книги / Линейная алгебра

Пример 2 . Применяя процесс ортогоналиэации Грама-Шмидта и нормирование векторов, ортонормировать систему векторов

считая, что скалярное произведение в Ез определено формулой

(я, у) = x iVi + 5a?2j/2 + 6®зУз + 2я1уз + 2а?зу1 + ЗжгУз 4- За?зУ2-

Решение. Положим 6i = ai, 62 = 0161 + 02 и найдем c*i из условия

(6 1 , 62) = ^ 1(6 1 , 61) + (6 1 , 0 2 ) = 0 .

Тогда получим

_ -(61, Q2)

а 1 = —г,— т-г- = 0.

(61,61)

Следовательно, Ь2 = «2 = (0,1,0)т

Далее положим 63 = /?i6i + /^62 + аз и найдем /?i, /?2 из условий

(61, 63) = /?i(6i , 61) + (61, 03) = 0, (62, 63) = ^2(62, 62) + (62, 03) = 0.

Теперь нормируем каждый из векторов &i, 62, £>3:

т

Векторы gi,g2,?3 составляют искомую ортонормированную систему.

Одругом подходе к ортонормированию системы векторов см. ниже

вп. 6.9.

6.3.О ртонорм ированны е базисы

Базис ei, ег, . . еп евклидова пространства Еп называют о р т о ­ гональным, если его векторы попарно ортогональны. Если, кроме того, векторы этого базиса нормированы, то он называется ор то - нормированным. В ортонормированном базисе ei, ег, . . еп вы­ полняются условия

Всякое евклидово пространство Еп обладает ортогональными и ортонормированными базисами.

П ример. В евклидовом пространстве Ез со скалярным произведе­ нием, определенным формулой

(х, у) = хгух + 5x22/2 + 6х3г/з + 2xi2/3 + 2X32/I + Зх22/з + Зх32/2,

построить какой-либо ортонормированный базис.

Реш ение. Для решения задачи следует ортонормировать какуюлибо максимальную линейно независимую в Ез систему векторов, на­ пример, систему векторов

в! = (1,0,0)т , а2 = (0,1,0)т , аз = (0 ,0 ,1)т

Система векторов ai, аг, аз ортонормирована в примере 2 из п. 6.2. В результате получена ортонормированная система векторов gi, дз,

скалярные произведения векторов каждый раз нужно вычислять по заданной в условии формуле.

В любом ортонормрованном базисе е евклидова пространства Е п

\Уп /

Квадратная матрица Q, для которой транспонированная матрица QT совпадает с обратной матрицей Q~l , называется ортогон ал ь ­ ной. Иначе, квадратную матрицу Q называют ортогональной, если выполняются условия QTQ = QQT = Е .

Ортогональная матрица обладает многими замечательными свой­ ствами. Например, квадратная матрица тогда и только тогда явля­ ется ортогональной, когда система ее столбцов (строк) является ортонормированной. Произведение ортогональных матриц является ор­ тогональной матрицей.

Здесь нас интересуют ортогональные матрицы, потому что ма­ трица перехода от ортонормированного базиса евклидова простран­ ства к любому другому ортонормированному базису этого простран­ ства является ортогональной.

6.4.О ртогональное дополнение. О ртогональная проекция вектора на п одп ростран ство

Множество векторов из Е П) ортогональных к каждому век­ тору подпространства L, называют ортогональны м дополнением к подпространству L. Для подпространства L евклидова простран­ ства Е п ортогональное дополнение L L также является подпростран-

ством в Еп, причем Еп является прямой суммой подпространств L и Ll .

П ример 1- В пространстве Е4 со скалярным произведением, опре­ деляемым формулой (6.4) из п.6.1, построить для подпространства L = < a i, 02 >, где а\ = (1 , 1 , 1 , 1)т , a2 = (1 , —1 , 1 , 1 )т , ортогональное дополнение LL .

Реш ение. Векторы а\ и 02 составляют базис в L. Дополним эту систему векторов до базиса в Е+, например, векторами

и положим Li = < 61, Ь2 >. За систему векторов 61, Ь2 можно принять любую ФСР однородной системы уравнений (a i,6) = 0,(a 2, 6) = 0. Очевидно, что L1 = L\.

Пусть L - подпространство евклидова пространства Еп. Если век­

z £ L1 , то вектор х называют ортогональной проекцией вектора у на п р остр ан ство L и обозначают х = пр^у, а вектор z называют

случае для любого вектора у из Еп прь у существует и единственная. Определение ортогональной проекции вектора у на подпростран­ ство L является частным случаем определения проекции вектора на подпространство L параллельно подпространству L2, когда Ь2 = L1

(см. п. 2.7).

Пусть L = < 61, 62, ...,&& >, т.е. подпространство L порождается системой векторов 61, Ь2, ..., 6*. Вектор ж, как вектор из L, предста­

Для отыскания npLj/ = х = а\Ъ\ + ... + 0*6* нужно найти коэф­ фициенты Qfi, с*2, . . а*. С этой целью умножают скалярно равен­ ство (6.14) последовательно на векторы 6i, 62, . . 6 * . Учитывая, что (bi,z) = (62, z) = ... = (6*, z) = 0, получают систему

где В = (61, 62, • • • >Ьк) - матрица, столбцами которой являются столб­ цы координат векторов 61, 62, ...,6 * ; a = (ati, (*2,..., a*)T — fcмерный вектор-столбец.

Если система векторов 61,62,...,6* линейно независимая, то ма­ трица В тВ невырожденная и тогда из (6.17) однозначно определя­ ется

а = (ВтВ )~1 В ту.

