- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко л.П. Цуканова
- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко л.П. Цуканова
- •Введение
- •1. Ортогональные системы функций и обобщенные ряды Фурье. Интегралы Фурье
- •1.1. Исторические замечания
- •1.2. Гильбертово пространство. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве
- •1.3. Тригонометрические ряды Фурье
- •1.4. Интегральная формула Фурье. Интеграл Фурье
- •1.5. Условия представимости функции интегралом Фурье
- •1.6. Комплексная форма интеграла Фурье. Преобразование Фурье
- •Преобразование Лапласа и его приложения
- •1.1. Свойства преобразования Лапласа
- •2.2. Решение дифференциальных уравнений операционным методом
- •Импульсные функции и их приложение к решению дифференциальных уравнений
- •Приложение операционного метода к решению систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •2.5. Индивидуальные задания
- •Ответы к индивидуальным заданиям
- •Задачи механики и физики, приводящие к основным уравнениям математической физики
- •3.1. Понятие уравнения в частных производных и его решения. Основные уравнения математической физики. Уравнения современной математической физики
- •3.2. Уравнения Пуассона и Лапласа. Вывод уравнений для потенциала электрического поля
- •3.3. Получение уравнения Гельмгольца из уравнений электромагнитного поля
- •3.4. Уравнение распространения тепла в изотропном твердом теле
- •3.5. Уравнение колебаний струны
- •4. Решение одномерных уравнений математической физики. Задача Коши и краевые задачи Коши
- •4.1. Распространение тепла в неограниченном стержне. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности
- •4.2. Метод Фурье для одномерного уравнения теплопроводности. Распространение тепла в ограниченном стержне
- •4.3. Общее решение волнового уравнения в случае одной пространственной переменной. Решение Даламбера
- •4.4. Задача Коши для одномерного волнового уравнения. Формула Даламбера
- •4.5. Колебания ограниченной струны. Решение методом Фурье
- •5. Метод Фурье для уравнений математической физики в двумерном и трехмерном пространствах
- •5.1. Оператор Лапласа в декартовых и криволинейных координатах. Граничные задачи для уравнений Лапласа и Пуассона
- •5.2. Разделение переменных в уравнении Лапласа в декартовой и сферической системах координат
- •5.3. Определение потенциала электрического поля внутри параллелепипеда
- •5.4. Разделение переменных в уравнении Лапласа в цилиндрических координатах
- •5.5. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге. Интеграл Пуассона
- •5.6. Распространение тепла в бесконечном цилиндре
- •5.7. Распространение электромагнитных волн в цилиндрическом волноводе
- •Решение уравнения Гельмгольца методом Фурье
- •5.8. Движение электрона в атоме водорода. Квантовый подход
- •6. Элементы теории специальных функций
- •6.1. Недостаточность элементарных функций для решений дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения, как источник функций
- •6.2. Гипергеометрическое уравнение и функции гипергеометрического типа
- •6.3. Частные случаи гипергеометрической функции: цилиндрические функции Бесселя
- •6.4. Частные случаи гипергеометрической функции: ортогональные полиномы Лежандра
- •7. Функциональные и степенные ряды и их приложения к решению дифференциальных уравнений
- •7.1 Функциональные ряды. Сходимость и равномерная сходимость
- •7.2. Свойства равномерно сходящихся рядов. Признак равномерной сходимости
- •7.3. Степенные ряды. Интервал сходимости, радиус сходимости
- •7.4. Свойства степенных рядов
- •7.5. Арифметические операции и другие действия над степенными рядами
- •7.6. Разложение функций в степенные ряды
- •7.7. Обобщения степенных рядов – интегро – степенные ряды и ряды Вольтерра
- •8. Приближенно-аналитические методы решения дифференциальных уравнений
- •8.1. Необходимость асимптотических методов
- •8.2. Калибровочные функции. Символы порядка
- •8.3. Пример асимптотического разложения. Определение асимптотического ряда
- •8.4. Асимптотические последовательности и асимптотические разложения
- •8.5. Простейшие асимптотические методы решения дифференциальных уравнений
- •8.6. Метод Линдстедта – Пуанкаре
- •1. Ортогональные системы функций .И обобщенные ряды Фурье. Интегралы Фурье……………………………………..... 4
- •2. Преобразование Лапласа и его приложения…………….19
- •2.3. Импульсные функции и их приложение к решению дифференциальных уравнений …………….……….……..…... 38
- •3. Задачи механики и физики, приводящие к основным уравнениям математической физики ……………………......76
- •4. Решение одномерных уравнений математической физики. Задача Коши и краевые задачи ……...……………107
- •5. Метод Фурье для уравнений математической физики в двумерном и трехмерном пространствах .......…………….133
- •6. Элементы теории специальных функций.........................179
- •8. Приближенно-аналитические методы решения дифференциальных уравнений ….........................................221
- •9. Список литературы………………………………………..247
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
5.6. Распространение тепла в бесконечном цилиндре
Рассмотрим радиальное распространение тепла в бесконечном круговом цилиндре радиуса , боковая поверхность которого поддерживается при постоянной температуре, равной нулю.
