1.7. Основные принципы технической электродинамики

Принцип суперпозиции полей

Пусть в некоторой точке пространства одновременно существуют ЭМП с напряженностями , и , , создаваемые различными источниками токов одной и той же частоты. Оба поля описываются уравнениями Максвелла [6, 7]:

, ; , . (1.35)

В силу линейности уравнений Максвелла можно записать, что для поля с компонентами , будут справедливы выражения [6, 7]:

, , (1.36)

из которых следует, что векторы напряженностей двух и более полей одной и той же частоты, одновременно существующих в одной и той же точке, суммируются геометрически. В зависимости от их поляризации результирующая напряженность поля может быть по абсолютному значению как больше напряженностей отдельных полей, так и меньше, и даже может стать равной нулю. В линейной среде волны ЭМП с различными частотами существуют независимо друг от друга без взаимного влияния. Соответственно, они могут регистрироваться раздельно путем перестройки приемника по частоте.

Принцип поведения поля на бесконечном удалении от источника (принцип Зоммерфельда)

На бесконечно большом расстоянии от источника компоненты ЭМП должны удовлетворять правилу [6, 7]

, (1.37)

где Z — любая компонента напряженности, векторного или скалярного потенциала ЭМП. Этому правилу удовлетворяют «запаздывающие» решения волновых уравнений. Оно позволяет из нескольких решений выбрать правильное, отбросив «опережающие» решения.

Принцип перестановочной двойственности

Уравнения Максвелла, записанные, например, для случая отсутствия источников тока

, (1.38)

взаимно переходят друг в друга, если в них формально заменить на и на , а также ввести перестановку [6, 7].

При наличии сторонних токов принцип перестановочной двойственности записывается в виде [6, 7]

, , , . (1.39)

Данный принцип играет важную роль в теории антенн. Пусть имеется строгое решение задачи об излучении симметричного электрического вибратора (рис. 1.5, а) и получены выражения для расчета ЭМП в любой точке окружающего пространства [7]. Пусть теперь надо получить выражения для поля излучения антенны в виде щели в бесконечном металлическом экране, причем щель имеет точно такие размеры, как и вибратор (рис. 1.5, б).

Рис. 1.5. К иллюстрации принципа перестановочной двойственности [7]

Оказывается, что для решения этой новой задачи, строгое решение которой весьма затруднительно, достаточно в выражениях для напряженностей полей вибраторной антенны сделать перестановку по правилу (1.39). В результате получатся искомые выражения для напряженностей полей щелевой антенны.

Принцип взаимно дополнительных экранов

Данный принцип гласит, что напряженности электрических и магнитных полей ЭМВ, возникающих в результате дифракции (рассеяния) ЭМВ на плоском металлическом экране конечных размеров с произвольной конфигурацией (рис. 1.6, а) и на отверстии с теми же размерами и конфигурацией в бесконечно протяженном плоском металлическом экране (рис. 1.6, б) равны по модулю и противофазны [7]:

, . (1.40)

а б

Рис. 1.6. К иллюстрации принципа взаимно дополнительных экранов [7]

Единственность решения внутренней задачи электродинамики

Внутренняя задача электродинамики предусматривает определение ЭМП источников ЭМВ внутри некоторого замкнутого объема V (рис. 1.7, а), на котором А и В — произвольные точки на поверхности S, ограничивающей объем; Е_τА и Е_τВ — значения тангенциальных компонент вектора на этой поверхности; звездочками обозначены внутренние источники ЭМП. Кривые 1—3 показывают примеры изменения напряженности электрического поля внутри рассматриваемого объема между точками А и В [7].

В случае, когда известны электрофизические параметры среды, заполняющей объем V, в каждой точке поверхности S задано значение тангенциальной компоненты Е_τ и (или) Н_τ, полностью известны параметры внутренних сторонних источников (амплитуды токов, частоты, пространственные ориентации, координаты), то уравнения Максвелла имеют единственное решение при условии, что среда внутри объема V или на его границе S характеризуется конечными потерями (например, решение в виде кривой 1 на рис. 1.7, а) [7].

