- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко л.П. Цуканова
- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко л.П. Цуканова
- •Введение
- •1. Ортогональные системы функций и обобщенные ряды Фурье. Интегралы Фурье
- •1.1. Исторические замечания
- •1.2. Гильбертово пространство. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве
- •1.3. Тригонометрические ряды Фурье
- •1.4. Интегральная формула Фурье. Интеграл Фурье
- •1.5. Условия представимости функции интегралом Фурье
- •1.6. Комплексная форма интеграла Фурье. Преобразование Фурье
- •Преобразование Лапласа и его приложения
- •1.1. Свойства преобразования Лапласа
- •2.2. Решение дифференциальных уравнений операционным методом
- •Импульсные функции и их приложение к решению дифференциальных уравнений
- •Приложение операционного метода к решению систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •2.5. Индивидуальные задания
- •Ответы к индивидуальным заданиям
- •Задачи механики и физики, приводящие к основным уравнениям математической физики
- •3.1. Понятие уравнения в частных производных и его решения. Основные уравнения математической физики. Уравнения современной математической физики
- •3.2. Уравнения Пуассона и Лапласа. Вывод уравнений для потенциала электрического поля
- •3.3. Получение уравнения Гельмгольца из уравнений электромагнитного поля
- •3.4. Уравнение распространения тепла в изотропном твердом теле
- •3.5. Уравнение колебаний струны
- •4. Решение одномерных уравнений математической физики. Задача Коши и краевые задачи Коши
- •4.1. Распространение тепла в неограниченном стержне. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности
- •4.2. Метод Фурье для одномерного уравнения теплопроводности. Распространение тепла в ограниченном стержне
- •4.3. Общее решение волнового уравнения в случае одной пространственной переменной. Решение Даламбера
- •4.4. Задача Коши для одномерного волнового уравнения. Формула Даламбера
- •4.5. Колебания ограниченной струны. Решение методом Фурье
- •5. Метод Фурье для уравнений математической физики в двумерном и трехмерном пространствах
- •5.1. Оператор Лапласа в декартовых и криволинейных координатах. Граничные задачи для уравнений Лапласа и Пуассона
- •5.2. Разделение переменных в уравнении Лапласа в декартовой и сферической системах координат
- •5.3. Определение потенциала электрического поля внутри параллелепипеда
- •5.4. Разделение переменных в уравнении Лапласа в цилиндрических координатах
- •5.5. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге. Интеграл Пуассона
- •5.6. Распространение тепла в бесконечном цилиндре
- •5.7. Распространение электромагнитных волн в цилиндрическом волноводе
- •Решение уравнения Гельмгольца методом Фурье
- •5.8. Движение электрона в атоме водорода. Квантовый подход
- •6. Элементы теории специальных функций
- •6.1. Недостаточность элементарных функций для решений дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения, как источник функций
- •6.2. Гипергеометрическое уравнение и функции гипергеометрического типа
- •6.3. Частные случаи гипергеометрической функции: цилиндрические функции Бесселя
- •6.4. Частные случаи гипергеометрической функции: ортогональные полиномы Лежандра
- •7. Функциональные и степенные ряды и их приложения к решению дифференциальных уравнений
- •7.1 Функциональные ряды. Сходимость и равномерная сходимость
- •7.2. Свойства равномерно сходящихся рядов. Признак равномерной сходимости
- •7.3. Степенные ряды. Интервал сходимости, радиус сходимости
- •7.4. Свойства степенных рядов
- •7.5. Арифметические операции и другие действия над степенными рядами
- •7.6. Разложение функций в степенные ряды
- •7.7. Обобщения степенных рядов – интегро – степенные ряды и ряды Вольтерра
- •8. Приближенно-аналитические методы решения дифференциальных уравнений
- •8.1. Необходимость асимптотических методов
- •8.2. Калибровочные функции. Символы порядка
- •8.3. Пример асимптотического разложения. Определение асимптотического ряда
- •8.4. Асимптотические последовательности и асимптотические разложения
- •8.5. Простейшие асимптотические методы решения дифференциальных уравнений
- •8.6. Метод Линдстедта – Пуанкаре
- •1. Ортогональные системы функций .И обобщенные ряды Фурье. Интегралы Фурье……………………………………..... 4
- •2. Преобразование Лапласа и его приложения…………….19
- •2.3. Импульсные функции и их приложение к решению дифференциальных уравнений …………….……….……..…... 38
- •3. Задачи механики и физики, приводящие к основным уравнениям математической физики ……………………......76
- •4. Решение одномерных уравнений математической физики. Задача Коши и краевые задачи ……...……………107
- •5. Метод Фурье для уравнений математической физики в двумерном и трехмерном пространствах .......…………….133
- •6. Элементы теории специальных функций.........................179
- •8. Приближенно-аналитические методы решения дифференциальных уравнений ….........................................221
- •9. Список литературы………………………………………..247
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
1.1. Свойства преобразования Лапласа
1) Линейность. Пусть , ( , где - показатель роста функции . Тогда изображением линейной комбинации этих функций – постоянные, является такая же линейная комбинация изображений:
.
