Лекции и индивидуальные задания по высшей математике Часть 1
..pdfределения следует, что векторы, имеющие разные точки приложения и получающиеся один из другого параллельным переносом, равны.
Векторы, лежащие в одной плоскости или в параллельных плоскостях, называются компланарными.
Замечание. Вектор можно полностью охарактеризовать, указав его длину, расположение в пространстве и направление.
6.2. Линейные операции над векторами
Под линейными операциями над векторами понимают операции сложения и вычитания векторов, а также умножение вектора на число.
I. Сложение векторов
→ |
→ |
→ |
→ |
→ |
, ко- |
Суммой двух векторов а |
и b является вектор с |
= a |
+ b |
торый можно найти по правилу треугольника или по правилу параллелограмма.
Правило треугольника. Ес-
|
|
|
|
|
|
ли начало вектора |
→ |
|
совпадает |
|||||
→ |
→ |
→ |
|
|
b |
|
||||||||
с |
= a |
+ b |
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
→ |
с |
концом вектора |
а, |
|
то |
вектор |
|||
|
|
|
|
|
b |
→ |
→ |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
= a |
+ b |
идет из начала вектора |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
→ |
(рис. 1). |
|||
|
|
→ |
|
|
|
а в конец вектораb |
||||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
Правило параллелограмма. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
→ |
|
|
|
|
|
Рис. 1 |
|
|
Если векторы а |
и b |
приложены |
||||||||
|
|
|
|
|
|
к одной |
точке, |
|
то |
|
вектор |
|||
|
|
|
|
|
|
→ |
→ |
→ |
– диагональ |
параллело- |
||||
|
|
|
|
|
|
с |
= a |
+ b |
||||||
→ |
|
→ |
→ |
→ |
грамма, |
построенного |
на векто- |
|||||||
b |
|
с |
= a |
+ b |
|
→ |
→ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
рах а и b , идущая из общего на- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
чала векторов а и b |
(рис. 2). |
|||||||
|
|
|
→ |
|
|
|
|
Для нахождения суммы не- |
||||||
|
|
|
а |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
→ |
→ |
||
|
|
|
|
|
|
скольких векторов а1 + |
а2 |
+…+ аk |
||||||
|
|
|
Рис. 2 |
( k N ) |
применяется |
правило |
||||||||
|
|
|
|
|
|
многоугольника. |
|
|
|
|
|
51
→ |
|
|
|
|
|
|
Правило многоугольника. |
|||
а2 |
|
|
|
|
→ |
Суммой, |
например, четырех |
|||
|
|
|
|
|
|
|
→ → → → |
|
|
|
|
|
|
|
|
а3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
векторов |
а1, a2 , a3 , a4 называ- |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
→ |
|
|
|
|
→ |
ется вектор d , начало которо- |
||||
а1 |
|
|
|
|
а4 |
го совпадает с началом вектора |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
→ |
→ |
→ |
→ |
→ |
|
→ |
, а конец – с концом вектора |
|||
d |
= а1 |
+ а2 |
+ а3 |
+ а4 |
|
а1 |
||||
|
|
|
|
|
|
→ |
при |
условии, что |
точки |
|
|
Рис. 3 |
|
|
а4 |
||||||
|
|
|
|
|
→ |
→ |
→ |
|||
|
|
|
|
|
|
приложения векторов a2 |
, a3 |
, a4 |
совпадают с концом предыдущего слагаемого вектора (рис. 3). Операциясложениявекторовобладаетследующимисвойствами:
|
→ |
→ |
→ |
→ |
– перемести- |
1) |
а |
+ b |
= b |
+ а |
тельный закон;
|
→ |
→ → |
→ |
→ |
→ |
2) |
(а |
+ b) + с |
= а |
+ (b |
+ с) – соче- |
тательный закон; 3) сумма противоположных век-
→ →
торовравнанулю: а+ (− а) = 0. Замечание.
→→
Разность двух векторов а и b определяется следующим образом:
→ |
→ |
→ |
→ |
а |
– b |
= а |
+(– b ) (рис. 4). |
II. Умножение вектора на число
Пусть λ – некоторое действительное число, отличное от нуля.
|
→ |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Произведением вектора а |
( а ≠ 0) на число λ называется век- |
||||||||||
→ |
→ |
→ |
|
→ |
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
тор b |
= λa, коллинеарный вектору а, имеющий длину |
|
b |
|
= |
λ |
|
|
a |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, если |
|||||||
Направление вектора b совпадает с направлением вектора а |
||||||||||||
λ > 0, |
и противоположно ему, если λ < 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Например, на рис. 5 изображены векторы (рис. 5).
