Лекции и индивидуальные задания по высшей математике Часть 1
..pdfПример 1.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
−1 |
3 1 |
|
−2 1 |
1 |
|
10 15 |
−5 |
|
||||
A B = |
0 |
−1 4 |
|
|
3 |
0 |
−2 |
|
= |
11 10 |
10 |
|
, |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
4 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
так как |
|
|
c11 = −5 + 2 + 9 + 4 = 10; |
c12 = 15 −1+ 0 + 1= 15; |
c13 = 0 −1− 6 + 2 = −5; |
c21 = −2 + 0 − 3 + 16 = 11; |
c22 = 6 + 0 + 0 + 4 = 10; |
c23 = 0 + 0 + 2 + 8 = 10. |
Заметим, что матрица A имеет размерность (2 × 4) , матрица B – (4 × 3) , следовательно, матрица A B имеетразмерность (2 × 3) .
Пример 1.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
−3 1 |
3 |
8 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
A B = |
2 |
1 |
5 |
|
|
|
= |
14 |
|
, |
|
|
−4 |
0 |
−2 |
|
|
2 |
|
|
−16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
так как
c11 = 0 + 6 + 2 = 8; c21 = 6 − 2 + 10 = 14;
c31 = −12 + 0 − 4 = −16.
Пример 1.6 |
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
1 |
−4 |
|
|
|
A B = (5 1 0 −3) |
|
= (11 |
−1) , |
||
|
3 |
1 |
|
|
|
|
0 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
так как |
|
|
|
|
|
c11 = 10 + 1+ 0 + 0 = 11; c12 |
= 0 − 4 + 0 + 3 = −1. |
11
Отметим свойства операции умножения матриц:
1)A B ≠ B A ;
2)(A B)C = A(B C) (сочетательный закон);
3) (A + B)C = A C + B C (распределительный закон относи-
тельно суммы матриц);
4) A E = E A = A , где A и E – квадратные матрицы одного порядка.
Продемонстрируем свойство 4) на конкретном примере.
0 |
−3 |
1 |
|
|
|
|
2 |
1 |
5 |
|
; E – единичная матрица 3-го порядка. |
Пусть A = |
|
||||
|
−4 |
0 |
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
−3 1 1 |
0 |
|
0 |
0 −3 |
1 |
||||||||||
Тогда A E = |
|
2 |
|
1 |
|
5 |
|
|
0 |
1 |
|
0 |
|
|
2 1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
, |
||||||||||
|
|
|
−4 |
|
0 −2 |
|
|
0 |
0 |
|
1 |
|
|
−4 0 |
−2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c11 = 0 + 0 + 0 = 0; |
|
c12 = 0 − 3 + 0 = −3; c13 = 0 + 0 + 1 = 1; |
||||||||||||||||
c21 = 2 + 0 + 0 = 2; |
|
c22 = 0 + 1+ 0 = 1; |
|
c23 = 0 + 0 + 5 = 5; |
||||||||||||||
c31 = −4 + 0 + 0 = −4; c32 = 0 + 0 + 0 = 0; c33 = 0 + 0 − 2 = 2. |
||||||||||||||||||
1 |
|
0 |
0 |
0 −3 |
1 |
|
|
0 −3 1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E A = |
0 |
|
1 |
0 |
|
|
2 1 |
|
5 |
|
= |
2 1 5 |
. |
|
||||
|
0 |
|
0 |
1 |
|
|
−4 0 |
|
−2 |
|
|
|
−4 0 −2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, A E = E A = A.
12
2.ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
2.1.Понятие определителя
Рассмотрим квадратную матрицу А n-го порядка:
a11 |
a12 |
... |
a1n |
||
a |
|
a |
... |
a |
|
A = |
21 |
22 |
... |
|
2n . |
... ... |
... |
||||
|
|
an2 |
... |
|
|
an1 |
ann |
Каждая квадратная матрица имеет числовую характеристику, которая называется определителем или детерминантом. Обозначается определитель следующим образом:
|
a11 |
a12 |
... |
|
|
a1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
a21 |
a22 |
... |
|
|
a2n |
= |
|
A |
|
|
= det A = . |
|||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
... ... ... ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
an1 |
an2 |
... |
|
|
ann |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Если n=1 и A = (a11 ), то |
|
|
A |
|
= a11 . |
||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
|
a11 |
a12 |
|
то |
|
A |
|
= a11a22 − a12a21 , т.е. опреде- |
||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
Если n=2 и A = |
|
|
|
, |
|
|
|||||||||||
|
|
a21 |
a22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
литель 2-го порядка равен разности произведений элементов, стоящих на главной диагонали, и элементов, стоящих на побочной диагонали матрицы.
