Лекции и индивидуальные задания по высшей математике Часть 1
..pdf6.5. Координаты вектора
→ → →
Три линейно независимых вектора а, b , c образуют базис
→
впространстве, если любой вектор d можно представить в виде
→→ →
,b , c , т.е. существу-
ют такие числа λ1, λ2 и λ3 , что
|
|
|
|
|
|
→ |
=λ1 |
→а+λ2 |
→b + λ3 |
→c . |
(6.5) |
|
|
|
|
|
|
d |
|||||
|
|
|
|
Выражение (6.5) |
|
|
|
|
→ |
по базису |
|
|
|
|
|
называется разложением вектора d |
|||||||
→ |
|
→ |
|
→ |
|
|
|
|
|
→ |
|
а |
, |
b |
, |
c |
, ачисла λ1, λ2, λ3 – координатами вектора d вэтомбазисе. |
Справедливы следующие фундаментальные утверждения: Утверждение 6.3. Любые три некомпланарных вектора обра-
зуют базис в пространстве.
→ |
→ |
|
→ |
|
→ |
Утверждении 6.4. Разложение вектора d |
по базису а |
, |
b |
, |
c |
единственно. |
|
|
|
|
|
Доказательство (методом «от противного»). Предположим,
что наряду с разложением (6.5) справедливо другое разложение
→ |
→ |
|
→ |
→ |
|
|
|
|
|
вектора d по базису а |
, |
b |
, c |
: |
|
|
|
||
|
|
|
→ |
|
=μ1 |
→а+ μ2 |
→b + μ3 |
→c . |
(6.6) |
|
|
|
d |
|
|||||
Вычтем из равенства (6.5) равенство (6.6), получим соотно- |
|||||||||
шение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
→ |
|
→ |
(λ1 – μ1) |
|
а |
+ (λ2 – μ2) |
b + (λ3 – μ3) |
c = 0. |
||||
→ |
→ |
→ |
образуют базис в пространстве, следова- |
||||||
Векторы а, |
b , |
c |
тельно, они линейно независимы. Тогда по определению линейно независимых векторов имеем: λ1 – μ1= 0; λ2 – μ2 = 0; λ3 – μ3 = 0 или λ1 = μ1; λ2 = μ2; λ3 = μ3. Таким образом, единственность разложения
→ |
→ |
|
→ |
|
→ |
вектора d |
по базису а |
, |
b |
, |
c доказана. |
61
Будем рассматривать в пространстве декартову прямоугольную систему координат. Ее образуют три взаимно перпендикулярные оси Ox, Oy, Oz,
имеющие общее начало O и одинаковую масштабную единицу.
Базис в декартовой прямоуголь-
|
|
ной системе принято обозначать |
→ |
→ |
|||||||
|
|
i |
, j , |
||||||||
|
|
→ |
|
→ |
|
|
→ |
|
→ |
|
|
|
|
k |
, при этом i |
↑↑ Ox , | i |
|=1; |
j ↑↑ Oy , |
|||||
|
|
→ |
|
→ |
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
| j |
|=1; |
k ↑↑ Oz , | k |=1 (рис. 11). |
|
|
|||||
В силу |
определения |
базиса |
любой |
вектор |
→ |
может |
быть |
||||
d |
|||||||||||
представлен единственным образом в виде: |
→ |
→ |
|
→ |
→ |
|
|
||||
d |
= x i |
+ y j + z k , где x, |
|||||||||
y, z – числа, |
называемые |
прямоугольными координатами векто- |
→
ра d . Обозначаются прямоугольные координаты вектора следую-
→
щим образом: d ={ x; y; z }.
Геометрический смысл прямоугольных координат вектора раскрывает следующее утверждение.
Утверждение 6.5. Прямоугольные координаты x, y, z векто-
→
ра d есть проекции этого вектора на координатные оси Ox, Oy, Oz
соответственно.
