5652

Будем исследовать процесс производства одного вида продукции с целью максимизации прибыли от его реализации. Перепроизводство приводит к очевидным убыткам, так как резко начинают увеличиваться переменные затраты.

Рассмотрим процесс производства продукции в дискретные моменты времени t = 0,1,...,T, где Т – плановый период. Спрос на продукцию в эти моменты времени определяется, по предположению, заданной функцией

Qd t 5,2338t 72,07 .

При эффективном планировании производства предложение должно стремиться полностью удовлетворить спрос: Qs Qd , поэтому необходимо, чтобы на каждом этапе t спрос был полностью удовлетворён, причём это может достигаться необязательно через выпуск продукции, равный спросу на каждом этапе t, но и через накапливаемый остаток нереализованной продукции, выпущенной в предыдущие периоды. Поэтому важным моментом в решении задачи будет не равенство выпуска спросу в каждом месяце, а равенство суммарного годового спроса и суммарного годового выпуска продукции. Функция переменных затрат VC(Qs) на единицу продукции зависит от объёма выпуска и имеет зависимость второй степени VC(Qs) 0,107Q 26,846. Оптовая цена единицы продукции Р составляет 55 руб. и остаётся постоянной в течение всего планируемого периода. Постоянные затраты на выпуск этого вида продукции FC составляют 50 тысяч руб. в месяц. Известно, что налог на прибыль τ составляет 24%. С учётом всего этого можно определить функцию прибыли после налоговых отчислений так:

f2 f1 ( (Qs)) (1 ) , f1 ( (Qs)) FC P VC QsQs t FC .

Для производителя продукции наиболее предпочтительным является

(u(t)<0) функция прибыли изменяется на определённую величину, которую можно определить следующим образом:

(P Vc(Qs u)) (Qs u) (P Vc(Qs)) Qs .

21

В этом случае величина изменения прибыли будет иметь следующий функциональный вид:

Задача планирования выпуска продукции в общем виде формулируется в данном случае следующим образом: найти функцию объёма производства продукции Qs(t), t=1,2,...,T и динамику необходимого изменения этого объёма, выражаемую функцией u(t), t=1,2,...,T-1, чтобы свести к максимуму суммарную прибыль от реализации данной продукции в течение планового периода Т. Математическая модель задачи в нашем случае примет вид:

Уравнение процесса записывается в канонической форме:

В соответствии с общей постановкой задачи для многошаговых процессов соотношение (2.4) определяет в качестве состояния системы Qs(t), в качестве управления используется u(t). Кроме того, Qs(t)≥0 – объём выпуска продукции не может быть отрицательным. Однако, для того чтобы решать задачу (2.1) – (2.5) методом Лагранжа, необходимо освободиться от ограничения на состояние Qs(t).

Имея в виду такую возможность ликвидации отдельных ограничений с включением в функционал «штрафа» за их нарушение, тем не менее функционал (2.1) предпочтительнее оставить без изменения. Наложение таких строгих ограничений на объём выпуска может привести к невозможности решения данной задачи методом Лагранжа, поэтому вместо явного учёта ограничений Qs(t)≥0 проще воспользоваться численным методом прямой прогонки при решении краевой задачи. При этом при каждой итерации бу-

22

дет учитываться только обобщённое ограничение о неотрицательности объёма выпуска, если окажется, что Qs(t)<0 при первом же t, будут прекращаться вычисления и переходить к новой итерации. Таким образом, можно ограничиться более простой постановкой задачи в отличие от использования метода «штрафных функций», а неучтённые ограничения на состояние Qs(t)≥0 будут учитываться непосредственно в процессе вычислений. Также для удобства решения поставленной задачи не будут учитываться налоговые отчисления и постоянные затраты, так как величина налоговой ставки и постоянных затрат постоянны, исключение их из функционала не изменит найденный в процессе решения задачи оптимальный план управления. Просто на конечном этапе при представлении найденного решения прибыль будет указываться с учётом постоянных затрат и налоговых отчислений.

Решение задачи

Итак, известно, что планируемый расчётный период исчисляется 12 месяцами Т=12, спрос на каждом расчётном периоде вычисляется по формуле Qd(t)=72,07+5,2338*t. Исходные данные отражены в таблице 2.2.

