Лекции и индивидуальные задания по высшей математике Часть 1
..pdfy
b
−a a
0
x
−b
|
|
|
|
Рис. 35 |
|
Уравнение |
x2 |
− |
y2 |
= 0 называется уравнением вырожденной |
|
a2 |
b2 |
||||
|
|
|
гиперболы. Оно эквивалентно равенствам y = ± b x , значит, гипер- a
бола вырождается в свои асимптоты.
Пример 11.3. Определить полуоси гиперболы 4x2 − 9 y2 = 25
и построить ее.
Решение. Для нахождения полуосей гиперболы приведем данное уравнение к каноническому виду. Разделим уравнение на 25:
|
|
4x2 − 9 y2 |
= 1, т.е. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
25 |
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x2 |
− |
|
|
y2 |
= 1 . |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
4 |
|
25 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда a2 = 25 |
4 |
, b2 |
= 25 |
9 |
. |
Следовательно, a = 5 |
2 |
, |
b = 5 |
3 |
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Чтобы изобразить данную гиперболу, сначала строим основной
111
прямоугольник гиперболы, а затем через вершины (52; 0) и (− 52; 0) проводим ветви гиперболы (рис. 36).
y
|
53 |
|
|
|
− 5 |
2 |
|
5 |
2 |
|
|
|
||
|
0 |
|
|
x |
|
− |
5 |
3 |
|
|
|
|
|
Рис. 36
Пример 11.4. Установить, какая линия определяется уравне-
нием y = −3 x2 + 1 , и изобразить ее. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Решение. Возведем данное уравнение |
|||||||||||
в квадрат: |
y2 |
= 9 |
(x2 + 1) . Тогда |
y2 − 9x2 = 9 |
||||||||
или |
|
y2 |
− |
x2 |
|
= 1. Последнее |
уравнение |
|||||
9 |
|
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
является каноническим уравнением ги- |
||||||||||||
перболы |
с |
|
полуосями |
a = 1 , |
b = 3 |
|||||||
и вершинами в точках (0; 3) |
и (0;− 3) . |
|||||||||||
Поскольку |
из |
|
уравнения |
y = −3 |
x2 + 1 |
|||||||
следует, что |
|
y ≤ 0 , то оно |
определяет |
|||||||||
нижнюю |
ветвь |
указанной |
|
гиперболы |
||||||||
(рис. 37). |
|
|
|
|
|
|
|
|
112
11.3. Парабола
Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых расстояние до фиксированной прямой, называемой директрисой, равно расстоянию до фиксированной точки, называемой фокусом параболы. Пусть точка F – фокус, а прямая d – директриса параболы. Расстояние от точки F до директрисы d назы-
вается параметром параболы и обозначается через p (p > 0). |
|
||||||||||
|
Для вывода канонического |
y |
|
|
|||||||
уравнения |
параболы |
декартову |
d |
|
|
||||||
прямоугольную |
систему |
коор- |
|
|
|
||||||
динат выберем следующим об- |
|
|
|
||||||||
разом: ось |
Оx |
проходит |
через |
|
M (x, y) |
|
|||||
фокус F перпендикулярно ди- |
B |
|
|||||||||
|
|
||||||||||
ректрисе d в направлении от ди- |
|
|
|
||||||||
ректрисы к F, начало координат |
|
F |
|
||||||||
находится |
в |
середине отрезка |
A О |
|
x |
||||||
AF, |
являющегося расстоянием |
|
|
|
|||||||
от фокуса F до директрисы, т.е. |
|
|
|
||||||||
AF = p (рис. 38). Тогда в вы- |
|
|
|
||||||||
бранной системе координат фо- |
|
|
|
||||||||
кус |
параболы |
имеет |
координа- |
Рис. 38 |
|
|
|||||
ты: |
F |
p |
;0 . |
|
Пусть |
M (x, y) – |
|
|
|||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
произвольная точка параболы. Соединим точку M с фокусом F и проведем отрезок MB перпендикулярно директрисе d. По опре-
делению параболы MB = MF. Согласно построению B |
− |
p |
; y |
, |
|
||||
|
2 |
|
|
поэтому последнее равенство в координатной форме запишется следующим образом:
x + |
p |
2 |
= |
x − |
p |
2 |
+ y2 . |
(11.9) |
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
113
Возведем уравнение (11.9) в квадрат:
x |
2 + px + |
p2 |
= x2 − px + |
p2 |
+ y2 , т.е. |
|
|
||||
|
4 |
4 |
|
||
|
|
|
y2 = 2 px. |
(11.10) |
Уравнение (11.10) называется каноническим уравнением параболы.
Исследование канонического уравнения параболы
Рассмотрим каноническое уравнение параболы (11.10).
1) Парабола y2 = 2 px симметрична относительно координатной оси Ох, так как в уравнение (11.10) переменная y входит в четной степени. Ось симметрии Ох называется осью параболы.