→
Из этого утверждения следует, что вектор d является диагональю прямоугольного параллелепипеда, построенного на векторах
→ |
→ |
→ |
|
|
|
|
x i |
, y j |
, z k . Поскольку квадрат диагонали прямоугольного парал- |
||||
|
|
|
|
|
|
→ |
лелепипеда равен сумме квадратов его сторон, то длина вектора d |
||||||
определяется формулой |
|
|
|
|
||
|
|
→ |
|= x2 |
+ y2 |
+ z2 . |
|
|
|
| d |
(6.7) |
62
Углы, которые образует вектор
→
d с осями координат Ox, Oy, Oz ,
обозначим буквами α, β, γ (рис. 12). Тогда в силу утверждения 6.5:
→ |
→ |
|
|
x = прOx d |
=| d |
| cosα |
, |
→ |
→ |
|
|
y = прOy d |
=| d |
| cosβ, |
(6.8) |
→ |
→ |
|
|
z = прOz d |
=| d |
| cos γ . |
Числа cos α, cos β и cos γ называют направляющими косину-
→
сами вектора d .
Утверждение 6.6. Сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора равна единице: cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1.
Доказательство. Из формул (6.8) имеем:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
||||
|
x |
|
|
|
2 |
α = |
|
|||||||
cos α = |
, |
|
cos |
|
|
|
|
, |
|
|||||
|
|
→ 2 |
|
|||||||||||
→ |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
||
| d | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
||||
|
y |
|
Тогда |
|
|
|
|
|
||||||
cosβ = |
|
, |
cos2 β = |
|
|
|
, |
(6.9) |
||||||
→ |
|
|
→ |
2 |
||||||||||
|
| d | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
cos γ = |
. |
|
|
2 |
|
|
z2 |
|
|
|||||
→ |
|
|
|
|
||||||||||
|
| d | |
|
|
cos |
|
γ = |
→ 2 . |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Складывая равенства (6.9), получим:
cos2 α+ cos2 β+ cos2 γ = 12 (x2 + y2 + z2 ) = 1. d
Последнее равенство имеет место в силу формулы (6.7). Таким образом, утверждение доказано.
63
Значение базисных векторов пространства состоит в том, что они позволяют линейные операции над векторами сводить к линейным операциям над координатами этих векторов.
Например, если
|
|
→ |
= {x1; y1; z1} |
→ |
→ |
→ |
→ |
|
|
|
а |
а |
= x1 i + y1 j + z1 k |
, |
|||
|
→ |
|
→ |
|
→ |
→ |
→ |
|
|
b |
= {x2; y2; z2} b |
= x2 i + y2 j + z2 k , то |
|||||
→ |
|
→ |
→ |
|
→ |
|
→ |
|
а |
+ b |
= (x1+ x2) i + (y1+ y2) j + (z1+ z2) k |
|
→ →
а+ b = {x1+ x2; y1+ y2; z1+ z2},
т.е. при сложении векторов их соответствующие координаты складываются;
→ |
|
→ |
|
|
→ |
|
→ |
|
|
→ |
|
а |
– |
b |
= (x1 |
– x2) |
i |
+ (y1 – y2) |
j |
+ (z1 |
– z2) |
k |
|
→ →
а– b = {x1 – x2; y1 – y2; z1 – z2},
т.е. при вычитании векторов их соответствующие координаты вычитаются;
→
при умножении вектора а на число λ каждая координата вектора умножается на λ:
→ |
→ |
|
→ |
|
→ |
|
|
→ |
|
|
λa |
= λx1 i |
+ λy1 j |
+ |
λz1 k |
|
|
λ а= { λ x1; λ y1; λ z1}. |
|||
Если векторы |
→ |
|
→ |
|
|
|
|
|
||
а и |
b заданы в координатной форме, то век- |
|||||||||
торное равенство |
→ |
→ |
эквивалентно равенству соответствующих |
|||||||
а |
= b |
|||||||||
координат этих векторов, т.е. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
x1 = x2 , |
|||
|
|
|
|
→ |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
= b |
y1 = y2 , |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z = z |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
→→
Если векторы а и b коллинеарны, то их соответствующие координаты пропорциональны и наоборот, так как
64
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ = |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
= λx1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
x2 |
|
y2 |
|
z2 |
|
|||
→ → |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
b = λa |
|
y2 |
= λy1 |
|
λ = |
|
|
|
|
= |
|
= |
|
. |
y1 |
|
x1 |
y1 |
z1 |
||||||||||
|
|
|
= λz1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
z2 |
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. В знаменателях последних равенств могут стоять |
|||||||||||||||||||||
нули, |
поэтому любую пропорцию |
a |
= |
c |
будем понимать в смысле |
|||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||
выполнения равенства |
|
|
b |
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ad = bc . Тогда равенство нулю какой-либо |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
→ |
означает, что соответствующая координата |
||||||||||||||||
координаты вектора а |
