциям над их координатами. Так, для векторов

* ( * 1 » * 2 , . . . , * п) 7 И У ( У1 >У 2, -- -, Уп )1

условие х = у равносильно условиям х\ = yi, я2 = 2/2>•••, хп = уп. При сложении (вычитании) векторов складываются (вычитаются)

При умножении вектора х на число а все координаты вектора х умножаются нависло а, т.е.

Два линейных пространства X и X' над полем Р называют изо­ морфными, если между их векторами можно установить взаимно од­ нозначное соответствие, при котором образом суммы двух векторов служит сумма образов этих векторов, а образом произведения векто­ ров на число а служит произведение образа этого вектора на это же число а, т.е. если из того, что

Изоморфные конечномерные линейные пространства имеют оди­ наковую размерность. Обратно, любые два конечномерных линейных пространства над одним и тем же полем и одинаковой размерности изоморфны между собой и изоморфны арифметическому (координат­ ному) пространству той же размерности и над тем же полем. Именно поэтому арифметические пространства имеют особую значимость. Изоморфные пространства по их свойствам одинаковы. На практике обычно пользуются арифметическими (координатными) пространст­ вами.

2.5.П реобразование координат вектор а при переходе о т базиса к базису

Пусть в линейном пространстве Х п заданы базисы

Каждый вектор е'- базиса е', как вектор пространства Х П1 разла­ гается по базису (2.6), т.е. представляется в виде

в которой столбцами служат строки коэффициентов разложений (2.8), называют матрицей перехода о т базиса (2.6) к базису (2.7). Со­ отношения (2.8) устанавливают связь между базисами (2.6) и (2.7). В матричной форме они записываются в виде

где положено е' = (ei, е'2)..., е'п), е = (еь е2, ..., е„). Точно так же получается соотношение

Часто векторы базисов е и е' сами бывают заданы координатами в некотором базисе е° Тогда матрица перехода от базиса е к базису е' находится по формуле

где Т\ - матрица перехода от базиса е° к базису е, т.е. матрица, со­ ставленная из столбцов координат векторов базиса е в базисе е°; Т2

— матрица перехода от базиса е° к базису е', т.е. матрица, соста­ вленная из столбцов координат векторов базиса е' в базисе е°

Приведем примеры на отыскание матриц перехода от базиса к ба­ зису.

в старом базисе. Поэтому сразу можно записать соотношения (2.8), которые в данном случае имеют вид

= 2ei + Зе2, е2 = ei + 2е2.

Следовательно, матрицей перехода от базиса е к базису е' будет ма­ трица

-G О

Отсюда найдем ot\ = а 2 = 1. Поэтому е[ = ei+ e2. Так же получим е2 = 2ei — е2. В данном случае соотношения (2.8) имеют вид

Поэтому матрицей перехода от базиса е к базису е7будет

т=(! -О

Если воспользоваться формулой (2.12), то сразу получим

’■-гг'г, = ( ; у " ( I J ) -

■с-ос 0 -С-.)

матрицы А и на втором и третьем ее столбцах. Поэтому данная си­ стема эквивалентна базисной подсистеме, состоящей из первых двух уравнений. Главными неизвестными в ней можно считать х2 и х3, а свободными неизвестными - х\ и £4. Вместо исходной системы можно решить ее базисную подсистему

Перенеся свободные неизвестные в правые части уравнений, придем к системе

Из общего решения при конкретных значениях свободных неизвест­ ных получаются частные решения. Например, при х\ = 1, £4 = 2 получается частное решение (1,9,7,2)т

Напомним, что система (2.15) называется однородной, если все свободные члены ее уравнений равны нулю. Все отмеченное выше применимо к однородным системам. Кроме того, однородная си­ стема всегда совместная, так как она обладает по крайней мере ну­ левым решением х\ —х2 = £3 = •••= £п = 0.

Для того чтобы система линейных однородных уравнений имела только нулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее матрицы совпадал с числом неизвестных системы. В частности, од­ нородная система п линейных уравнений с п неизвестными, если ее

определитель отличен от нуля, имеет только нулевое решение.

Для того чтобы однородная система имела ненулевые решения, не­ обходимо и достаточно, чтобы ранг ее матрицы был меньше числа неизвестных системы. В частности, однородная система п линей­ ных уравнений с п неизвестными имеет ненулевые решения, когда ее определитель равен нулю. Любая однородная система, в которой чи­ сло уравнений меньше числа неизвестных, имеет ненулевые решения.

Приведем более определенный результат для однородной системы, состоящей из п—1 линейно независимых уравнений с п неизвестными.

Если через Mj обозначить минор (п — 1)-го порядка, получаю­ щийся после вычеркивания из матрицы этой системы j -го столбца,

j = 1 , 2, ... , п, то одним из решений рассматриваемой системы будет система чисел M i, —М2, М3, ..., (—l)n“ 1Mn, а любое другое реше­ ние ему пропорционально. Например, одним из решений системы

а общее решение этой системы имеет вид xi = —32, Х2 = 62, Х3 = —32, где 2 - любое число.

Решения однородной системы обладают следующими свойствами:

1.it Произведение любого решения на любое число также является решением этой системы.

2.Всякая линейная комбинация решений однородной системы явля­ ется решением этой системы.

Из перечисленных свойств вытекает, что решения однородной си­ стемы составляют линейное пространство. Каждое решение одно­ родной системы представляет собой n-мерный вектор-столбец. Ли­ нейное пространство решений однородной системы является (п — г)- мерным пространством (п - число неизвестных системы, г - ранг ее матрицы, п —г - число свободных неизвестных в системе). Любой его базис называют фундаментальной систем ой реш ений (Ф С Р ) однородной си стем ы уравнений.

Каждая фундаментальная система решений состоит из п — г ре­ шений. Если Х\) Х 2, . • Хп- Г - какие-либо решения, составляющие фундаментальную систему решений однородной системы, то ее общее решение X = (x i,..., хп)т представляется в виде

где ci, С2, ..., сп_г - произвольные постоянные.

Для построения фундаментальной системы решений находят об­ щее решение данной однородной системы. Берут любой, отличный от нуля, определитель порядка п — г, т.е. порядка, равного числу свободных неизвестных системы. Элементы i-й строки (столбца) этого определителя принимают соответственно за значения свобод­ ных неизвестных и находят из общего решения значения остальных

(главных) неизвестных. Так поступают для всех строк (столбцов) выбранного определителя. Полученные так п —г решений и дадут фундаментальную систему решений. Свободным неизвестным можно придавать значения из строк (столбцов) выбранного определителя в самой системе и из нее находить соответствующие значения главных неизвестных. Поясним это правило на примере.

Пример 2 . Найти какую-либо фундаментальную систему реше­ ний системы уравнений

Здесь два свободных неизвестных, а именно хз, Х4. Поэтому в каче­ стве определителя, отличного от нуля, можно взять, например, опре­ делитель

10

о1 •

составляющие фундаментальную систему решений данной системы уравнений. Результаты этих вычислений удобно записывать в виде следующей таблицы:

Если взять другой определитель, например

то найдем другую фундаментальную систему решений: