5652

множества. Равенство множеств. Собственное подмножество. Объедине-

ние и пересечение множеств. Разность множеств и дополнение. Свойства операций над множествами. Прямое (декартово) произведение множеств.

Вещественные числа

Множества натуральных и целых чисел. Множество рациональных чи-

сел. Арифметические операции над рациональными числами. Упорядочен-

ность и плотность рациональных чисел. Представление рационального числа в виде десятичной дроби. Понятие иррационального числа. Прибли-

жение иррационального числа рациональным с различными точностями.

Множество вещественных (действительных) чисел. Координатная прямая

(числовая ось). Геометрическое представление вещественных чисел. Ос-

новные свойства действительных чисел. Абсолютная величина (модуль)

вещественного числа. Основные равенства и неравенства при действиях с абсолютными величинами. Подмножества множества действительных чи-

сел (отрезки, полуотрезки, интервалы, числовые лучи). Ограниченные числовые множе-

ства. Границы числовых множеств. Метод математической индукции.

Отображения множеств

Отображение множества в множество. Образ и прообраз элемента.

Множество определения (задания) отображения и множество значений отображения. Образ множества при данном отображении. Сужение отоб-

ражения. Суперпозиция (композиция) отображений. График отображения.

Инъективные и субъективные отображения. Взаимно однозначное отобра-

жение множества на множество. Тождественное (единичное) отображение.

Обратимые отображения и обратное отображение к заданному. Взаимно однозначное соответствие между множествами. Эквивалентные множества и мощность множества.

Счётные множества. Несчётные множества, континуум.

91

Раздел 2 Математический анализ

Функции и последовательности

Функция одной действительной переменной, последовательность. Спо-

собы задания функций и последовательностей. Монотонность и ограни-

ченность. Чётные и нечётные функции. Периодические функции. Основ-

ные элементарные функции и их графики. Класс элементарных функций.

Применение элементарных функций в экономике и естествознании.

Пределы последовательностей и функций

Предел последовательности и его геометрический смысл. Единствен-

ность предела. Сходящиеся и расходящиеся последовательности. Ограни-

ченность последовательности, имеющей конечный предел. Бесконечно ма-

лые и бесконечно большие величины, связь между ними. Связь между по-

следовательностью, её пределом и бесконечно малой величиной. Свойства бесконечно малых величин. Предел монотонной последовательности.

Окрестность точки. Предельные точки множества. Предел функции на языке последовательностей. Пределы функции по Коши. Односторонние пределы. Предельный переход в равенствах и неравенствах. Предел про-

межуточной переменной. Предел суммы, произведения, частного.

Неопределённые выражения. Замечательные пределы. Сравнения

бесконечно малых величин

делённостей. Замечательные пределы. Бесконечно малые высшего и более низкого порядков малости. Бесконечно малые одного порядка малости. Экви-

валентные бесконечно малые величины и их применение при вычислении пределов.

92

Непрерывность

Различные определения непрерывности функции в точке и их эквива-

лентность. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва и их классифи-

кация. Непрерывность функции в области. Арифметические операции над

непрерывными функциями. Непрерывность сложной функции. Непрерыв-

ность элементарных функций. Свойства непрерывных функций на отрезке.

Производные функций

Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной, её

геометрический, механический и экономический смыслы. Уравнения каса-

тельной и нормали. Эластичность функции. Непрерывность функции, имею-

щей конечную производную. Односторонние и бесконечные производные.

Правила дифференцирования. Логарифмическое дифференцирование. Произ-

водные высших порядков. Производные основных элементарных функций.

Дифференцируемые функции и дифференциал

Определение дифференцируемой функции и дифференциала. Геометрический смысл дифференциала. Связь между дифференцируемостью и существованием производной. Правила дифференцирования. Применение дифференциала в приближённых вычислениях.

Основные теоремы дифференциального исчисления

Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и их геометрический смысл. Теорема Коши. Раскрытие неопределённостей по правилу Лопиталя.

Исследование функций на монотонность и на экстремум

Условия постоянства, возрастания и убывания функций. Экстремумы, необходимые условия экстремума. Исследование на экстремум с помощью первой производной. Исследование на экстремум стационарных точек с помощью второй производной. Наибольшее и наименьшее значения функции. Задачи на оптимизацию.

93

Исследование функции на выпуклость и вогнутость

Выпуклость и вогнутость кривой. Достаточные условия выпуклости и вогнутости. Точки перегиба. Необходимые условия существования точки перегиба. Достаточный признак существования точки перегиба.

Арифметическое n-мерное пространство

Понятие n-мерного арифметического пространства. Расстояние между точками. Окрестность точки. Ограниченные, открытые, замкнутые, связные и выпуклые множества в n-мерном пространстве. Последовательности точек и их пределы. Покоординатная сходимость в n-мерном пространстве.