Таблица 2.2 – Данные по спросу продукции на каждом этапе планирования

Таким образом, необходимо решить задачу:

при 106,74 ≤Qs12 ≤ 165,48.

В результате решения поставленной задачи Qs*(12) =106,74 (тыс.бут.). В

этом случае по формуле (3.2.18) можно получить y(12)= 3,69.

t=11. Теперь, подставляя значение y(t+1)= 3,69, Qs(12)=106,74 и представляя u как разность Qs(t+1)-Qs(t), неизвестным в этом неравенстве остаётся только Qs(t). Таким об-

разом, на этапе t=11 решается система неравенств:

Решение данного неравенства даёт результат Qs(11)= 106,74 и u =0, при том, что правая часть данного неравенства равна левой. По имеющимся ре-

зультатам можно определить y(11):

На следующем шаге в формулу вместо значения y(t+1), подставляя зна-

чение y(11), решается новая система неравенств

t=10. Проделав аналогичную шагу 11 операцию, получим объём выпус-

ка (Qs(10)) в данной период равный 102,985 тыс.бут., а u=3,755, и можно получить y(10), равный:

Теперь имеются необходимые данные для решения системы неравенств

на следующем этапе t=9.

t=9

Qs(9)=100,824 тыс.бут. u = 2,161

y(8) = -3,472

Проделывая аналогичные операции на последующих этапах можно получить следующие результаты:

Суммарный годовой объём выпуска по приближенно оптимальному плану равен 1 170,026 тыс. бут., однако он не полностью удовлетворяет годовой спрос. Необходимо провести ещё пару итераций, чтобы попытаться повысить годовой объём выпуска.

Итерация 2. На данной итерации можно попробовать принять значение выпуска в период t = 12 равному верхнему значению доверительного интервала для данного периода, то есть 165,48 тыс. бут., тогда результат решения примет другой вид. Суммарный годовой объём выпуска равен 1

25

232,03 тыс. бут., но при таком решении на шаге t = 12 значение выпуска взято очень большое, что может привести к недополучению прибыли.

Итерация 3. На данной итерации можно попробовать принять значение выпуска в период t = 12 равному среднему значению доверительного интервала для данного периода, то есть 136,111 тыс. бут.

Итерация 4. Таким образом, принимая различные значения объёма выпуска на шаге t = 12, можно получить различные варианты планов выпуска продукции подозрительных на оптимум. Однако для этого необходимо проделать большое число трудоёмких итераций, которые выполняются вручную. Ниже представлен ещё один вариант плана, подозрительного на оптимум.

Таблица 2.3 – Результат решения четвёртой итерации

Для того чтобы определить, какой из полученных приближённо оптимальных планов является наилучшим, необходимо сравнить суммарную годовую прибыль, получаемую по каждому из этих планов (таблица 2.4).

Таблица 2.4 – Суммарная годовая прибыль

Из таблицы 2.4 видно, что по плану, полученному на 4-й итерации, достигается максимум прибыли. Таким образом, полученные результаты

26

Рисунок 2.6 – Функции выпуска продукции и спроса на неё

При динамическом программировании спланированная прибыль от реализации всей произведённой продукции значительно выше, чем при планировании главным экономистом на ООО «КЛВЗ». Причём разница составляет около 260 тыс. руб., что немаловажно при стремлении к максимизации прибыли. Метод Лагранжа в данном случае позволил учесть субъективный фактор при планировании выпуска на год вперёд.

Глава 3 Планирование расширения предприятия физкультурно-оздоровительного профиля

Целью исследования является изучение возможности расширения физ- культурно-оздоровительного бизнеса, основываясь на применении математических методов в данной сфере услуг. Для достижения поставленной цели необходимо рассмотреть особенности рынка услуг и модель маркетинга данной сферы; изучить методы оценки конкурентов и провести анализ

27

рынка физкультурно-оздоровительных услуг города Хабаровска; применить математическое моделирование в маркетинговой деятельности фирмы, а именно определить размер рекламного бюджета и распределить его с максимальной эффективностью; изучить перспективы и возможности открытия нового центра; определить рентабельность открытия нового центра.

Объектом исследования был выбран рынок физкультурнооздоровительных услуг, а также как его часть – центр шри шри йоги.

Для анализа качества услуг центра шри шри йоги было проведено маркетинговое исследование в апреле 2008 г. Полученная информация была обработана при помощи статистических методов.