В отсутствие потерь решение будет единственным только в случае, когда частота ЭМ колебаний сторонних источников не совпадает с резонансной частотой объема. В противном случае возможно существование нескольких решений (например, 2 и 3 в дополнение к 1 на рис. 1.7, а) [7].

Рис. 1.7. К иллюстрации внутренней и внешней задач электродинамики [7]

Единственность решения внешней задачи электродинамики

Данный принцип относится к случаю, когда сторонние источники расположены вне рассматриваемого объема на конечных расстояниях от его поверхности (рис. 1.7, б) [7]. Как и при решении внутренней задачи, уравнения Максвелла будут иметь единственное решение, если в окружающей среде или в стенках объема есть потери (например, кривая 1 на рис.1.7, б) [7]. При отсутствии потерь решение будет единственным только в случае, когда частота ЭМ колебаний сторонних источников не совпадает с резонансной частотой объема. В противном случае возможно существование нескольких решений (например, 2 и 3 в дополнение к 1 на рис. 1.7 , б) [7].

Принцип взаимности

Принцип взаимности связывает ЭМП и , порождаемые источниками сторонних токов и , с ЭМП , , порождаемыми источниками сторонних токов и . Если объем V (ограниченный поверхностью S), в котором находятся источники токов, заполнен линейной изотропной средой, а частоты токов равны, то токи и поля оказываются связанными следующим выражением, известным в электродинамике как лемма Лоренца в интегральной форме [5—7]:

. (1.41)

Рассмотрим ЭМП, возбуждаемое в безграничном пространстве с потерями только источниками сторонних электрических токов с плотностями и (рис. 1.8, а) [7].

а

б

Рис. 1.8. К иллюстрации принципа взаимности [7]

Поскольку размер поверхности возрастает пропорционально квадрату расстояния от некоторого выбранного внутри объема центра О, а абсолютные значения напряженностей полей в среде с потерями убывают быстрее, чем 1/r, интеграл по замкнутой поверхности S в выражении (1.41) обращается в нуль. Поэтому из (1.41) следует, что

, (1.42)

причем интегралы в (1.42) вычисляются по объемам V₁ и V₂, в которых находятся источники сторонних токов и (рис. 1.8, а).

Выражение (1.42) есть математическая формулировка теоремы взаимности. Для пояснения ее смысла поменяем местами источники токов и . С этой целью примем, что = и V₁=V₂. Но тогда из теоремы взаимности следует, что , т.е. сторонний ток с плотностью создавал в объеме V₂ точно такое же электрическое поле, какое он создает в объеме V₁, находясь в объеме V₂. Этот вывод можно прокомментировать и с помощью рис. 1.8, б, на котором показаны две разнесенные в пространстве вибраторные антенны со сторонними токами и . При работе антенн на прием в них соответственно возбуждаются ЭДС и . Из теоремы взаимности вытекает соотношение [7]

, (1.43)

из которого следует важный вывод, что свойства (электрические характеристики) антенны, находящейся в однородной изотропной (т.е. взаимной) среде, остаются одинаковыми как в режиме излучения (передачи), так и в режиме приема. При расположении антенн в анизотропных средах c произвольным тензором диэлектрической или магнитной проницаемости принцип взаимности не выполняется.

Принцип Гюйгенса—Кирхгофа

Позволяет вычислить любую скалярную компоненту векторов напряженностей ЭМП в произвольной точке внутри или вне объема V, если во всех точках на охватывающей объем поверхности S известны как сами скалярные компоненты напряженностей полей, так и их нормальные производные (при этом нормаль n к поверхности направлена внутрь объема) [7]:

, (1.44)

где G — функция Грина.