2)Поскольку p > 0, то из уравнения (11.10) следует, что x ≥ 0 , т.е. парабола расположена в правой полуплоскости.
3)При x = 0 имеем y = 0 . Следовательно, парабола проходит
черезначало координат. ТочкаО(0; 0) называетсявершинойпараболы. 4) Различные виды уравнений параболы.
Уравнение y2 = −2 px , где p > 0,
также определяет параболу с вершиной в начале координат, ось которой совпадает с осью Ох, но расположенную в левой полуплоскости
(рис. 39).
Уравнения x2 = 2 py и x2 = −2 py
(p > 0) определяют параболы с вершиной в начале координат, ось которых совпадает с координатной
осью Оу, причем парабола x2 = 2 py
расположена в верхней, а парабола x2 = −2 py в нижней полуплоскости (рис. 40).
114
Пример 11.5. Установить, какая линия определяется уравнением x = − −4 y , и построить ее.
Решение. Возведем данное уравнение в квадрат: x2 = −4 y .
Последнее равенство определяет параболу с вершиной в точке О (0; 0), симметричную относительно оси Оу, расположенную в нижней по-
луплоскости. Поскольку из уравнения x = − −4 y следует что x ≤ 0 ,
то уравнение определяет левую ветвь указанной параболы (рис. 41). Замечание. Эллипс и гипербола называются центральными кри-
выми второго порядка, а парабола – нецентральной кривой. Так как у эллипса и гиперболы есть центр, то для этих кривых вводится понятие эксцентриситета – это число, которое обозначается символом ε и вычис-
ляется по формуле ε = ас , где c –
половина расстояния между фокусами эллипса (гиперболы), a – боль-
шая полуось эллипса (действительная полуось гиперболы).
Для эллипса ε < 1 , для окружности ε = 0 , для гиперболы ε > 1 .
115
11.4.Преобразование координат на плоскости
иприведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду
Рассмотрим общее уравнение кривой второго порядка
Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 , |
(11.11) |
где A, B, C, D, E, F – действительные числа, но по крайней мере одно из чисел A, B, C отлично от нуля. Заметим, что коэффициенты при xy , при x и при y обозначены 2B , 2D и 2E не случайно. Это
сделано для того, чтобы формулы, в которые входят эти коэффициенты, не содержали дробных выражений.
Уравнение (11.11) определяет на плоскости xO y эллипс, ги-
перболу или параболу (с возможными случаями распада и вырождения этих кривых). Для определения вида кривой необходимо найти такую декартову прямоугольную систему координат, в которой данная кривая будет иметь каноническое (простейшее) уравнение. Переход от одной системы координат к другой возможен путем параллельного переноса и поворота системы.
Преобразование координат при параллельном переносе осей координат
Пусть на плоскости задана декартова прямоугольная система координат xO y (рис. 42). Путем параллельного переноса осей ко-
ординат получена новая система x′O′y′ , начало координат которой находится в точке O′ . Пусть точка М – произвольная точка плоскости и ( x ; у) – координаты этой точки в старой системе координат xO y , а ( x′ ; у′) – координаты той же точки М в новой системе координат x′O′y′ . Начало координат системы x′O′y′ – точка O′ в старой системе координат xO y имеет координаты (x0 ; y0 ) .
Тогда связь между старыми и новыми координатами точки М определяется формулами:
116
y |
y′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ |
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
0' |
|
x′ |
x′ |
y |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
y0 |
|
|
|
|
x0 |
|
|
|
0 |
x |
|
|
x |
|
|
|
||
|
Рис. 42 |
|
|
|
|
x = x′ + x0 |
, |
|
(11.12) |
|
y = y′ + y0 , |
|
||
|
|
|
что очевидно из рис. 43. Новые координаты выражаются через старые следующим образом:
x′ = x − x0 |
, |
(11.13) |
|
y′ = y − y0 . |
|||
|
Итак, соотношения (11.12), (11.13) являются формулами пре-
образования координат при параллельном переносе системы коорди-
нат, где ( x ; у) – координаты произвольной точки в системе xO y , ( x′ ; у′) – координаты той же точки в системе x′O′y′ , (x0 ; y0 ) – координаты нового начала координат O′ в системе xO y .
Преобразованиекоординатприповоротесистемыкоординат
Пусть на плоскости задана декартова прямоугольная система координат xO y (рис. 43). Выполним поворот осей координат на
угол α (угол α отсчитывается против хода часовой стрелки), в результате чего получим новую систему координат x′O y′ .