52
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
→ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
=3 а или а |
= |
3 |
b |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
→ |
|
→ |
= − |
1 |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
= −2 c или |
c |
2 |
d . |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
→ |
|
|
→ |
|
|
→ |
– распределительный закон относи- |
|||||||||||
|
1) |
λ ( а+ b ) =λа |
+ |
λb |
|||||||||||||||||||
тельно суммы векторов; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2) (λ+μ) |
→ |
|
→ |
|
→ |
– распределительный закон относительно |
||||||||||||||||
|
а |
= |
λа |
+μа |
|||||||||||||||||||
суммы чисел; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
→ |
= |
λ |
|
→ |
– сочетательный закон. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
3) (λ μ)a |
μa |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 6.1. |
В треугольнике |
АВС дано: |
→ |
|
→ |
|
→ |
→ |
||||||||||||||
|
АВ = а, |
AC |
= b, |
||||||||||||||||||||
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
→ |
|
→ |
|
|
||
AM |
– медиана. Выразить вектор AM через векторы a и b . |
|
|
||||||||||||||||||||
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Через точку М проведем прямые |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Операция умножения вектора на число подчиняется следую- |
||||||||||||||||||||||
щим законам: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
С1М и В1М, |
параллельные сторонам |
|
→ |
B |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
АВ и АС. Получим параллелограмм |
|
B1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
АВ1МС1, |
в |
котором |
|
АМ – |
диагональ. |
|
|
|
|
|
|
M |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
→ |
|
|
→ |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
АМ |
= |
AВ1 + AС1 . Но |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
→ |
|
1 → |
|
→ |
|
1 → |
|
|
|
|
|
|
C1 |
|
|
→ |
|
|
|||||
АВ1 = 2 а, AC1 = 2 b ( B1M и C1M – |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
b |
|
C |
||||||||||||||||
средние линии треугольника, поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
АB1 = В1В , |
|
|
АС1 = С1С ). |
|
Получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
→ |
= |
1 |
→ |
1 |
→ |
|
|
|
→ |
= |
1 |
→ |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
АМ |
2 |
а+ |
2 |
b или АМ |
2 |
(а |
+ b) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Пример 6.2. Какому условию должны удовлетворять ненулевые |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
→ |
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
→ |
|
→ |
|
→ |
|
|
векторы a и b |
, чтобыимеломестосоотношение | а |
+ b |=| а |
− b | ? |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
53 |
|
Решение. |
|
|
→ |
|
В |
|
С |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Построим на векторах a |
|
→ |
|
|
|||||
→ |
выходящих из точки А, |
|
а |
|
|
|||||
и b , |
|
|
|
|
||||||
параллелограмм |
ABCD. |
Тогда |
|
|
|
|
||||
→ |
→ |
→ |
→ |
→ |
→ |
|
А |
→ |
D |
|
АС = a+ b , |
DB = a− b . |
Равен- |
|
|||||||
b |
|
|||||||||
ство |
→ |
→ |
→ |
→ |
означает, |
|
|
|
|
|
| а |
+ b |=| а− b | |
|
|
|
|
|||||
что длины диагоналей параллелограмма равны, т.е. |
→ |
→ |
||||||||
| АС|=| DB | . |
Отсюда следует, что данный параллелограмм – прямоугольник.
→ →
Следовательно, a b .
6.3. Проекция вектора на ось
Осью
странстве.