||||||||||||||||||||||
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вектора b тоже равна нулю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Например, векторы { − 2; 0; 3 } |
|
и { 4; 0; − 6 } коллинеарны |
|||||||||||||||||||
( λ = −2 ); а векторы { − 2; 0; 5 } и { 5; 0; − 2 } |
не коллинеарны. |
|||||||||||||||||||||
|
Введем для вектора понятие орта (единичного вектора) (рис. 13). |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ортом вектора d |
называется вектор d0 , удовлетворяющий услови- |
|||||||||||||||||||||
→ |
→ |
→ |
|
→ |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ям: d0 |
|| d |
, d0 |
↑↑ d |
, | d0 |
|=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если d ={x; y; z}, |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
z |
|
|
|||
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то d0 |
= |
x |
; |
y |
; |
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
→ |
→ |
|
||||||||||
d0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| d | | d |
| | d |
| |
|||||||
|
|
|
|
Рис. 13 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
→ |
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Из данного определения следует, что векторы i |
, |
|
|
j , |
|
k явля- |
ются ортами декартовой прямоугольной системы координат. При
→ |
|
→ |
|
→ |
|
этом i |
= {1; 0; 0}, |
j |
= {0; 1; 0}, |
k |
={0; 0; 1}. |
Если M – любая точка пространства, то координаты вектора OM , точка приложения которого совпадает с началом коор-
65
динат O , равны координатам конечной его точки |
M и, |
наобо- |
||||||||||||
рот, |
M (x ; y ; z) |
|
|
= {x ; y ; z}. |
Вектор |
|
|
называется |
||||||
OM |
OM |
|
||||||||||||
радиус-вектором точки M . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
z M1 |
|
|
Если |
известны |
координаты |
||||||||
|
M2 |
|
точек М1(x1; |
y1; |
z1) и М2(x2; |
y2; |
z2), |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
то координаты вектора M1M2 опре- |
||||||||||
|
|
|
|
деляются |
следующим |
|
образом: |
|||||||
|
|
|
|
→ |
{x2 − x1; y2 − y1; z2 |
− z1}. Это |
||||||||
|
|
|
|
М1М2 = |
||||||||||
|
|
|
|
следует |
|
из |
соотношения |
M1M 2 |
= |
|||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
y |
= OM 2 − OM 1 , где OM 1 |
|
, OM 2 |
– |
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
радиус-векторы |
точек |
|
M1 |
и |
M2 |
|||||
x |
Рис. 14 |
|
|
(рис. 14). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Пример 6.3. Даны три последовательные вершины паралле- |
|||||||||||||
лограмма: A(1;− 2;3), B(3;2;1), C(6;4;4) . Найти его четвертую вер- |
||||||||||||||
шину D. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Обозначим координаты вершины D через x, y, z, |
|||||||||||||
т.е. D (x, y, z). Поскольку ABCD – параллелограмм, |
то |
→ |
|
→ |
|
|||||||||
BC = AD . |
→→
Находим координаты векторов BC и AD :
→ |
− 3;4 − 2;4 − |
→ |
= {3;2;3} , |
|
|
|
|
|
BC = {6 |
1}, т.е. BC |
AD = (x − 1; y + 2; z − 3). |
||||||
Из |
|
|
→ |
→ |
следует, |
что |
x − 1 = 3, |
|
равенства векторов BC и AD |
||||||||
y + 2 = 2, |
z − 3 = 3 . Отсюдаполучим: x = 4, |
y = 0, z = 6 . Итак, D (4; 0; 6). |
||||||
Пример 6.4. |
Разложить |
вектор |
→ |
по |
векторам |
|||
c = {9;4} |
||||||||
→ |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
a = {1;2} |
и b = {2;− 3} . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
→ |
→ |
→ |
Решение. Требуется представить вектор c в виде c = λ1 a+ |
λ2 b , |
|||||||
где λ1 и λ2 – некоторые числа. Найдем λ1 |
и λ2 из определения равен- |
|||||||
ствавекторов. Имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
66
→ |
→ |
→ → |
→ |
→ → |
→ |
→ |
|
|
c = 9 i + 4 |
j , a |
= i |
+ 2 j , b |
= 2 i − 3 j . |
|
|
||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
→ |
→ |
→ |
→ |
→ |
|
|
|
9 i |
+ 4 j = |
λ1 ( i + 2 j ) + λ2 ( 2 i − 3 j ) , |
|
|
||||
|
→ |
→ |
|
→ |
|
|
→ |
|
т.е. 9 i + 4 |
j = ( |
λ1 + 2λ2 ) i |
+ ( 2λ1 − 3λ2 ) j . |
|
||||
Отсюда следует |
|
|
|
|
|
|||
9 = λ1 + 2λ2 , |
Решая систему, получим λ1 = 5, λ2 |
|||||||
4 = 2λ1 − 3λ2 . |
||||||||
|
|
|
→ |
→ |
→ |
|
|
|
Следовательно, c |
= 5 a+ 2 b . |
|
|
|
||||
Пример 6.5. Дан вектор силы |
→ |
{4;4; |
− 4 2}. |
|||||
F = |
= 2 .
