книги / Линейная алгебра
..pdfПримерами ортогональных операторов в Еп являются операторы
простого вращения и простого отражения. В ортонормированном базисе ei, ег, . . еп пространства Еп вращение на угол <рв плоскости векторов е,- и е;- имеет матрицу
/ 1 |
|
\ |
COS <р |
—8\п<р |
г — я |
|
1 |
строка |
|
|
(6.32) |
sin <р |
cos <р |
«7 я |
|
|
строка |
\ |
|
1 / |
называемую матрицей п р о ст о го вращения или матрицей Ги венса.
Матрицы вращений применяются во многих вычислительных про цессах. Особенно часто они применяются при упрощении матриц. Для примера приведем матрицу
/ |
2 |
у/Ь |
у/Ь\ |
А = |
1 |
у/5 |
V5 |
\ ^ 5 |
3 |
2 / |
с помощью вращений к треугольному виду. Сначала получим в ма трице А нуль на месте элемента агь Замечаем, что после умножения матрицы А слева на матрицу
( cos <р |
— sin (р |
0 \ |
sin^ |
cos (р |
О I |
о |
О |
1 / |
элементом матрицы А\ = Т\А в позиции 021 будет 2siny> + cos (р. Из равенства нулю этого элемента находим tgр = — Поэтому
cosр = - |
* - = |
-4=, |
sinр = — |
_ - = |
— L . |
y/l + tg2р |
у/Ь |
yf\ + tg2y> |
у/Ь |
Следовательно,
|
|
|
|
2 |
1 |
О \ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Тб |
Тб |
|
|
|
||
|
|
Т\ |
= |
1 |
2 |
О |
|
|
|
|
|
|
Тб |
-4= |
|
|
|
||||
|
|
|
|
Тб |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
О |
О |
1 / |
|
|
|
|
А! = ТХА = |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
^ & |
71 |
^ |
|
2 |
л/5 |
л/5 |
75 |
з |
з \ |
|
1 |
2 |
|
|
1 |
75 |
75 |
0 |
1 1 |
|
|
"Тб |
Тб |
|
|
75 |
3 |
2 |
V5 |
3 |
2 / |
|
о |
о |
1 |
/ |
|||||||
|
|
|
|
|
|
Возьмем теперь матрицу
( cosy? О
О1
sin у? О
Как в предыдущем случае, из равенства нулю элемента матрицы А.2 = Т2А1 в позиции аз1 , т.е. из равенства \/5siny> + V5cosy> = 0, найдем
tgP = |
-1> |
c° s ^ = - L , |
|
8m „ = |
- i = . |
|
|
|||
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т2 |
( |
V2 |
° |
72 |
\ |
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
\ 7 7 3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
И |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.А2 = Т2А 1 = Т2Т1А = |
|
|
|
|
в |
|
|
|||
1 |
0 |
72 ^ |
/7 5 |
3 |
3\ |
7 !о |
А |
> |
||
75 |
72 |
|||||||||
0 1 0 |
|
1 1 = |
0 1 |
1 |
= д. |
|||||
1 |
0 |
1 |
\ Т05 3 2/ |
|
0 |
0 |
1 |
у |
||
7/2 |
|
7 2 ; |
|
|
|
|
|
7Л |
Матрица Л2 = Д уже является матрицей нужного вида. В против ном случае мы продолжили бы процесс получения нулей с помощью вращений.
О траж ением называют оператор, переводящий каждый вектор пространства Еп в симметричный ему вектор относительно (п — 1)- мерной плоскости. При этом обязательно есть векторы, которые ме няют лишь направление на противоположное. Такие векторы явля ются определяющ ими векторам и данного отражения. Они коллинеарны разности любого вектора и его образа. Если выбрать в Еп ортонормированный базис e j, е^, ..., е® такой, что е\ является одним из определяющих векторов отражения, то матрица отражения в этом базисе (см. п. 3.2) будет иметь вид
Л |
|
\ |
|
|
1 |
|
|
|
- 1 |
к — я строка . |
(6.33) |
|
|
||
|
|
1 |
|
1 /
к — й столбец
Матрицу (6.33) отражения можно представить в виде
2ае1 |
•(ае^)1 |
Н - Е |
(6.34) |
\aeV41 2
где Е - единичная матрица порядка n, с*е\ - один из определяющих векторов отражения.
В произвольном ортонормированном базисе е евклидова простран ства Еп рассматриваемое отражение будет иметь матрицу
я = я - 2| £ . |
<6-35) |
где v - столбец координат определяющего вектора рассматриваемого отражения в базисе е.