Уравнение распространения тепла, как известно, записывается в виде
, (5.73)
где температура зависит от времени и пространственных координат, постоянная - коэффициент температуропроводности, размерность которого (литр) /час, - коэффициент теплопроводности Вт/(м·град), - плотность материала кг/м , - удельная теплоемкость Дж/(кг·град). Уравнение (5.73) называется дифференциальным уравнением теплопроводности или уравнением Фурье.
Из физической постановки задачи следует, что температура не должна зависеть ни от координаты (вдоль оси цилиндра), ни от полярного угла . Поэтому в выражении оператора Лапласа в цилиндрических координатах отсутствуют производные по и по .
Поставленная таким образом задача описывается дифференциальным уравнением
, (5.74)
граничным условием на поверхности цилиндра
(5.75)
и начальным условием (распределением температуры в момент )
, (5.76)
где - заданная функция от .
Частные решения задачи (5.75) - (5.76) разыскиваем, согласно методу Фурье, в виде
. (5.77)
Подставив (5.77) в уравнение (5.74) и разделив на , получим
, (5.78)
где точка над буквой обозначает производную по , штрих – производную по , - постоянная разделения (множитель записан для удобства).
Из равенства (5.78) имеем два обыкновенных дифференциальных уравнения
, (5.79)
, (5.80)
где - произвольный параметр.
Решения уравнения (5.79) ищем в виде . Подставляя в (5.79) получим характеристическое уравнение
.
Таким образом, имеем
, (5.81)
где - произвольная постоянная. Уравнение (5.80) является уравнением Бесселя для функций нулевого порядка. Его общее решение имеет вид
. (5.82)
Известно, что функция Бесселя второго рода при . Поэтому из условий конечности температуры на оси цилиндра следует, что . Из граничного условия (5.75) следует, что , т.е.
. (5.83)
Это равенство является условием на параметр , который уже не будет произвольным. Формула (5.83) определяет собственные числа краевой задачи , где - положительные корни уравнения , которые можно найти в справочниках по специальным функциям.
Каждому собственному числу будет соответствовать собственная функция
. (5.84)
Принимая во внимание (5.77), (5.81) и (5.84) и обозначив , имеем
. (5.85)
Эта функция удовлетворяет уравнению (5.74) и граничному условию (5.75), но не удовлетворяет, вообще говоря, начальному условию (5.76). Составим ряд
(5.86)
и потребуем выполнения начального условия при
. (5.87)
Это равенство означает разложение заданной функции по функциям Бесселя в интервале . Коэффициенты разложения определяются по формуле
. (5.88)
Подставив (5.88) в выражение (5.86), получим решение задачи (5.74) – (5.76)
. (5.89)
Приведем для справок выражение для функций Бесселя первого рода - го порядка,
,
где . Подробнее об уравнении Бесселя и о функциях Бесселя можно прочитать в приложении.