117
→ →
Пусть i , j – базисные векторы старой системы координат
→ →
xO y , i′ , j′ – базисные векторы новой системы координат x′O y′ , а точка М – произвольная точка плоскости, имеющая координаты ( x ; у) в старой системе координат xO y и координаты ( x′ ; у′)
в новой системе координат x′O y′ . Заметим, что координаты x и y
→
совпадают с координатами вектора OM в его разложении по базису
→ |
→ |
, |
а координаты |
x′ |
и |
y′ |
совпадают с координатами вектора |
|||||||
i , |
j |
|||||||||||||
→ |
|
|
в его |
разложении |
по |
базису |
→ |
→ |
→ |
→ |
→ |
|||
OM |
|
i′ |
, j′ , |
т.е. OM |
= x i |
+ y j , |
||||||||
→ |
|
|
→ |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
OM |
= x′ i′+ |
y′ j′ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Следовательно, |
x |
→ |
|
→ |
|
→ |
|
→ |
|
|
|
|
|
|
i + y j |
= x′ i′+ y′ |
j′ . |
|
(11.14) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
, получим: |
|
|
|
|
Умножая равенство (11.14) скалярно на вектор i |
|||||||||||
|
|
|
|
→ → |
y |
→ → |
→ → |
→ → |
|
|
||||
|
|
|
|
x i |
i + |
j |
i |
= x′ i′ i + y′ j′ i . |
|
(11.15) |
||||
|
|
|
Вычислим скалярные произведения единичных векторов: |
|||||||||||
|
|
→ → |
→ → |
→ → |
|
|
→ |
→ |
|
|
|
|||
|
|
i |
i = 1, |
i j = 0 , |
i |
i′ |
= cos α, i |
j′ = cos(90° + α) = − sin α. |
Такимобразом, равенство(11.15) приметвид: x = x′cosα− y′sin α.
118
Проведем аналогичные преобразования, умножив равенст-
во (11.14) скалярно |
на |
вектор |
→ |
. Получим: |
→ → |
→ → |
= |
||||||
j |
x i j |
+ y j |
j |
||||||||||
→ → |
+ y′ |
→ → |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= x′ i′ j |
j′ j |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ → |
→ → |
= 1, |
→ → |
= cos |
(90° − α) = sin α, |
→ → |
|
|
|
||||
i j |
= 0 , |
j |
j |
i′ |
j |
j′ j = cos α, |
|
|
следовательно, y = x′ sin α+ y′ cos α.
Таким образом, формулы преобразования координат при по-
вороте системы координат на угол α имеют вид:
x = x′ cos α− y′sin α, |
(11.16) |
|
y = x′ sin α+ y′ cos α, |
||
|
||
где ( x ; у) – координаты произвольной точки в |
системе xO y , |
|
( x′ ; у′) – координаты той же точки в системе x′O y′ , |
α – угол пово- |
рота системы координат xOy вокруг точки O (в направлении против хода часовой стрелки).
Приведение кривой второго порядка к каноническому виду
Приведение кривой второго порядка к каноническому виду рассмотрим на конкретном примере.
Пример 11.6. Пусть дано уравнение кривой:
3x2 + 10xy +3y2 − 2x − 14 y − 13 = 0 . |
(11.17) |
Требуется привести данное уравнение путем параллельного переноса и поворота системы координат к каноническому виду. Построить соответствующие системы координат и данную кривую по ее каноническому уравнению.
Решение. Уравнение (11.17) определяет в декартовой прямоугольной системе координат xOy некоторую кривую L . Известно,
что число δ = |
A |
B |
, которое называется инвариантом уравнения |
|
B |
C |
|
119
второй степени (11.11) не меняется при переходе от одной системы координат к другой. Кроме этого, если δ > 0 , то линия, определяемая уравнением (11.11), является линией эллиптического типа (эллипс, мнимый эллипс, вырожденный эллипс); если δ< 0 , то линией гиперболического типа (гипербола, вырожденная гипербола); если δ = 0 , то линией параболического типа (парабола, пара параллельных прямых).
В нашем примере: A = 3 , B = 5 , C = 3 , δ = |
3 |
5 |
= −16 < 0 |
|
5 |
3 |
|
и, следовательно, L – линия гиперболического типа, т.е. центральная линия. Чтобы найти центр линии L гиперболического типа, совершим параллельный перенос исходной системы координат xOy .
Для этого воспользуемся формулами параллельного переноса:
x = x′ + x0 ,
= ′ + .
y y y0
Подставляяэтиформулывуравнение(11.17) линии L , получим:
3( x′ + x0 )2 + 10( x′ + x0 )( y′ + y0 ) + 3( y′ + y0 )2 − −2( x′ + x0 ) − 14( y′ + y0 ) − 13 = 0
или
3( x′)2 + 10x′y′ + 3( y′)2 + (6x0 + 10 y0 − 2) x′ + (10x0 + 6 y0 − 14) y′ + +3x02 + 10x0 y0 + 3y02 − 2x0 − 14 y0 − 13 = 0.
Координаты нового начала O′ (центра линии L ) найдем из условия, что коэффициенты при x′ и при y′ равны нулю:
6x0 + 10 y0 − 2 = 0,
10x0 + 6 y0 − 14 = 0.
Решая систему, получим x0 = 2, y0 = −1, т.е. O′(2; −1) . Подставив в последнее уравнение линии L вычисленные x0 и y0 , имеем:
120