Здесь символом обозначено наибольшее из чисел .
2) Теорема подобия. Пусть , . Тогда при любом постоянном справедливо соотношение
для .
Таким образом, умножение аргумента оригинала на положительное число приводит к делению аргумента изображения на это число.
Пример 2. Зная изображение оригинала , найти изображение оригинала .
Решение. По теореме подобия .
3) Теорема запаздывания. Пусть для и пусть
при .
Тогда , т.е. включение оригинала с запаздыванием на равносильно умножению изображения на .
Пример 3. Найти изображение функции
где - функция Хевисайда.
Решение. Воспользовавшись таблицей изображений и теоремой запаздывания, имеем
, .
Таким образом, получим искомое изображение
Замечание к теореме запаздывания.
Соглашение о равенстве нулю функции для здесь особенно важно. При аргумент отрицателен, поэтому =0. График функции получается из графика функции смещением вправо на расстояние , если , и дополнением графика в интервале между 0 и τ отрезком оси .
Следует иметь в виду, что если в формулировке теоремы запаздывания параметр , то формула для изображения теряет силу, а имеет место утверждение.
Вторая теорема запаздывания.
Пусть для и пусть
Тогда .
4) Теорема смещения. Если функция - оригинал имеет изображение для , то при любом вещественном или комплексном оригиналом будет и функция и справедливо соотношение
для .
Пример 4. Найти изображение функции .
Решение. Воспользовавшись результатом примера 1 и теоремой подобия, имеем
Далее используем теорему смещения:
5) Теорема о дифференцировании изображения.
Если функция – оригинал имеет изображение для , то функция также является оригиналом и справедливо соотношение
для .
Пример 5. Используя изображение единичной функции и теорему о дифференцировании изображения найти изображение оригинала = .
Решение. По теореме 5 имеем
.
6) Теорема о дифференцировании оригинала.
Пусть оригинал дифференцируемая функция и его производная также является оригиналом, причем , при . Пусть и . Тогда
= (2.3)
для , где
Следствие. Если удовлетворяют условиям существования изображения при и , то имеют место формулы
…………………………………………………. (2.4)
Это правило является очень важным для практических приложений и выражает примечательное обстоятельство: дифференцирование оригиналов заменяется для изображений элементарным действием – умножением изображения на степень аргумента р с добавлением многочлена, коэффициентами которого являются «начальные значения» оригинала.
Важно то, что в формулы (2.4) входят предельные значения функций . Например, если единичную функцию определить формулой
отличающейся от задания в форме (2.2) значением при , то для обоих случаев при , а следовательно, и изображение равно нулю . Поскольку , то из теоремы 6 имеем
=
Это равенство выполняется только при . Если бы в формуле (2.3) было записано вместо , то это привело бы к ошибке - !
Пример 6. Найти изображение оригинала .
Решение. Обозначим . По теореме 6 имеем
Но .
По таблице изображений . Следовательно,
,
откуда .
7) Теорема интегрирования оригинала.
Интегрирование оригинала от нуля до переменной точки t соответствует в пространстве изображений деление изображения на p:
.
Пример 7. Найти изображение оригинала
Решение. По таблице изображений . По теореме 5 имеем: Используя теорему 7, получим окончательно
.
8) Теорема интегрирования изображения.
Если интеграл сходится, то он является изображением функции , где .
Пример 8. Найти изображение оригинала
Решение. По таблице изображений . По теореме смещения . Использование теоремы 8 дает
=
= .
Выражение называется сверткой функции и и обозначается
9) Теорема о свертке.
Изображение свертки оригиналов равно произведению их изображений
для где для и для .
Пример 9. Найти изображение оригинала .
Решение. По таблице изображений , . По теореме 9 имеем .
В таблице 1 собраны формулы соответствия, полученные в настоящем параграфе.
Таблица 1
Номер формулы |
Оригинал |
Изображение |
1 |
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
6 |
|
|
7 |
|
|
8 |
|
|
9 |
|
|
10 |
|
|
11 |
|
|
12 |
|
|
13 |
|
|
14 |
|
|
15 |
|
|
16 |
|
|
17 |
|
|