- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко л.П. Цуканова
- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко л.П. Цуканова
- •Введение
- •1. Ортогональные системы функций и обобщенные ряды Фурье. Интегралы Фурье
- •1.1. Исторические замечания
- •1.2. Гильбертово пространство. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве
- •1.3. Тригонометрические ряды Фурье
- •1.4. Интегральная формула Фурье. Интеграл Фурье
- •1.5. Условия представимости функции интегралом Фурье
- •1.6. Комплексная форма интеграла Фурье. Преобразование Фурье
- •Преобразование Лапласа и его приложения
- •1.1. Свойства преобразования Лапласа
- •2.2. Решение дифференциальных уравнений операционным методом
- •Импульсные функции и их приложение к решению дифференциальных уравнений
- •Приложение операционного метода к решению систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •2.5. Индивидуальные задания
- •Ответы к индивидуальным заданиям
- •Задачи механики и физики, приводящие к основным уравнениям математической физики
- •3.1. Понятие уравнения в частных производных и его решения. Основные уравнения математической физики. Уравнения современной математической физики
- •3.2. Уравнения Пуассона и Лапласа. Вывод уравнений для потенциала электрического поля
- •3.3. Получение уравнения Гельмгольца из уравнений электромагнитного поля
- •3.4. Уравнение распространения тепла в изотропном твердом теле
- •3.5. Уравнение колебаний струны
- •4. Решение одномерных уравнений математической физики. Задача Коши и краевые задачи Коши
- •4.1. Распространение тепла в неограниченном стержне. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности
- •4.2. Метод Фурье для одномерного уравнения теплопроводности. Распространение тепла в ограниченном стержне
- •4.3. Общее решение волнового уравнения в случае одной пространственной переменной. Решение Даламбера
- •4.4. Задача Коши для одномерного волнового уравнения. Формула Даламбера
- •4.5. Колебания ограниченной струны. Решение методом Фурье
- •5. Метод Фурье для уравнений математической физики в двумерном и трехмерном пространствах
- •5.1. Оператор Лапласа в декартовых и криволинейных координатах. Граничные задачи для уравнений Лапласа и Пуассона
- •5.2. Разделение переменных в уравнении Лапласа в декартовой и сферической системах координат
- •5.3. Определение потенциала электрического поля внутри параллелепипеда
- •5.4. Разделение переменных в уравнении Лапласа в цилиндрических координатах
- •5.5. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге. Интеграл Пуассона
- •5.6. Распространение тепла в бесконечном цилиндре
- •5.7. Распространение электромагнитных волн в цилиндрическом волноводе
- •Решение уравнения Гельмгольца методом Фурье
- •5.8. Движение электрона в атоме водорода. Квантовый подход
- •6. Элементы теории специальных функций
- •6.1. Недостаточность элементарных функций для решений дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения, как источник функций
- •6.2. Гипергеометрическое уравнение и функции гипергеометрического типа
- •6.3. Частные случаи гипергеометрической функции: цилиндрические функции Бесселя
- •6.4. Частные случаи гипергеометрической функции: ортогональные полиномы Лежандра
- •7. Функциональные и степенные ряды и их приложения к решению дифференциальных уравнений
- •7.1 Функциональные ряды. Сходимость и равномерная сходимость
- •7.2. Свойства равномерно сходящихся рядов. Признак равномерной сходимости
- •7.3. Степенные ряды. Интервал сходимости, радиус сходимости
- •7.4. Свойства степенных рядов
- •7.5. Арифметические операции и другие действия над степенными рядами
- •7.6. Разложение функций в степенные ряды
- •7.7. Обобщения степенных рядов – интегро – степенные ряды и ряды Вольтерра
- •8. Приближенно-аналитические методы решения дифференциальных уравнений
- •8.1. Необходимость асимптотических методов
- •8.2. Калибровочные функции. Символы порядка
- •8.3. Пример асимптотического разложения. Определение асимптотического ряда
- •8.4. Асимптотические последовательности и асимптотические разложения
- •8.5. Простейшие асимптотические методы решения дифференциальных уравнений
- •8.6. Метод Линдстедта – Пуанкаре
- •1. Ортогональные системы функций .И обобщенные ряды Фурье. Интегралы Фурье……………………………………..... 4
- •2. Преобразование Лапласа и его приложения…………….19
- •2.3. Импульсные функции и их приложение к решению дифференциальных уравнений …………….……….……..…... 38
- •3. Задачи механики и физики, приводящие к основным уравнениям математической физики ……………………......76
- •4. Решение одномерных уравнений математической физики. Задача Коши и краевые задачи ……...……………107
- •5. Метод Фурье для уравнений математической физики в двумерном и трехмерном пространствах .......…………….133
- •6. Элементы теории специальных функций.........................179
- •8. Приближенно-аналитические методы решения дифференциальных уравнений ….........................................221
- •9. Список литературы………………………………………..247
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Решение уравнения Гельмгольца методом Фурье
Разделяем переменные в уравнении (5.93), полагая
. (5.95)
Подставим (5.95) в уравнение (5.93), разделим обе части полученного уравнения на получим
,
где - постоянная разделения. Приравнивая левую и правую части полученного соотношения введенной постоянной, имеем два дифференциальных уравнения для угловой и радиальной частей:
, (5.96)
(5.97)
Общее решение уравнения (5.96) при (т.е. при действительном ) имеет вид
,
где , – произвольные постоянные. Для однозначности этого решения требуется, чтобы было целым числом . Поэтому
, (5.98)
где произвольные постоянные переобозначены, поскольку, вообще говоря, они зависят от . Преобразуем уравнение (5.97) для радиальной функции, введя вместо новое независимое переменное .