Например, |
3 |
4 |
= 3 |
(−1) − 4 8 = −35 . |
|||
8 |
−1 |
||||||
|
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
|
Если n=3 и |
|
|
a22 |
a23 |
|
, то |
|
A = a21 |
|
||||||
|
|
a |
a |
a |
|
|
|
|
|
31 |
32 |
33 |
|
|
A = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a12 a21a33 − a11a23a32 .
13
Для вычисления определителя 3-го порядка удобно пользоваться правилом треугольников, которое символически можно записать так:
|
|
Например, |
|||
|
2 |
3 |
2 |
|
|
|
|
||||
|
1 |
2 |
−3 |
|
= 2 2 1+ 3 (−3) 3 + 1 4 2 − 2 2 3 − 1 3 1− 2 4 (−3) = . |
|
3 |
4 |
1 |
|
|
= 4 − 27 + 8 − 12 − 3 + 24 = −6
Если n > 3, то правило вычисления определителя является довольно сложным. Однако свойство разложения определителя по элементам какой-либо строки или столбца позволяет вычислить определитель любого порядка.
2.2. Свойства определителей
Сформулируем свойства определителей, присущие определителям всех порядков. Некоторые из этих свойств докажем для определителей 3-го порядка.
Свойство 1. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами с соответствующими номерами, и наоборот, т.е.
a11 |
a12 |
a13 |
|
a11 |
a21 |
a31 |
|
a21 |
a22 |
a23 |
= |
a12 |
a22 |
a32 |
. |
a31 |
a32 |
a33 |
|
a13 |
a23 |
a33 |
|
Такое преобразование определителя (или матрицы) называется транспонированием определителя (или матрицы).
14
Для доказательства этого свойства достаточно расписать каждый из определителей.
Замечание. Свойство 1 устанавливает полную равноправность строк и столбцов определителя в том смысле, что всякое утверждение для столбцов определителя справедливо и для строк, и наоборот.
Свойство 2. При перестановке местами любых двух строк (столбцов) определитель меняет знак, т.е.
a11 |
a12 |
a13 |
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
a21 |
a22 |
a23 |
= − |
a21 |
a22 |
a23 |
. |
a31 |
a32 |
a33 |
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
В приведенном равенстве поменяли местами первую и третью строки.
Свойство 3. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.
Свойство 4. Общий множитель всех элементов какой-либо строки (столбца) можно вынести за знак определителя, т.е.
a11 |
k a12 |
a13 |
|
|
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
|
|
|
||||||||
a21 |
k a22 |
a23 |
|
= k |
|
a21 |
a22 |
a23 |
|
. |
a31 |
k a32 |
a33 |
|
|
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
|
Замечание. Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю (следует из свойства 4 при k=0).
Свойство 5. Определитель с двумя пропорциональными строками (столбцами) равен нулю. Это свойство следует из свойств 3 и 4.
Свойство 6. Если элементы некоторой строки (столбца) определителя представляют собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, первый из которых на месте указанной строки (столбца) имеет первые из упомянутых слагаемых, а другой – вторые; все остальные элементы у трех определителей одинаковые, т.е.
15
a11′ |
+ a11′′ |
a12 |
a13 |
|
|
|
a11′ |
a12 |
a13 |
|
|
|
a11′′ |
a12 |
a13 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
a21′ + a21′′ |
a22 |
a23 |
|
= |
|
a21′ |
a22 |
a23 |
|
+ |
|
a21′′ |
a22 |
a23 |
|
. |
|
a31′ |
+ a31′′ |
a32 |
a33 |
|
|
|
a31′ |
a32 |
a33 |
|
|
|
a31′′ |
a32 |
a33 |
|
|
Для доказательства этого свойства достаточно вычислить каждый определитель и сравнить полученные результаты.
Свойство 7. Определитель не изменится, если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на любое число, т.е.