Отражение с матрицей (6.35) в иностранной литературе называют также преобразованием Хаусхолдера. Матрица (6.35) является симметрической и ортогональной, т.е. удовлетворяет условиям Н =
ят = я -1.
В вычислительной практике отражения применяют, например, для изменения координат векторов в нужных позициях. Так, чтобы в векторе у = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1)т обратить в нуль 3-ю, 5-ю и 7-ю координаты, замечаем, что образ у7вектора у при отражении должен иметь вид (±2, 1, 0, 1, 0, 1, 0)т ввиду того, что при отражении не изменяются длины векторов. Пусть у1 = (—2, 1, 0, 1, 0, 1, 0)т Тогда определяющим вектором будет вектор v = у —у7= (3, 0,1, 0, 1, О, 1)т
Эти рассуждения равносильны следующим. Положим
г = (1, 0, 1, 0, 1, О, 1)т , z —(1, О, О, О, О, О, 0)т
(ненулевые координаты вектора х - это первая координата вектора у и все те его координаты, которые подлежат изменению) и найдем вектор v = х — х7 = х + \х\•z = (3, 0, 1,0, 1, 0, 1)т
П римечание. За вектор у7можно принять и вектор
г/ = (2, 1, о, 1, о, 1, о)т
Тогда определяющим вектором был бы вектор v = х — х' = х — |х| •z. Обычно определяющий вектор строят по формуле v = х ± |х| •z, в ко торой выбирают знак, ± , совпадающий со знаком первой координаты вектора х .
Теперь по найденному определяющему вектору v составляем маг трицу
Н = Е |
2vvT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ W |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
/ - 3 |
0 |
- 3 |
0 |
- 3 |
0 |
-3 \ |
|||
|
0 |
|
||||||||
|
|
0 |
6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
1 |
1 |
- 3 0 |
5 |
0 |
- 1 |
0 |
- 1 |
|
|
|
0 |
(3 ,0 ,1 ,0 ,1 ,0 ,1 )= - |
0 |
0 |
0 |
6 |
0 |
0 |
0 |
|
|
1 |
0 |
- 3 0 - 1 0 |
5 |
0 |
- 1 |
|
|||
|
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
6 |
0 |
|
|
\ l ) |
\ - 3 0 - 1 |
0 |
- 1 |
0 |
5 |
/ |
и находим вектор у1 = Ну = (—2, 1, 0, 1, 0, 1, 0)т Отражения особенно часто применяют для упрощения матриц, а
именно: при приведении их к треугольному виду, почти треуголь ному виду, к двух- и трехдиагональной форме и т.п. Для примера
приведем матрицу |
|
|
1 |
3 |
3 |
А = 2 |
3 |
0 |
2 |
0 |
3 |
с помощью отражений к треугольному виду.
Чтобы получить нули в первом столбце матрицы А ниже главной
диагонали, отобразим вектор х = (1, 2 ,2)т в вектор х' = |
(—|®|, 0,0)т . |
||||
Для этого положим z = |
(1, О, 0)т , v = х — х1 |
= |
х + 3z = (4, 2, 2)т , |
||
составим матрицу |
|
- 1 |
- 2 |
—2 |
|
Hi = Е — |
2vvT |
1 |
|||
= Е - |
( 4 ,2 ,2 ) = - |
- 2 |
2 |
- 1 |
|
|
|
6 \ |
- 2 |
- 1 |
- 2 |
вложим ее в правый нижний угол единичной матрицы третьего по рядка, т.е. составим матрицу U\ = # 1 (матрица U\ совпадает с ма трицей # i, потому что в качестве вектора х взят весь первый столбец матрицы А) и найдем матрицу
|
г / - 1 |
- 2 |
2 |
\ /1 3 |
3\ |
/ - 3 - 3 |
-3 \ |
|||
Ai = C M |
3 |
= - ( - 2 2 |
- 1 |
2 |
3 |
0 = |
0 |
0 |
- 3 |
|
|
—V2 - 1 |
2 / V 2 |
0 |
3 / |
V 0 |
- 3 |
0 / |
Для того, чтобы в матрице А\ получить нули ниже главной диагонали во втором столбце, отобразим вектор х = (0, —3)т в вектор х' = = (—1®|, 0)т Для этого положим z = (1, 0)т ,
v = x — х' = х + \x\z = (0, - 3 ) т + 3(1, 0)т = (3, - 3 ) т ,
составим матрицу
тт „ 2vvT Hi — Е -----j—ту
1«12
вложим ее в правый нижнии угол единичной матрицы третьего по рядка, т.е. составим матрицу
|
|
|
1/2= |
1 1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
и найдем матрицу |
|
|
V 1 |
1 |
0 |
|
|
|
А2 = U2AI = U2U1A = |
|
|
|
|
|
|||
/ 1 0 0 |
|
- 3 |
- 3 |
- 3 |
- 3 |
- 3 |
-3 \ |
|
= |
0 0 1 |
|
0 |
0 - 3 |
0 - 3 |
0 = R. |
||
\0 1 0 |
|
0 - 3 |
0 |
0 |
0 |
- 3 / |
||
Матрица А2 = U2Ay = UA уже нужного вида, где |
|
|||||||
|
1 0 |
0 \ |
/ -1 |
- 2 |
- 2 |
|
|
|
U = U2Uy |
0 |
0 |
1 | 1 |
(- 2 |
2 |
- 1 |
|
|
|
0 |
1 |
0 / |
. - 2 |
- 1 |
2 |
|
|
— ортогональная матрица.