Поэтому

Матрицу В (В Т В)~1В Т называют проектором из пространства Еп на подпространство L.

Пример 2. Найти ортогональную проекцию х вектора у = (3,6 ,0)т на подпространство L =< 61,62 > и ортогональную составляющую z вектора г/, если 61 = (1, —1,0)т , 62 = (—1,2 ,1)т

Решение. Запишем х = npLy в виде х = <*i6i + <2262 и умножим скалярно равенство у = a 161 + <2262 + z сначала на вектор 61, затем на вектор 62. Учитывая, что (61, z) = (62, z) = 0, получим систему

Г(6i,y) = ai(6i,6i) + a2(6i,62),

\(62, у ) = o?i(62,61) + <*2(62,62),

т.е. систему

Г—3 = 2c*i — Зс*2,

\9 = —3a i + 6а2.

Отсюда находим сс\ = «2 = 3. Поэтому npLy = 36i + З62 = (0, 3, 3)т и z — у — х — (—1, —1, —2)т Если воспользоваться формулой (6.18), то сразу получаем

х = npLy = В (В ТВ)~1В ту =

Заметим, что если L =< е,^, е,а, . . . , e,*fc >, где е*х, е,-а, . . e,-fc - не­ которые векторы ортонормированного базиса ei, е г ,..., еп простран­ ства Еп, то npLy есть вектор, у которого координаты по базисным векторам efl, ei3, ..., elfc совпадают с соответствующими координа­ тами вектора у в этом базисе пространства Еп, а остальные коор­ динаты нулевые. Так, для вектора у = (1, 2, 3,4, 5)т проекцией на подпространство L =< б1,е2,ез > является вектор х = (1,2, 3, 0,0)т

6.5. Изоморфизм евклидовых пространств

Пусть Е и Е1— евклидовы пространства со скалярным произве­ дениями (х , у )е и (х ' , у ' ) е 1соответственно. Евклидовы пространства Е и Е' называют изоморфными, если между их векторами можно установить взаимно однозначное соответствие, при котором:

(* ',2 / ) е '.

Изоморфные пространства по их свойствам одинаковые. Любые евклидовы пространства над одним и тем же полем и одинаковой размерности п изоморфны между собой и изоморфны евклидову Про­ странству n-мерных векторов-столбцов над тем же полем. В вычи­ слительной практике обычно пользуются евклидовым пространством n-мерных векторов-столбцов.

6.6.Понятие об унитарном пространстве

Пусть дано комплексное линейное пространство Х п. Говорят, что в Х п определена операция скалярного умножения векторов, если любой паре векторов х и у из Х п поставлено в соответствие ком­ плексное число, называемое скалярным произведением векторов х и у и обозначаемое символом (х, у), и если для любых х, у, z из Х п

илюбого комплексного числа а выполняются следующие аксиомы: 1- (х,у) = (у,х),

2. (x + y,z) = (x,z) + (y,z),

3. (ах, у) = а • (х,у),

4. (х,х) > 0 при х ф 0 и (х,х) = 0 при х = 0.

Комплексное n-мерное линейное пространство, в котором опреде­ лена операция скалярного умножения векторов, называют п-мерным унитарным пространством и обозначают через Un.

Из первой, второй и третьей аксиом скалярного произведения сле­ дует

Если в унитарном пространстве Un фиксирован базис е\) ег, еп, то любые векторы х и у имеют в нем разложения

пп

где положено х = (хь х2, .. . , х„)т , у = (yi, у2, • • •, Уп)т ,

Поскольку (е,-, е; ) = (е;-, е,), матрица Грама удовлетворяет условию

Напомним, что звездочка означает транспонирование матрицы с по­ следующей заменой в ней элементов на комплексно сопряженные.

Матрицу А * называют сопряженной к матрице А . Если А = А*, то матрицу А называют эрмитовой. Так, в силу условия (6.23), матрица Грама — эрмитова. Если матрица А действительная, то

А* = А т

В унитарном пространстве, как и в евклидовом, длину вектора определяют формулой

Понятие угла между векторами в унитарном пространстве, как пра­ вило, не вводят. Рассматривают лишь случай ортогональности век­ торов. При этом, как и в евклидовом пространстве, ортогональными считают векторы х и у, удовлетворяющие условию (х, у) = 0.

Процесс ортогонализации системы векторов, понятие ортогональ­ ного и ортонормированного базиса, ортогонального дополнения, ор­ тогональной проекции вектора на подпространство и вообще вся те­ ория евклидова пространства распространяется на унитарное про­ странство без изменения определений и общих схем рассуждений. Од­ нако каждый раз следует быть внимательным при применении ска­ лярного произведения, так как в унитарном пространстве скалярное произведение существенно отличается от скалярного произведения в евклидовом пространстве. В унитарном пространстве в ортонормированном базисе для векторов

x = (xi,xz....... х„)т и у = (у1 ,У2 , --,Уп)Т

формула (6.22) принимает вид

а для скалярного квадрата она превращается в формулу

Эти формулы постоянно применяются при решении задач в унитар­ ном пространстве.

Пример 1. Ортонормировать систему векторов

«1 = (1. *, *)Т. °2 = (*, *, *')Т. °3 = (*> 0. 0 Т.

считая, что векторы заданы координатами в ортонормированном ба­ зисе.

Решение. Сначала проведем процесс ортогонализации данной системы векторов. Положим &i = ai, 62 = ot\b\ + 02 и найдем ot\ из условия