Найти вели-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
чину и направление силы F . |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Величину силы F находим, используя формулу (6.7): |
||||||||||||
|
→ |
|
= |
42 + 42 + (−4 2 ) |
2 |
|
|
|
|
→ |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
F |
|
|
= 8 . Направление вектора F определяется |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
cosα = |
4 |
= 1 ; |
cosβ = 4 |
= 1 ; |
||||
направляющими |
косинусами: |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
2 |
8 |
2 |
cos γ = |
|
−4 2 |
= |
− |
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||
8 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, сила F величины 8 действует в направлении вектора, |
||||||||||||
образующего |
с |
координатными |
осями |
углы |
α = 60°, β = 60°, |
γ = 135°.
67
7. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
7.1. Определение скалярного произведения
→ →
Скалярным произведением векторов а и b называется чис-
ло (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла φ между ними.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ → |
|
→ |
→ |
|
Скалярноепроизведениеобозначаетсясимволом a |
b или a |
b . |
|||||||||||
Согласно определению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
→ → |
|
→ |
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a b |
= |
a |
|
b |
cosφ. |
|
|
|
|
(7.1) |
|
|
→ |
|
|
|
|
→ |
→ |
|
→ |
|
формулу |
||
Учитывая, что | a |
| cosφ = пр→ a и |
| b | cosφ = пр→ b |
, |
||||||||||
(7.1) можно написать в виде: |
|
|
b |
|
|
a |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
→ → |
→ |
|
→ |
|
→ → |
→ |
→ |
|
|
|
|
||
а b |
= | b |
| пр→ a или а b |
= | a |
| пр→ b . |
|
|
|
(7.2) |
|||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
7.2. Алгебраические свойства скалярногопроизведения
Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами:
→ → → →
1)а b = b а (перестановочность сомножителей);
|
→ |
→ → |
→ → |
→ → |
(распределительность |
относительно |
||
2) |
(a |
+ b) c |
= a c |
+ b c |
||||
суммы векторов); |
|
|
|
|
|
|||
|
→ |
→ |
|
→ → |
|
|
|
|
3) |
а (λb ) = λ ( а b ), где λ – число (сочетательность относи- |
|||||||
тельно числового множителя); |
→ → |
→ |
|
|||||
|
|
→ |
|
|
|
→ |
||
4) |
если а |
– |
ненулевой вектор, то a a |
= a 2 >0; |
если а – нуле- |
|||
|
|
→ |
2 = 0. |
|
|
|
|
|
вой вектор, то а |
|
|
|
|
Свойство 1 вытекает непосредственно из формулы (7.1).
68
Для доказательства свойства 2 воспользуемся формулой (7.2) и свойством проекции суммы векторов на ось:
→ |
→ → |
→ |
|
→ |
→ |
→ |
|
→ |
→ |
( а |
+ b ) с |
=| с |
| пр→ (a |
+ b) =| с |
| (пр→ a |
+ пр→ b) = |
|||
|
|
|
|
с |
|
|
|
с |
с |
|
→ |
|
→ |
→ |
→ |
|
→ → |
→ → |
|
|
=| с |
| пр→ a |
+| с | |
пр→ b |
= |
с а |
+ с b . |
сс
Свойство 3 докажите самостоятельно, используя формулу
→
(7.2) и свойство проекции вектора λb на ось.