Функции нескольких переменных

Определение функции нескольких переменных. Графики функций двух переменных. Линии уровня. Пределы и непрерывность. Производные и дифференциалы. Производная по направлению и градиент функции. Свойства функций, непрерывных на ограниченных замкнутых множествах.

Экстремум функций многих переменных

Понятие экстремума. Необходимые и достаточные условия экстремума. Условный экстремум и метод Лагранжа. Метод наименьших квадратов.

Приложения функций в экономике

Функции спроса и предложения. Функция полезности. Кривые безразличия.

Неопределённый интеграл. Методы интегрирования

Первообразная и её свойства. Неопределённый интеграл и его свойства. Таблица интегралов. Замена переменной, интегрирование по частям. Интегрирование рациональных дробей, некоторых иррациональных выражений. Интегрирование тригонометрических функций.

Определённый интеграл

Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла. Определение и свойства определённого интеграла. Интегрируемость непрерывной на отрезке функции. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определённом интеграле.

94

Приложения определённого интеграла

Вычисление площадей плоских фигур и объёмов тел вращений. Приложения интеграла в экономике.

Несобственные интегралы

Несобственные интегралы по бесконечному промежутку интегрирования. Несобственные интегралы по конечному промежутку интегрирования от неограниченных функций.

Двойные интегралы

Задача об объёме цилиндрического тела. Определение двойного интеграла. Интегрируемость непрерывной функции в замкнутой квадрируемой области. Основные свойства двойных интегралов. Вычисление двойных интегралов сведением к повторным интегралам.

Дифференциальные уравнения первого порядка

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям первого порядка. Задача Коши для дифференциальных уравнений первого порядка; теорема о существовании решения. Частные и общее решения. Уравнения с разделёнными и разделяющимися переменными. Линейные уравнения первого порядка; методы Бернулли и Лагранжа нахождения их общих решений.

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

Задача Коши и краевая задачи. Частные и общее решения. Теоремы о структуре общих решений линейных уравнений (однородного и неоднородного). Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Приёмы нахождения частных решений неоднородных уравнений.

Числовые ряды

Понятие числового ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды, сумма ряда. Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд. Достаточные признаки сходимости положительных рядов. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Признак Лейбница.

95

Функциональные ряды

Понятие функционального ряда. Степенные ряды, область сходимости.

Теорема Абеля. Нахождение радиуса сходимости степенного ряда. Поня-

тия о рядах Тейлора и Маклорена. Разложение в ряд Маклорена функций

ех , sin x, cos x, (1 x) , ln (1 х).

Раздел 3 Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Матрицы и операции над ними

Матрица и её размерность. Виды матриц, транспонирование матриц.

Равные матрицы. Операции над матрицами и их свойства. Применение матриц в экономике. Линейное преобразование координат.

Определители

Определители первого, второго и третьего порядков. Миноры и алгеб-

раические дополнения элементов матриц. Определители любого порядка.

Свойства определителей.

Системы линейных алгебраических уравнений и их исследование

методами исключения неизвестных

Понятие о системе линейных алгебраических уравнений и её решениях.

Матрица и расширенная матрица системы. Матричная запись системы.

Однородные и неоднородные системы, приведённая однородная система.

Совместные и несовместные, определённые и неопределённые системы.

Эквивалентные системы. Элементарные преобразования систем. Теорема о равносильности систем при элементарных преобразованиях. Исследование систем методами Гаусса и Жордана-Гаусса. Базисные и свободные неиз-

вестные. Общее и частные решения системы. Применение систем алгебра-

ических уравнений в экономике.

96

Методы решения систем n-линейных уравнений с n-неизвестными

Методы Крамера, Гаусса и Жордана-Гаусса. Обратная матрица и её нахождение. Матричный метод решения систем.

Арифметическое n-мерное пространство

Понятие n-мерного арифметического вектора. Нулевой вектор, противоположный вектор, равные векторы. Операции над векторами и их свойства. Экономический смысл вектора и операций над векторами. Арифметическое n-мерное векторное пространство. Линейные комбинации векторов. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Свойства систем векторов, связанные с понятием линейной зависимости. Базис и ранг системы векторов. Размерность и базис векторного пространства. Стандартный базис. Разложение векторов по базисам и его единственность. Скалярное произведение векторов и его экономический смысл. Длина вектора и расстояние между векторами. Угол между векторами. Ортогональные и ортонормированные базисы.

Ранг матрицы и исследование систем линейных уравнений

Миноры матрицы, ранг матрицы по минорам. Ранг матрицы по строкам и столбцам. Элементарные преобразования матриц. Эквивалентные матрицы. Теоремы о ранге матрицы. Способы вычисления ранга матрицы. Базисный минор, теорема о базисном миноре. Критерий совместности системы линейных уравнений (теорема Кронекера-Капелли). Критерий определённости системы. Исследование систем линейных уравнений (однородной и неоднородной). Базисные и свободные неизвестные. Общее и частные решения системы. Фундаментальная система решений однородной системы уравнений. Структура общего решения системы (однородной и неоднородной).