Принцип электродинамического подобия

Применительно к антеннам формулируется следующим образом: антенна, работающая на частоте f₁, не изменит своих характеристик, если на новой более высокой (низкой) частоте f₂ = mf₁ ее геометрические размеры будут уменьшены (увеличены) в m раз, электрическая проводимость будет увеличена (уменьшена) в m раз (σ₂=mσ₁), а диэлектрическая и магнитная проницаемости материалов антенны и среды останутся без изменений [5, 7]. Принцип используется, например, при пересчете характеристик и параметров антенн с одной частоты на другую или при моделировании и экспериментальных исследованиях антенн. Трудно точно выполнить все условия принципа подобия, в частности увеличение σ. Это приведет к другим значениям тех параметров, которые учитывают потери. Но характеристики излучения антенны при этом не изменятся.

Теорема Умова—Пойнтинга. Баланс энергии электромагнитного поля

Воспользуемся уравнениями Максвелла в дифференциальной форме [6—8] для диэлектрической среды ( ):

, (1.48)

, (1.49)

, (1.50)

. (1.51)

Для вывода формулы необходимо выражение (1.48), записанное с учетом действия стороннего тока, умножить скалярно на , а (1.49) на :

, (1.52)

. (1.53)

После вычитания (1.53) из (1.52) и преобразования левой части [6—8]

. (1.54)

После интегрирования по объему и преобразований получаем [6—8]

. (1.55)

Каждое слагаемое в (1.55) имеет размерность мощности:

. (1.56)

Закон сохранения ЭМ энергии, доказанный Дж. Пойнтингом в 1884 г., гласит, что мощность стороннего источника в данном объеме расходуется на излучение, тепловые потери и изменение запаса энергии ЭМП. Ранее, в 1874 г. Н.А. Умовым была доказана аналогичная теорема для упругих сред, поэтому выведенные формулы носят имя обоих ученых.

Мощность тепловых потерь (потерь проводимости) подчиняются закону Джоуля — Ленца. Изменение запаса энергии имеет размерность мощности:

, (1.57)

где W_ЭМ — энергия ЭМП, а w_ЭМ — объемная плотность энергии ( ).

Вектор называется вектором Пойнтинга.

По известной теореме [6] . Таким образом, вектор Пойнтинга указывает направление распространения излучения, а его модуль представляет собой плотность потока мощности излучения (рис. 1.9) [8]:

Рис. 1.9. К иллюстрации теоремы Умова—Пойнтинга

В комплексной форме баланс энергии ЭМП описывается выражением [8]

, (1.58)

, (1.59)

где , , , а и – энергии магнитного и электрического поля соответственно [8].

Выражение (1.59) описывает баланс комплексных мощностей в объеме V.

Рассмотрим понятия мгновенной, средней, комплексной мощности на примере тока (I(t)= ) и напряжения (U(t)= ) [8].

Мгновенной мощностью называют P(t)=U(t)I(t).

После подстановки и преобразований получим

. (1.60)

Постоянная составляющая P(t) — средняя мощность (P_ср); зависит от фазового сдвига между U и I и равна средней за период мощности.

Для комплексных амплитуд:

. (1.61)

Действительная часть комплексной мощности (активная мощность)

. (1.62)

Реактивная мощность , как известно из теории электрических цепей, характеризует процесс обмена энергией между источником и цепью. При P_р>0 энергия запасается в магнитном поле, а при P_р<0 — в электрическом.

Мгновенная и средняя (активная) мощность измеряются в ваттах [Вт], комплексная — в вольт-амперах [ВА], реактивная мощность — в реактивных вольт-амперах [вар]. Хотя все мощности имеют размерность [Дж/с], физический смысл этих понятий различен [8].

Выделим действительную и мнимую часть (1.59):

, (1.63)

. (1.64)

Из (1.63) следует, что средняя (активная) мощность стороннего источника тратится на покрытие тепловых потерь в объеме V и на создание потока активной мощности излучения за его пределами (рис. 1.9) [7, 8].

Из (1.64) следует, что реактивная мощность стороннего источника расходуется на создание потока реактивной мощности через границу V и на создание запасов реактивной энергии в объеме V [7, 8]. Даже при отсутствии стороннего источника в V возможны колебания энергии при переходе электрической энергии в магнитную, и наоборот, подобно тому, как это происходит в колебательном LC-контуре без потерь [8]. Применительно к антеннам закон сохранения энергии гласит, что мощность электромагнитных колебаний, поступающих от источника в антенну, затрачивается на пополнение запаса электромагнитной энергии в объеме, занимаемом антенной, на покрытие потерь в антенне, связанных с превращением энергии ЭМП в другую форму (в частности, в тепловую энергию), и на излучение ЭМВ в окружающее пространство [7, 8].