A ϕ
A1
называется прямая U, имеющая направление в про-
Пусть в пространстве заданаось
B |
|
|
|
|
→ |
|
|
U и некоторый вектор AB . Спроекти- |
|||
C |
|
руем начальную и конечную точки |
|||
|
|
→ |
|
|
|
|
|
вектора |
ось |
U. Обозначим |
|
|
|
AB на |
|||
B1 |
U |
проекции точек |
A и |
B на ось через |
|
|
|
A1 и B1 |
соответственно(рис. 6). |
Рис. 6 |
|
|
|
|
|
→ |
||
|
|
|
|
|
Проекцией вектора АВ на ось |
|||
|
|
|
|
|
|
|
U называется длина направленного |
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
→ |
отрезка АВ1 1 , |
взятая со знаком «+», |
если направление АВ1 1 совпа- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
дает с направлением оси U, и со знаком «–», если направления АВ1 1 |
||||||||
и U противоположны. |
|
|
|
|
→ |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проекция вектора на ось обозначается прU AB . Из опреде- |
||||||||
ления проекции вектора на ось имеем |
||||||||
|
|
|
|
|
, |
если |
|
↑↑ U , |
|
|
A B |
|
A B |
||||
= |
|
1 1 |
|
|
|
1 1 |
|
|
прU AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
− |
A1B1 |
|
, |
если |
A1B1 |
↑↓ U. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
54
Углом φ между вектором и осью называется угол, образо-
ванный двумя лучами, один из которых направлен по вектору, а другой – по оси. Аналогично определяется угол между двумя векторами. Очевидно, 0 ≤ φ≤ π .
Проекция вектора на ось обладает следующими свойствами. Свойство 1. Проекция вектора на ось равна произведению
длины |
вектора на |
|
косинус угла между |
вектором |
и осью: |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прU AB = |
AB |
cos φ. |
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. а) Если угол φ между вектором |
→ |
||||||||
AB и осью |
|||||||||
U является острым (см. рис. 6), то |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
= |
|
= AC = AB cos φ = |
|
|
|
|
|
|
прU AB |
A1B1 |
AB |
cosφ. |
|
В
ϕ
π − ϕ
С А
В1 А1
Рис. 7
В
ϕ
А≡ С
А1 ≡ B1
Рис. 8
б) Если |
|
φ |
– |
тупой |
угол |
|||||
(рис. 7), то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
прU AB = − |
A1B1 |
= − AC |
= |
|||||||
= − AB cos(π− φ) = |
|
|||||||||
= AB cos |
φ = |
|
|
|
cos φ. |
|
||||
|
AB |
|
|
|||||||
U |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
в) Если угол |
φ = |
(рис. 8), |
||||||||
|
||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
то точки A1 и B1 совпадают. |
||||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прU AB = |
|
AB |
cosφ = 0. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следствие. Если вектор образует с осью острый (тупой) угол, то проекция вектора на ось поло-
Uжительна (отрицательна). Если же вектор перпендикулярен оси, то егопроекциянаосьравнанулю.
55
Свойство 2. Проекция суммы векторов на какую-либо ось равна сумме проекций слагаемых векторов на эту ось:
|
|
|
|
|
|
прU (a1 |
+ a2 |
+ ... + ak ) = прU a1 |
+ прU a2 |
+ ... + прU ak . |
Докажите данное свойство для случая k = 2 самостоятельно. Свойство 3. При умножении вектора на число его проекция
умножается на это число, т.е. прU λa = λпрU a, где λ – число. Докажите свойство самостоятельно.
6.4. Линейная зависимость векторов
→ |
|
→ |
|
→ |
|
Линейной комбинацией векторов а1 |
, |
а2 |
, …, |
аn |
( n N ) на- |
зывается выражение вида: |
|
|
|
|
|
λ1 а→1 + λ2 а→2 +…+ λn а→n ,
где λi ( i = 1, n ) – произвольные действительные числа.
→ |
|
→ |
|
→ |
Векторы а1 |
, |
а2 |
, …, |
аn называются линейно зависимыми, если |
существуют такие действительные числа λ1, λ2,…, λn, из которых хотя
|
→ |
|
→ |
|
→ |
бы одно λi ≠ 0, |
что линейная комбинация векторов а1 |
, |
а2 |
, …, |
аn |
с указанными числами обращается в ноль, т.е. имеет место равенство:
|
|
λ1 а→1 + λ2 а→2 +…+ λn а→n = 0. |
(6.1) |
||
→ |
|
→ |
|
→ |
|
Векторы а1 |
, |
а2 |
, …, |
аn называются линейно независимыми, |
если равенство нулю их линейной комбинации возможно только
при λ1 = λ2 = …= λn = 0.
Докажем два утверждения о линейной зависимости векторов.
→ |
→ |
→ |
Утверждение 6.1. Если среди векторов а1 |
, а2 |
, …, аn хотя бы |
один вектор является нулевым, то эти векторы линейно зависимы.