14%

Ж до 18

Ж 18-29

Ж 30-45

Ж более 45

М до 18

42% М 18-29

М 30-45

М более 45

33%

Рисунок 3.1 – Половозрастная структура клиентов центра шри шри йоги

Половозрастная структура клиентов центра шри шри йоги представлена на рисунке 3.1. Большинство клиентов центра йоги – женщины. Это связано с тем, что женщины больше следят за своей физической формой, а также проявляют интерес к восточным культурам, в частности к йоге.

Квалификацию инструкторов клиенты центра оценивали по пятибалльной шкале. Средний бал квалификации составляет 4,8. Если оценивать степень удовлетворённости услугой центра, то основная часть клиентов всем довольна (70%), а остальным хотелось бы заниматься йогой в более комфортном зале, который предполагает наличие зеркал и кондиционера.

В сфере физкультурно-оздоровительных услуг в полную силу действу-

ют законы рынка, и успех деятельности каждого конкретного предприятия

во многом зависит от правильной постановки маркетингового менеджмен-

та, в частности от рекламной политики. Реклама призвана привлечь допол-

28

нительный контингент потенциальных клиентов и сформировать имидж о компании. Разработку рекламной политики можно разделить на несколько этапов. На первом этапе необходимо определить размер рекламного бюджета.

При помощи ППП STATGRAPHICS был проведён анализ динамики вложений в рекламную деятельность. Зависимость количества новых клиентов от размеров вложений в рекламу описывается уравнением, выведенным на основе статистических данных: Y (R) 11,08 0,32R . Цена на месячный абонемент центра йоги составляет 1 250 руб., а фиксированные затраты на одного клиента – 720 рублей. Таким образом, функция спроса данного физкультурно-оздоровительного предприятия будет иметь вид: П(R) 169,6 XR 0,5 5872,4 X R , при условии 10% рекламного бюджета от дохода:

R 125X 0 .

Функция Лагранжа в этом случае будет иметь вид:

L( X , R) 169,6 XR 0,5 5872,4 X R (R 125X ) .

В результате получается стационарная точка P(400, 55 552). Максимальная прибыль будет равна 211 136,59 руб., размер рекламного бюджета – 10% от дохода – 55 552 рублей. Количество клиентов центра будет составлять 400 человек.

Рассчитанный рекламный бюджет необходимо распределить между различными видами рекламы: СМИ и наружная реклама. Эффективность от рекламной политики должна быть максимальной. Для решения задачи распределения рекламного бюджета (задача линейного программирования) используется ППП EXCEL.

Были собраны данные о затратах на каждый вид рекламы и количество купленных абонементов благодаря размещению рекламы (таблица 3.1).

Таблица 3.1 – Реакция потребителей и цена на рекламу

29

Так как основные потребители данных услуг женщины в возрасте от 18 до 45 лет, то были выбраны соответствующие радио и ТВ. Газете «Амурский меридиан» отдано предпочтение в связи с большим тиражом.

Была выбрана произвольным образом шкала от 0 до 100 для оценки каждого вида рекламы. В частности, первые 10 рекламных объявлений на радио оцениваются в 60 единиц, а все последующие — в 40.

Для простоты предполагается, что во всех трёх случаях эффективность рекламного объявления изменяется на десятом объявлении. Однако эффективность объявлений в разных СМИ различна, соответствующие данные приведены в таблице 3.2.

Таблица 3.2 – Эффективность разных видов рекламы

Руководство центра шри шри йоги хочет, чтобы рекламная кампания проводилась в соответствии с определёнными критериями: 1) в каждом СМИ должно быть размещено не менее 7 рекламных объявлений; 2) баннер 3х6 должен размещаться не менее 30 дней; 3) центр йоги способен продать 400 абонементов, но должен продать не менее 300; 4) не менее общей четверти рекламных объявления должно выйти на вечернем ТВ. Чтобы формализовать модель в виде задачи ЛП, введём следующие обозначения:

x1 – число объявлений на дневном радио, если оно не превышает 10; y1 – число объявлений на дневном радио, превышающее 10;

x2 – число объявлений на вечернем ТВ, если оно не превышает 10; y2 – число объявлений на вечернем ТВ, превышающее 10;

x3 – число объявлений в газете, если оно не превышает 10;

y3 – число объявлений в ежедневной газете, превышающее 10;

30