Системы с базисом и канонические системы

Базисные и опорные решения системы линейных алгебраических урав-

нений. Системы с базисом. Приведение системы к системе с базисом мето-

97

дом Жордана-Гаусса. Методы нахождения базисных решений. Канониче-

ские системы уравнений. Теорема о возможности перехода от данной кано-

нической системы к эквивалентной канонической системе. Преобразование однократно-

го замещения. Алгоритм преобразования однократного замещения.

Векторы и линейные операции над ними

Скалярные и векторные величины. Вектор как геометрический объект. Коллинеарные и компланарные векторы. Нулевой вектор, противоположные векторы, равные векторы. Сложение и вычитание векторов, свойства операции сложения. Умножение вектора на число и свойства этой операции. Свойства операций сложения векторов и умножения на число.

Проекции векторов на ось

Величина вектора на оси и её свойства. Проекция вектора на ось и её вычисление. Свойства проекций.

Декартовы системы координат. Координаты точек и векторов

Координатная прямая. Координаты точек и векторов на прямой. Одномерное векторное пространство. Декартова прямоугольная система координат на плоскости. Координаты точек и векторов на плоскости. Двумерное векторное пространство. Декартова прямоугольная система координат в пространстве. Координаты точек и векторов в пространстве. Трёхмерное векторное пространство.

Базисы и разложение векторов по базисам

Базисы на координаты прямой. Разложение вектора по базису на координатной прямой. Базисы на координатной плоскости. Разложение векторов по базисам на плоскости. Базисы в трёхмерном пространстве. Разложение векторов по базисам в трёхмерном пространстве.

Операции над векторами в координатной форме и некоторые геометрические задачи

Сложение векторов в координатной форме. Умножение вектора, заданного в координатной форме, на число. Условия коллинеарности векторов. Деление отрезка в данном отношении. Нахождение координат середины отрезка.

98

Скалярное произведение векторов

Определение скалярного произведения векторов. Свойства скалярного произведения. Выражение скалярного произведения через координаты векторов. Расстояние между точками. Нахождение угла между векторами.

Прямая линия и плоскость

Общие понятия о кривых, поверхностях и их уравнениях. Алгебраическое уравнение первой степени с двумя и тремя переменными. Прямая линия на плоскости. Взаимное расположение прямых линий на плоскости. Прямая и плоскость в пространстве. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве. Геометрическая интерпретация решений линейных уравнений и неравенств.

Кривые второго порядка на плоскости

Алгебраическое уравнение второй степени с двумя переменными. Окружность, эллипс, гипербола и парабола, их канонические уравнения.

Преобразования координат и их применение к исследованию кривых второго порядка

Общие понятия о линейных преобразованиях. Преобразование декартовых координат при параллельном переносе осей. Преобразование прямоугольных декартовых координат на плоскости при повороте осей. Исследование квадратических функций. Исследование дробно-линейной функции.

Комплексные числа

Мнимая единица, мнимые числа, комплексные числа. Алгебраическая форма комплексного числа. Операции над комплексными числами. Сопряжённое число к комплексному числу. Свойства сопряжённых чисел. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Комплексная плоскость. Тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль и аргумент комплексного числа. Операции над комплексными числами в тригонометрической форме. Формула Муавра и извлечение корней из комплексных чисел.

99

Многочлены и их корни

Понятие функции комплексной переменной. Многочлен в комплексной плоскости. Корень многочлена. Простой корень многочлена, кратность корня. Основная теорема алгебры. Каноническое разложение многочлена на множители. Многочлены с действительными коэффициентами и их корни.

Линейные преобразования переменных. Собственные векторы и собственные значения

Линейное преобразование переменных и его матрица. Произведение линейных преобразований. Обратное преобразование для линейного преобразования с квадратной матрицей. Теорема о существовании и единственности обратного линейного преобразования. Явная формула обратного линейного преобразования. Собственные векторы и собственные значения матрицы (линейного преобразования). Характеристический многочлен и характеристическое уравнение. Характеристические корни и спектр матрицы.

Квадратичные формы

Квадратичная форма и её ранг. Канонический и нормальный виды квадратичных форм. Методы приведения квадратичной формы к каноническому виду. Положительно определённые формы, критерий Сильвестра. Применение квадратичных форм к исследованию кривых второго порядка.

Линейные пространства и линейные операторы

Понятие линейного пространства. Примеры линейных пространств. Линейная зависимость элементов. Базисы и размерность пространства. Евклидово пространство. Длина, угол, расстояние. Понятие оператора. Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.

Линейные задачи оптимизации

Задача об оптимальном использовании ресурсов. Задача о диете. Транспортная задача. Основная, стандартные и смешанные задачи линейного программирования.

100