56
→
Доказательство. Пусть для определенности а1 = 0. Составим
→ |
|
→ |
|
→ |
, в которой λ1 ≠ 0, |
линейную комбинацию векторов а1 |
, |
а2 |
, …, |
аn |
λ2= λ3=…=λn = 0. Тогда равенство (6.1) выполняется и при этом
λ1 ≠ 0. |
|
|
→ |
→ |
→ |
|
|
Следовательно, векторы а1 , |
а2 , …, |
аn |
являются линейно |
||||
зависимыми по определению. |
|
→ |
→ |
→ |
|||
|
|
|
|
|
|||
|
Утверждение 6.2. Если среди векторов а1 |
, а2 |
, …, аn векто- |
||||
→ |
→ |
|
→ |
|
|
|
→ |
ры а1 |
, а2 |
, …, |
аn−1 являются линейно зависимыми, |
то векторы а1 , |
|||
→ |
→ |
|
|
|
|
|
|
а2 , …, аn |
тоже линейно зависимы. |
|
|
|
|
||
|
Доказательство. Из определения линейной зависимости век- |
||||||
|
→ |
→ |
→ |
|
|
|
|
торов а1 , |
а2 , …, аn−1 следует выполнение равенства |
|
|||||
|
|
|
λ1 а→1 + λ2 а→2 +…+ λn–1 а→n−1 = 0, |
|
(6.2) |
в котором хотя бы одно из чисел λi ≠ 0 ( i = 1, n − 1). Равенство (6.2)
|
|
|
|
→ |
не нарушится, если к левой его части прибавить слагаемое λn аn , |
||||
|
→ |
→ |
|
→ |
где λn = 0. Тогда для векторов а1 , |
а2 |
, …, |
аn выполняется равенст- |
|
во (6.1) и хотя бы одно из чисел λi |
≠ 0. |
Следовательно, векторы |
||
→ |
→ |
|
|
|
а1 |
,…, аn линейно зависимы по определению. |
|||
|
Замечание. Утверждение 6.2 справедливо, когда линейно за- |
висимыми являются любые k (k < n) векторов.
Сформулируем и докажем необходимое и достаточное условие линейной зависимости двух векторов.
Теорема 6.1. Для того чтобы два вектора были линейно зависимыми, необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарны.
Доказательство.
→ →
1). Необходимость. Пусть векторы а, b линейно зависимы.
→ →
Докажем, что а|| b .
→ →
Из линейной зависимости векторов а и b следует, что существуют такие действительные числа λ1 и λ2, из которых хотя бы
57
одно не равно нулю, что Пусть для определенности
→
выразим вектор а:
→а = − λ2 →b или
λ1
→ →
выполняется равенство λ1 а+λ2 b = 0. λ1 ≠ 0. Тогда из последнего уравнения
→ |
→ |
|
λ2 |
|
|
а |
= k b |
, где число k = − |
. |
||
|
|||||
|
|
|
λ1 |
По определению операции умножения вектора на число делаем
|
|
|
→ |
→ |
|
вывод о коллинеарности векторов а и b . Необходимость доказана. |
|||||
|
|
|
|
→ → |
|
2) Достаточность. Пусть векторы а и b коллинеарны. До- |
|||||
кажем, что эти векторы линейно зависимы. |
|
||||
|
→ |
≠ |
→ |
≠ 0. Иначе линейная зависи- |
|
Предположим, что а |
0 и b |
||||
→ |
→ |
|
|
|
|
мость а и b вытекает из утверждения 6.1. Из коллинеарности век- |
|||||
→ |
→ |
→ |
→ |
где λ – действительное число, |
|
торов а |
и b следует, что |
а |
= λb , |
||
|
|
|
|
|
|
не равное нулю. Запишем последнее равенство в виде 1 а− λb = 0.
→ →
Таким образом, линейная комбинация векторов а и b равна нулю, при этом оба коэффициента при векторах отличны от нуля. Следо-
→ →
вательно, векторы а и b линейно зависимы по определению. Достаточность доказана.
→ →
Следствие 6.1. Если векторы а и b не коллинеарны, то они линейно независимы.
Докажем необходимое и достаточное условие линейной зависимости трех векторов.
Теорема 6.2. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости 3 векторов является их компланарность.
Доказательство.
→ → →
1) Необходимость. Пусть векторы а, b , c линейно зависимы. Докажем, что эти векторы компланарны.