Доказательство свойства 4 вытекает из очевидного утвержде-
|
|
|
|
→ |
2 вектора |
→ |
ния: скалярный квадрат а |
а равен квадрату длины этого |
|||||
вектора, т.е. |
→ |
2 |
→ |
|2. |
|
|
а |
= | а |
|
|
7.3. Геометрические свойства скалярного произведения
Сформулируем геометрические свойства скалярного произведения в виде двух теорем, доказательство которых предлагается провести самостоятельно.
Теорема 7.1. Необходимым и достаточным условием орто-
гональности векторов |
→ |
→ |
является равенство нулю их скаляр- |
||||||
а |
и b |
||||||||
ного произведения: |
→ |
→ |
|
→ |
→ |
|
|
|
|
а b |
а |
b |
= 0. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
→ → |
|
→ |
попарно ортогональ- |
Замечание. Базисные векторы i , j |
, |
k |
|||||||
→ → |
→ → |
|
→ → |
= 0 . |
|
|
|
||
ны, значит, i j = 0 , |
i |
k = 0 , |
j |
k |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
→ |
Теорема 7.2. Два ненулевых вектора а |
и b составляют ост- |
рый (тупой) угол тогда и только тогда, когда их скалярное произведение положительно (отрицательно):
φ – острый угол |
→ |
→ |
|
а |
b |
> 0; |
|
φ – тупой угол |
→ |
→ |
|
а |
b |
< 0. |
69
Замечание. Из алгебраических свойств скалярного произведения следует, что векторные многочлены скалярно перемножаются по тем же законам, что и алгебраические многочлены.
Например,
→ → |
→ → |
→ → → → → → → → |
|
||||
( а |
+2 b ) ( с |
– d ) = |
а с |
+2 b с – а d |
– 2 b d |
; |
|
|
|
→ |
→ 2 |
→ 2 |
→ → → 2 |
|
|
|
a− 3b = a − 6 a b+ 9 b . |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
7.4. Вычисление скалярного произведения в координатной форме
→→
Теорема 7.3. Если векторы а и b заданы своими координатами
→ |
|
|
|
→ |
|
|
→ |
→ |
|
|
|
|
а |
= {x1; y1; z1}, b = {x2; y2; z2}, |
то а |
b = x1x2 + y1y2 + z1z2. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ → |
|
Доказательство. Запишем разложение векторов а и b по ба- |
|||||||||||
|
→ |
→ |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
зису i , |
j |
, k |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
→ |
|
→ |
→ |
→ |
→ |
→ |
→ |
|
|
|
|
а |
= x1 i |
+ y1 j + z1 k ; |
b |
= x2 i |
+ y2 j |
+ z2 k . |
||
|
Согласно свойствам скалярного произведения получим: |
|||||||||||
|
|
|
→ |
|
→ |
→ |
→ |
→ |
|
→ |
→ |
→ |
|
|
|
а |
b = (x1 i |
+ y1 j |
+ z1 k ) (x2 i |
+ y2 j |
+ z2 k ) = |
||||
|
|
|
|
|
→ → |
|
→ → |
|
→ → |
→ → |
||
|
|
|
= x1x2 ( i i ) + x1y2 ( i j) + x1z2 ( i k ) + y1x2 ( j i ) + |
|||||||||
|
|
|
|
|
→ → |
|
→ → |
|
→ → |
→ → |
+y1y2 ( j j) + y1z2 ( j k ) + z1x2 (k i ) + +z1y2 (k j) +
→→
+z1z2 (k k ) = x1x2 + 0 + 0 + 0 + y1y2 + 0 + 0 + 0 + z1z2,
т.е. |
→ |
→ |
|
|
а b |
= x1x2 + y1y2 + z1z2. |
(7.3) |
||
|
Следствие 7.1. Необходимым и достаточным условием ор- |
|||
тогональности векторов |
→ |
→ |
|
|
а |
= {x1; y1; z1} и b |
= {x2; y2; z2} является |
равенство: x1x2 + y1y2 + z1z2 = 0, т.е.
70