Если отражение применяется к векторам-строкам, то соотноше ние (6.35) перепишется в виде
Н= Е - 2vTv
М2
Если отражения применяются к строкам матрицы, то ее умно жают на соответствующие матрицы Н справа.
Часто при упрощении матриц приходится применять отражения к ее столбцам и строкам либо одновременно, либо последовательно. Например, при приведении симметрической матрицы
А=
спомощью отражении к трехдиагональному виду нужно получить
нули на месте элементов азх = а\з = 4. Для этого положим
х — (3, |
4)т , z - (1, |
0)т , |
v = х + |
|х| •z = |
х + |
Ьг = |
(8, 4)т |
и построим матрицу |
|
|
|
|
|
|
|
„ _ _ |
2vvT _ f l |
0\ |
1 / 8 \ / 0 |
1 |
( -Ъ |
-4 \ |
|
H l~ E |
\v \2 ~ ( о |
l j |
40 U J |
8’ 4 ~ 5 ( - 4 |
3 ) ’ |
вложим ее в правый нижний угол единичной матрицы третьего по рядка, т.е. составим матрицу
|
1 |
0 |
|
0 |
|
|
Ux = |
0 |
3 |
|
4 |
|
|
5 |
|
5 |
) |
|
||
и найдем матрицу |
0 |
45 |
|
55 ' |
|
|
|
1i |
|
|
|
|
|
1 = IhAU^ |
1 |
25 |
-125 |
|||
|
-125 |
o |
49 |
|||
|
= |
25 V |
|
7 |
Матрица А\ уже нужного вида - трехдиагональная, причем подобна исходной матрице А.
Здесь мы применили одно и то же отражение одновременно к пер вому столбцу и первой строке матрицы А и получили трехдиагональ ную матрицу
Ai = UiAU~l = UiAU[ ,
подобную данной. Так поступают и при приведении произвольной квадратной матрицы А к подобной матрице почти треугольного вида (см.[3], с. 182-184]). В этом случае на г-м шаге получают матрицу А{ = HiAi-iH l“ 1 = HiAi-iHi (г = 1 , 2, ..., fc), подобную матрице AQ = А. Процесс продолжают до получения матрицы нужного вида. Например, чтобы привести матрицу
А=
кподобной матрице почти треугольного вида, сначала получим нули
в позициях аз1 и 041. Для этого возьмем х = (1, 2, 2)т , z = (1, О, 0)т и построим вектор v = х + \x\z = (4, 2, 2)т и матрицу
|
(4,2,2) |
- 2 |
Н1 = Е - r ^ vvT |
- 1 |
|
М 2 |
|
2 |
Вложим матрицу Н\ в правый нижний угол единичной матрицы че твертого порядка. Тогда получим матрицу
1 |
/ |
3 |
0 |
0 |
0 |
|
|
- 1 |
- 2 |
- 2 |
|
|
|||
|
о |
|
|
||||
3 |
|
о |
- 2 |
2 |
- 1 |
|
|
Далее найдем матрицу |
\0 |
- 2 |
- 1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
5 |
- 1 |
- 1 |
|
|
|
|
3 |
|||
|
|
|
|
|
89 |
91 |
|
|
|
|
|
- 3 |
-13 |
||
Ai = UiAUi1 = XhAUi |
|
3 |
3 |
||||
|
|
|
|||||
|
0 |
3 |
23 |
19 |
|||
|
|
|
|
3 |
3 |
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
0 |
4 |
29 |
25 |
|
|
|
|
3 |
3 |
||
|
|
|
|
|
|
Теперь получим нуль в позиции 042- Для этого возьмем х = (3, 4)т , z = (1 , 0)т и построим v = х + \x\z = (8, 4)т и матрицу
Н2 = Е - |
= I |
|ир |
о |
Вложим матрицу Н2 в правый нижний угол единичной матрицы че
твертого порядка. Тогда получим матрицу |
|
|||||
|
/ |
5 |
0 |
0 |
0 |
\ |
[/, = |
- |
0 |
5 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
- 3 |
- 4 |
|
||
2 |
5 |
|
||||
|
Vo |
0 |
- 4 |
3 |
/ |
1 2 - 1 3 0 7
