Занятие 4

УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА.

ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ

МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

Контрольные вопросы для подготовки к занятию

1. Какой газ называется идеальным?

2. Какие физические величины характеризуют идеальный газ? Дайте их определения и единицы измерения.

3. Что называется процессом, изопроцессом?

4. Сформулируйте и запишите уравнения изопроцессов. Начертите диаграммы в координатах рV, VT, рT.

5. Запишите уравнение состояния идеального газа для произвольной массы.

6. Запишите выражение и сформулируйте закон Дальтона.

7. Сформулируйте основные положения молекулярно-кинетической теории.

8. Запишите основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов. Поясните физический смысл величин, входящих в это уравнение.

9. Почему это уравнение называется основным?

10. Дайте молекулярно-кинетическое толкование абсолютной температуры.

11. Запишите выражение для средней квадратичной скорости теплового движения молекул. Поясните его.

12. Запишите выражение для внутренней энергии идеального газа. От чего зависит внутренняя энергия?

Краткие теоретические сведения и основные формулы

Модель идеального газа можно применять и при изучении реальных газов, так как многие газы (азот, водород, гелий, кислород, воздух и др.) в условиях, близких к нормальным, а также при низких давлениях и высоких температурах близки по своим свойствам к идеальному газу. Кроме того, внеся поправки на собственный объем (размеры) молекул и действующие молекулярные силы (потенциальную энергию), можно перейти к теории реальных газов.

Модель идеального газа:

- молекулы газа считаются материальными точками;

- столкновения молекул газа между собой и со стенками сосуда абсолютно упругие;

- потенциальной энергией взаимодействия между молекулами по сравнению с их кинетической энергией пренебрегают.

Состояние заданной массы газа определяется значениями трех его параметров: давления р, объема V и термодинамической температуры Т. Эти параметры закономерно связаны друг с другом, так что изменение одного из них влечет за собой изменение других. Указанная связь может быть задана аналитически в виде функции

f (р, V, T) = 0. (4.1)

Соотношение (4.1), определяющее связь между параметрами, представляет собой уравнение состояния данной массы газа.

Уравнением состояния идеального газа является уравнение Менделеева – Клапейрона:

, (4.2)

где R = 8,31 – молярная (универсальная) газовая постоянная.

Отношение массы вещества к его молярной массе равно числу молей:

. (4.3)

Моль – единица количества вещества, равная такому его количеству, в котором содержится столько же структурных элементов (атомов, молекул, ядер), сколько содержится атомов в 0,012 кг изотопа углерода . Из определения моля следует, что 1 моль различных веществ (газообразных, жидких, твердых) содержит одинаковое число Авогадро N_А = 6,022^.10²³ моль^-1 структурных элементов.

Молярная масса – это масса одного моля вещества:

. (4.4)

Процессы, протекающие при каком-либо постоянном термодинамическом параметре, называются изопроцессами.

Процесс, протекающий при постоянной температуре, называется изотермическим.

Для данной массы (т = const) определенного ( = const) газа произведение , и тогда можно записать в виде

или , (4.5)

что является выражением опытного закона Бойля – Мариотта. Кривая, изображающая зависимость между давлением и объемом при Т = const, называется изотермой (рис. 4.1).

Рис. 4.1

Процесс, происходящий при постоянном внешнем давлении, называется изобарным. Он подчиняется закону Гей-Люссака:

или (4.6)

при m = const,  = const.

На диаграмме в координатах V, T этот процесс изображается прямой, называемой изобарой (рис. 4.2).

Рис.4.2

Рис. 4.2

Процесс, происходящий при постоянном объеме, называется изохорным. Он подчиняется закону Шарля

или (4.7)

при m = const,  = const.

На диаграмме в координатах р, Т он изображается прямой, называемой изохорой (рис. 4.3)

Рис.4.3

Рис. 4.3

Для смеси идеальных газов справедлив закон Дальтона: давление смеси идеальных газов равно сумме парциальных давлений, входящих в нее газов, т.е.

,

где – парциальные давления – давления, которые оказывали бы газы смеси, если бы они одни занимали объем, равный объему смеси при той же температуре.

Для смеси газов с массами молярная масса смеси газов равна

. (4.8)

Согласно определению числа Авогадро, число молекул, содержащихся в  молях, равно

N = N_A ^. . (4.9)

И тогда уравнение (4.2) примет вид ( )

, (4.10)

где – постоянная Больцмана.

Поделив обе части равенства (4.9) на объем V, получим уравнение состояния идеального газа в виде

р = n k T, (4.11)

где – концентрация частиц – число частиц в единице объема. Давление газа прямо пропорционально концентрации молекул и его температуре.

Уравнения (4.2) и (4.11) описывают равновесные состояния идеального газа.

Равновесным состоянием газа называется такое состояние, при котором все его параметры имеют определенные значения, остающиеся при неизменных внешних условиях постоянными сколь угодно долго.

Соотношение между температурой Т, измеренной по термодинамической шкале, и температурой t, измеренной по шкале Цельсия, следующее: Т = t + 273,15 К.

Единица градуса Цельсия равна единице кельвина (1 К = 1 ⁰С).

Одна из основных задач кинетической теории газов заключается в расчете давления идеального газа на основе молекулярно-кинетических представлений.

Формула для определения давления газа

(4.12)

где – число молекул в единице объема (или концентрация молекул), – масса молекулы,  среднее значение квадрата скорости.

Для однородного газа массы всех молекул одинаковы. Поэтому их можно внести под знак среднего. В результате выражение (4.12) примет вид

, (4.13)

где <W_к> – среднее значение кинетической энергии поступательного движения молекулы.

Давление газа пропорционально числу молекул газа в сосуде и среднему значению кинетической энергии поступательного движения молекул. Формулу (4.2) можно переписать иначе:

. (4.14)

Уравнение (4.2) и эквивалентное ему уравнение (4.14) называют основным уравнением молекулярно-кинетической теории идеального газа: произведение давления газа на его объем равно средней кинетической энергии поступательного движения всех молекул газа.

Сравнивая уравнение (4.13) с уравнением состояния идеального газа р = n k T, получаем, что

. (4.15)

Средней квадратичной скоростью называется корень квадратный из среднего квадрата скорости

. (4.16)

Так как , а N_A ^. =  (молярной массе), то

. (4.17)

Наряду с поступательным движением возможны также вращения молекул и колебания атомов, входящих в состав молекулы. Оба эти виды движения связаны с некоторым запасом энергии, определить который позволяет устанавливаемое статистической физикой положение о равномерном распределении энергии по степеням свободы молекулы.

Число степеней свободы i – число независимых координат, полностью определяющих положение тела в пространстве.

. (4.18)