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
|
a11 |
+ k a12 |
a12 |
a13 |
|
|
|
|
|
|||||||||
a21 |
a22 |
a23 |
|
= |
|
a21 |
+ k a22 |
a22 |
a23 |
|
. |
a31 |
a32 |
a33 |
|
|
|
a31 |
+ k a32 |
a32 |
a33 |
|
|
Доказательство. Используя свойства 5 и 6, получим:
a11 |
+ k a12 |
a12 |
a13 |
|
|
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
|
k a12 |
a12 |
a13 |
|
|
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
a21 |
+ k a22 |
a22 |
a23 |
|
= |
|
a21 |
a22 |
a23 |
|
+ |
|
k a22 |
a22 |
a23 |
|
= |
|
a21 |
a22 |
a23 |
|
. |
a31 |
+ k a32 |
a32 |
a33 |
|
|
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
|
|
k a32 |
a32 |
a33 |
|
|
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
|
Замечание. Строка (столбец), которая умножается на число, остается без изменения.
Для формулировки следующих свойств определителей необходимо ввести понятия минора и алгебраического дополнения элемента определителя.
Минором некоторого элемента aij определителя n-го порядка
называется определитель (n – 1)-го порядка, получаемый из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится этот элемент.
Минор для элемента aij |
обозначается Mij . |
|||||
Например, если = |
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
, то |
|
|
|||||
|
a21 |
a22 |
a23 |
|
||
|
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
|
16
M11 |
= |
a22 |
a23 |
, |
M21 |
= |
a12 |
a13 |
, |
M32 |
= |
a11 |
a13 |
. |
|
|
a32 |
a33 |
|
|
|
a32 |
a33 |
|
|
|
a21 |
a23 |
|
Алгебраическим дополнением элемента aij определителя назы-
вается его минор, взятый со знаком (−1)i+ j .
Алгебраическое дополнение для элемента aij обозначается Аij . Согласно определению
Aij = (−1)i+ j Mij .
Так, в частности, A11 = +M11 , A21 = −M21 , A32 = −M32 . Свойство 8. Определитель равен сумме произведений эле-
ментов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т.е. для определителя
a11 a12 a13
= a21 a22 a23 имеют место равенства:
a31 a32 a33
=a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 – разложение определителя по первой строке;
=a21 A21 + a22 A22 + a23 A23 – разложение определителя по второй строке;
…………………………………………………………………….
=a13 A13 + a23 A23 + a33 A33 – разложение определителя по третьему столбцу.
Докажем последнее равенство:
a13 A13 + a23 |
A23 |
+ a33 A33 = a13 |
|
a |
a |
|
|
|
|
− |
|
a |
a |
|
|
+ |
||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
21 |
|
22 |
|
+ a23 |
|
11 |
12 |
|
|
||||||||
|
a11 |
a12 |
|
|
|
a31 |
a32 |
|
|
|
|
|
a31 |
a32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
+a33 |
|
= a13 (a21a32 − a22a31 ) − a23 |
(a11a32 − a12a31 ) + |
|
||||||||||||||
|
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+a33 (a11a22 − a12a21 ) = a13a21a32 − a13a22a31 − a11a23a32 + |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
+a12a23a31 + a11a22 a33 − a12a21a33 |
= . |
|
|
|
|
|
|
|
17
Замечание 1. Свойство 8 позволяет вычислять определители высших порядков (n > 3), так как если – определитель n-го порядка, то Аij – определитель (n – 1)-го порядка.
Замечание 2. Если все элементы какой-либо строки (столбца), кроме одного, равны нулю, то определитель равен этому элементу, умноженному на его алгебраическое дополнение.
Пример 2.1. Вычислить определитель = |
|
1 |
−2 |
3 |
|
|
|
|
|||||
|
3 |
5 |
−1 |
|
, разло- |
|
|
|
4 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
жив его по элементам второй строки. Решение. Согласно свойству 8 имеем:
= 3 (−1)2+1 |
|
−2 3 |
|
+ 5 (−1)2+2 |
|
1 |
3 |
|
− 1 (−1)2+3 |
|
|
1 |
−2 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
2 |
|
|
|
4 |
2 |
|
|
|
|
4 |
1 |
|
|
= −3 (−4 − 3) + 5 (2 − 12) |
+ (1+ 8) = −20. |
|
|
|
|
|
|
Пример 2.2. Вычислить тот же определитель, используя свойства 7 и 8.