Затем найдем матрицу |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
7 |
7 |
\ |
|
|
3 |
5 |
6 |
|
|
- 3 |
О |
631 |
83 |
|
|
- 3 |
1C |
1C |
||
А2 = |
= U2A1 U2 = |
0 |
15 |
15 |
|
к |
1183 |
269 |
|
||
|
О |
- 50 |
75 |
75 |
|
|
|
О |
" 2? |
Щ ) |
Матрица А2 уже нужного вида - почти треугольная и подобна дан ной.
Если не требуется, чтобы упрощенная матрица была подобной ис ходной, то отражения можно применять последовательно к столбцам и строкам. Для примера приведем матрицу
к двухдиагональной форме. Сначала получим нули в позициях а2\ и аз1. С этой целью возьмем х = (50, 50, 25)т , z = (1 , 0, 0)т Построим вектор v = х — \х\z = (—25, 50 25)т и матрицу
Затем найдем матрицу
1 |
-I |
_9_ |
|
А ,= Н ,А = 0 |
§ |
||
25 |
|||
|
|
Теперь получим нуль в позиции 013. Для этого возьмем векторы х = (— — |)т и z = (1,0)т Построим вектор v = х — \х\z = = (— |» — |)т и матрицу
Вложим матрицу Н2 в правый нижний угол единичной матрицы
третьего порядка. Тогда получим матрицу
и найдем матрицу
Осталось получить нуль в позиции 032. Для этого возьмем х =
=— |)т и так же, как матрицу Vi, построим матрицу
и найдем матрицу
A3 = U2A2 =
Матрица Аз уже нужного вида - двухдиагональная.
Для любого ортогонального оператора ^>, действующего в евкли довом пространстве ЕП) существует в Еп ортонормированный базис, в котором матрица А оператора <р имеет следующий канонический
вид: |
|
/1 |
\ |
|
1 |
в = |
- 1 |
—Sin (fl |
|
|
COS (pi |
|
|
|
sin ipi |
cos <p\ |
|
|
|
cos (pk |
—sin (pk |
|
|
sin pk |
cos (pk / |
12*
Здесь по главной диагонали располагаются действительные собствен ные значения оператора <ри клетки второго порядка вида
( Qj |
Pj\ _ |
( С08 <Pj |
—sin (fij \ |
\ -P j |
aj J |
V8^ ; |
cos <ps ) ’ |
соответствующие парам сопряженных комплексных корней Aj = = otj+ify и Aj = otj — i(3j характеристического многочлена оператора
<Р-
На матричном языке это свойство означает, что любая ортого нальная матрица А приводится некоторой ортогональной матрицей Т к каноническому виду В, т.е. имеет место равенство
Т~1АТ = В.
Пользуясь только что приведенным свойством ортогональных опе раторов, нетрудно показать, что всякий ортогональный оператор может быть представлен как произведение некоторого числа про стых вращений и отражений.
Построение ортогонального базиса в Еп, в котором матрица ор тогонального оператора имеет канонический вид, проиллюстрируем на следующем конкретном примере.
П ример 5. Ортогональный оператор <р в ортонормированном ба зисе е имеет ортогональную матрицу
Построить базис, в котором оператор р имеет матрицу В канониче ского вида и найти матрицу В.
Решение. Характеристический многочлен
|А - ХЕ\ = -А 3 + 2А2 - |
2А + 1 |
1 |
•а/З |
оператора (р имеет корни Ai = 1, Аг.з = ^ ± i %*
При А = 1 система (А - АЕ)Х = 0 имеет ФСР, состоящую из одного решения, например, из решения х = (1, 1, 1)т Нормируя его, получим вектор
х