Граничные условия

На поверхности раздела двух однородных сред с параметрами , и и с единичным вектором нормали к границе раздела (рис. 1.10) [5] граничные условия описываются равенствами [5—7]

, , , , (1.65)

выражающими непрерывность тангенциальных (касательных) компонент напряженностей полей и и непрерывность нормальных компонент векторов электрической и магнитной индукций.

Рис. 1.10. Граничные условия для компонент ЭМП [5]

При наличии на границе раздела S поверхностных токов и зарядов граничные условия приобретают вид [5]

, ,

, . (1.66)

Из последнего выражения следует, что на поверхности идеального электрического проводника [5]

, , . (1.67)

Реальный электрический проводник с конечной электрической проводимостью ( ) характеризуется глубиной проникновения электромагнитного поля (толщиной скин-слоя, соответствующей уменьшению напряженности электрического поля в е раз) [5, 6]:

. (1.68)

Если радиус кривизны поверхности реального проводника во много раз превышает толщину скин-слоя, то справедливо приближенное граничное условие М. Леонтовича [5, 6]:

, (1.69)

где , (1.70)

— поверхностный импеданс (векторы напряженностей ЭМП параллельны границе раздела), равный комплексному характеристическому сопротивлению среды [5, 6].

Принцип эквивалентности источников полей

Данный принцип позволяет заменить реальные токи, возбуждающие ЭМП, более удобной системой поверхностных источников [5]. Пусть реальные источники, создающие ЭМП с напряженностями и , находятся внутри объема V₂ и полностью охватываются поверхностью S, разделяющей объемы V₁ и V₂ (рис. 1.11) [5]. Допустим, что при удалении источников из объема V₂ в нем будет существовать некоторое ЭМП с напряженностями и , а источники этого поля, удовлетворяющего уравнениям Максвелла для некоторой среды с параметрами и , находятся за пределами объема V₂.

а б

Рис. 1.11. К иллюстрации понятий эквивалентных источников ЭМП [5]

Пусть при этом в объеме V₁ сохраняется исходное ЭМП. Очевидно, чтобы сформированное таким путем ЭМП во всех точках обоих объемов было бы единственным решением уравнений Максвелла, следует выполнить сшивание ЭМП , и , на поверхности раздела S с помощью описанных выше граничных условий. Для этого надо допустить существование на границе S фиктивных поверхностных электрических и магнитных токов, связанных с заданными полями выражениями [5]

, . (1.71)

Принцип эквивалентности и состоит в том, что фиктивные поверхностные токи рассматриваются как эквивалентные токи, создающие ЭМП , в объеме V₁ и ЭМП , в объеме V₂.

Отметим, что в обоих объемах теперь нет источников тока, создающих ЭМП , в объеме V₁ и ЭМП , в объеме V₂. Существенно то, что новое ЭМП , и среда с параметрами , объеме V₂ могут быть заданы независимо от ЭМП , и среды с , . При этом возможно несколько различных вариантов выбора эквивалентных источников [5]. В частности, можно принять, что ЭМП , отсутствует, а оба объема V₁ и V₂ заполнены одной и той же средой с = и = . Тогда выражения (1.71) преобразуются к виду [5]

, (1.72)

и ЭМП в объеме V₁ можно рассматривать как создаваемое эквивалентными электрическим и магнитным токами (1.72), источники которых находятся в однородной безграничной среде.

Принцип эквивалентных источников полей служит основой расчетных методов теории антенн и находит применение, например, для расчетов диаграмм направленности антенны по измеренным распределениям значений тангенциальных компонент ее ближнего ЭМП на некоторой поверхности (плоской, цилиндрической или сферической) [3, 5].