Решение. Согласно свойству 7 преобразуем определитель так, чтобы два элемента в первом столбце определителя стали равны нулю. Для этого к элементам второй строки прибавим соответствующие элементы первой строки, умноженные на (–3), а к элементам третьей строки – соответствующие элементы первой строки, умноженные на (–4):
|
|
1 |
−2 |
3 |
|
|
|
1 |
−2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= |
|
3 |
5 |
−1 |
|
= |
|
0 |
11 |
−10 |
|
. |
|
|
4 |
1 |
2 |
|
|
|
0 |
9 |
−10 |
|
|
Разложивопределительпо элементампервогостолбца, получим:
|
1 |
−2 |
3 |
|
11 |
−10 |
|
11 |
1 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||
|
0 |
11 |
−10 |
= 1 (−1)2 |
= −10 |
= −10 (11− 9) = −20 . |
||||
|
0 |
9 |
−10 |
|
9 |
−10 |
|
9 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18
Пример 2.3. Вычислить определитель 4-го порядка
2 |
−1 |
1 |
0 |
|
|
||||
0 |
1 |
2 |
−1 |
. |
3 |
−1 |
2 |
3 |
|
3 |
1 |
6 |
1 |
|
Решение. С помощью свойства 7 элементы первой строки определителя обратим в ноль, кроме a13 . Для этого к элементам перво-
го столбца прибавим соответствующие элементы третьего столбца, умноженные на (–2), а к элементам второго столбца – соответствующие элементы третьего столбца; а затем согласно свойству 8 разложим определитель по первой строке:
2 |
−1 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
−4 |
3 |
−1 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||
0 |
1 |
2 |
−1 |
|
−4 |
3 |
2 |
−1 |
|
|
|||
= |
= 1 (−1)4 |
−1 1 |
3 |
= |
|||||||||
3 |
−1 |
2 |
3 |
|
−1 |
1 |
2 |
3 |
|
−9 |
7 |
1 |
|
3 |
1 |
6 |
1 |
|
−9 |
7 |
6 |
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
= −4 − 81+ 7 − 9 + 84 + 3 = 0.
Свойство 9. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю.
Так, например, для определителя третьего порядка
a11 A21 + a12 A22 + a13 A23 = 0 .
Действительно,
a11 |
(−1)3 |
a12 |
a13 |
+ a12 |
(−1)4 |
a11 |
a13 |
+ a13 |
(−1)5 |
a11 |
a12 |
= |
|
|
a32 |
a33 |
|
|
a31 |
a33 |
|
|
a31 |
a32 |
|
=−a11 (a12a33 − a13a32 ) + a12 (a11a33 − a13a31 ) − a13 (a11a32 − a12a31 ) =
=−a11a12a33 + a11a13a32 + a12a11a33 − a12a13a31 − a13a11a32 + a13a12a31 = 0.
Свойство 10. Если А, В и С – квадратные матрицы одной размерности и С = А В, то определитель матрицы С равен произведению определителейматриц Аи В, т.е. det C = det A det B .
19
3. НЕВЫРОЖДЕННЫЕ МАТРИЦЫ
3.1. Понятие обратной матрицы
Пусть А, Е – квадратные матрицы n-го порядка.
Матрица В называется правой обратной матрицей к матрице А, если А В= E .
Матрица С называется левой обратной матрицей к матрице А, если C A = E .
Если матрицы В и С существуют, то это квадратные матрицы n-го порядка.
Утверждение 3.1. Если для матрицы A существуют правая и левая обратные матрицы В и С, то они равны.
Доказательство. В силу свойств операции умножения матриц и определений правой и левой обратной матрицы имеем:
C = C E = C(А В) = (C A)B = E B = B .
Замечание. В дальнейшем термины «правая» и «левая» мы будем опускать и будем говорить «обратная матрица» и называть матрицу В обратной к матрице А, если А В= B A = E .
Матрицу, обратную к матрице А, будем обозначать A−1 . Возникает вопрос: в каком случае матрица А имеет обратную
матрицу?
Теорема 3.1 (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы). Для того чтобы квадратная матрица А имела
обратную матрицу A−1 , необходимо и достаточно, чтобы det A ≠ 0 . Доказательство. 1). Необходимость. Пусть для матрицы А су-
ществует A−1 . Докажем, что det A ≠ 0 .
По определению обратной матрицы: A A−1 = E . В силу свойств определителей: det A det A−1 = det E = 1 . Следовательно, det A ≠ 0 .
2). Достаточность. Пусть det A ≠ 0 . Докажем, что для матри-
цы А существует обратная матрица A−1 . Пусть А – матрица n -го порядка
20