→ → →
Если векторы а, b , c линейно зависимы, то по определению линейной зависимости существуют числа λ1, λ2, λ3, из которых хотя бы одно не равно нулю, что выполняется равенство
58
|
|
|
|
|
→ |
|
→ |
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ1 а |
+λ2 b + λ3 c = 0. |
|
|
|
|
|
(6.3) |
||||
Пусть для определенности λ3 ≠ 0. Тогда из уравнения (6.3) |
||||||||||||||||
получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
λ1 |
→ |
λ2 → |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с = − |
|
а− |
|
b |
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
λ3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
→ |
→ |
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с = k1 a |
+ k2 b |
, |
|
|
|
|
|
(6.4) |
|||
где k1 = − |
λ1 |
, k2 |
= − |
λ2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
λ3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если векторы а и b |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
не коллинеарны (рис. 9), то |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
из равенства |
(6.4) следует, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
– это диагональ |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что вектор c |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
параллелограмма, |
построен- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ного на векторах k1 a и k2 b , |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
приведенных к общему нача- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
→ |
→ |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
лу. Следовательно, векторы а, |
b , |
c лежат в плоскости одного па- |
||||||||||||||
раллелограмма, что означает компланарнарность этих векторов. |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
→ |
→ |
коллинеарны, то из равенства (6.4) |
|||||||||
Если же векторы а и |
b |
|||||||||||||||
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
следует, что вектор c коллинеарен этим векторам. Следовательно, |
||||||||||||||||
→ |
→ |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
векторы а, |
b , |
c компланарны. Необходимость доказана. |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
→ |
→ |
|
|
||
2) Достаточность. Пусть векторы а, |
b |
, |
c |
компланарны. |
||||||||||||
Докажем, что эти векторы линейно зависимы. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
→ |
|
→ |
|
|
|
Если хотя бы один из тройки векторов а, |
b |
, |
c является ну- |
|||||||||||||
левым, то векторы линейно зависимы в силу утверждения 6.1. |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
→ |
|
→ |
|
|
|
Если хотя бы одна пара векторов из а, |
b |
, |
c линейно зави- |
|||||||||||||
сима, т.е. два вектора коллинеарны, то векторы |
→ |
→ |
→ |
|
||||||||||||
а |
, |
b , |
c линейно |
зависимы в силу утверждения 6.2.
59
|
|
Рассмотрим случай, |
|
|
→ |
≠ |
|
→ |
→ |
|
|
|
|
→ |
|||
|
|
когда а |
0 , |
b |
≠ 0 , c |
≠ 0 и векторы а, |
|||||||||||
→ |
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
→ |
→ |
|
b |
, |
c попарно не коллинеарны. Приведем векторы а |
, |
b , |
c к об- |
||||||||||||
щему началу О (рис. 10). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
Через конец вектора b про- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
ведем прямые, параллельные век- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
торам а |
и c . Точку пересечения |
||||||||
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
прямой, параллельной вектору а, |
||||||||||
|
|
→ |
|
b |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
с прямой, на которой лежит век- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тор |
, |
обозначим |
буквой |
C , |
|||||
О |
|
|
|
|
|
|
c |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
а точку пересечения прямой, па- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
раллельной вектору |
→ |
, с прямой, |
|||||||
|
|
|
А |
→ |
|
|
c |
||||||||||
|
|
|
|
|
на которой лежит вектор |
→ |
обо- |
||||||||||
|
|
|
|
a |
|
|
а, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
значим буквой A. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Рис. 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
По построению ОА||а, |
ОС ||с, |
значит, ОА |
= λ1 а, |
ОС = |
λ2 с, |
||||||||||
где λ1 ,λ2 |
– некоторые, не равные нулю, числа. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Тогда по правилу параллелограмма сложения векторов получим: |
|||||||||||||||
→ |
|
→ |
→ |
→ |
→ |
|
→ |
. Таким образом, составлена линей- |
|||||||||
b |
= ОА+ ОС или b |
= λ1 а |
+ |
λ2 c |
|||||||||||||
ная комбинация векторов |
→ |
→ |
→ |
с ненулевыми коэффициентами, |
|||||||||||||
а |
, b , |
c |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
которая равна нулю: |
1 b − |
λ1 a − λ2 c |
= 0. Следовательно, |
векторы а, |
|||||||||||||
→ |
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
, |
c линейно зависимы по определению. Достаточность доказана. |
|||||||||||||||
|
|
Следствие 6.2. Если векторы |
→ |
→ |
→ |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
а, |
b |
, c не компланарны, то |
они линейно независимы.
60