Учитывая формулы дифференцирования
,
уравнение (5.97) запишется в виде
. (5.99)
Уравнение (5.99) является уравнением Бесселя, общим решением которого является суперпозиция цилиндрических функций - го порядка первого и второго рода
где , - функция Бесселя, - функция Вебера.
Как известно, функция при принимает бесконечное значение. Так как при электромагнитное поле в волноводе должно быть конечным, необходимо потребовать . Функция конечна при любом аргументе. Поэтому
. (5.100)
Таким образом, решением уравнения (5.93) является функция
. (5.101)
Для того чтобы функция (5.101) удовлетворяла условию на границе (5.94), положим . Отсюда имеем
(5.102)
т.е. - нули функции Бесселя порядка . Известно, что функции Бесселя для любого n имеют бесконечное число корней. Обозначим их ( Тогда из условия (5.102) получаем
. (5.103)
Таким образом
(5.104)
Используя (5.104), а также (3.13) и (3.17) п. 3.3 можно получить решение задачи.
Из выражения для в формуле (5.100) и формулы (5.103) следует, что частота волны , распространяющейся в волноводе и ее волновой вектор не могут быть произвольными, а связаны зависимостью
.
5.8. Движение электрона в атоме водорода. Квантовый подход
Описание состояния электрона в поле с центральной симметрией имеет практический интерес для теории спектра атомов с одним валентным электроном, в том числе, для теории спектра атома водорода. Теория, основанная на уравнении Шредингера в общих чертах, дает верную картину спектров таких атомов. Волновое уравнение Шредингера, как известно из физики, для заряженной частицы в поле с потенциальной энергией имеет вид
(5.105)
где - мнимая единица, Дж.с, - постоянная Планка, - волновая функция, описывающая состояние частицы, - вероятность пребывания частицы внутри объема , окружающего точку , в момент времени , - оператор полной энергии частицы (гамильтониан).
(5.106)
Здесь масса электрона кг, - оператор Лапласа, а первый член в (5.106) является оператором кинетической энергии частицы.
Волновая функция удовлетворяет условию нормировки
Последнее условие означает, что вероятность частице находиться во всем пространстве равна единице.
Если силы, действующие на электрон в атоме, не зависят от времени , то возможны стационарные состояния электрона с определенной энергией . Разыскиваем решения уравнения Шредингера (5.105) в виде
(5.107)
Подставив (5.107) в (5.105), учитывая выражение (5.106), разделив на экспоненциальный множитель, получим
. (5.108)
Уравнение (5.108) называется стационарным уравнением Шредингера. Если потенциальная функция является функцией только от где - расстояние до ядра, помещенного в начало координат, то решение уравнения (5.108) в сферической системе координат можно получить в виде произведения
(5.109)
Это означает возможность разделения переменных в уравнении (5.108). Для кулоновского поля, где Кл, и уравнение (5.108) принимает вид
(5.110)
Перейдем к сферической системе координат, воспользовавшись выражением оператора Лапласа, приведенным в п. 5.1.
Обозначим угловую часть оператора Лапласа следующим образом
Подставим в уравнение (5.110) выражение (5.109) и разделим обе части уравнения на Имеем
где - постоянная разделения. Отсюда получаем уравнение для и
(5.111)
(5.112)
Для уравнения (5.111), как и для уравнения Лапласа, разыскивая решения в виде и повторяя аналогичные рассуждения, получим решения (5.111) в виде где функции и определяются формулами:
, , ,
.
Радиальная часть волновой функции электрона в кулоновском поле существенно отличается от радиальной части в уравнении Лапласа. Преобразуем уравнение (5.112) переходя к безразмерной функции безразмерной радиальной координате и безразмерной энергии ( м. – Боровский радиус, - атомная единица энергии). В новых переменных уравнение (5.112) принимает вид
(5.113)
где индексы у букв отброшены, штрих означает производную по .
Упражнение. Получить уравнение (5.113), выполнив указанную замену переменных.
Введем теперь вместо новый параметр и вместо новую независимую переменную
(5.114)
Поскольку электрон находится в потенциальной яме, созданной полем притяжения ядра атома, то . Поэтому - действительное число, - действительная переменная. Перейдем в уравнении (5.113) к переменной (5.114). Используя формулы для производных , получим
, (5.115)
где штрихи обозначают дифференцирование по . При уравнение (5.115) принимает вид , решениями которого являются функции . Исчезающее при решение содержит в показателе знак минус.
Для преобразования уравнения (5.115) к удобному виду сделаем подстановку
. (5.116)
В результате уравнение для новой функции становится уравнением гипергеометрического типа
. (5.117)
Решение этого уравнения, конечное при , есть вырожденная гипергеометрическая функция
(5.118)
представляемая гипергеометрическим рядом. При решение должно возрастать не быстрее конечной степени для того, чтобы было конечным в соответствии с формулой (5.116). Следовательно, гипергеометрическая функция (5.118) должна быть полиномом. Это накладывает следующее условие должно быть целым отрицательным числом или числом, равным нулю. В этом случае функция (5.118) сводится к полиному степени ( ).
Таким образом приходим к выводу, что число должно быть целым положительным, причем при данном должно быть . В квантовой механике число называется главным квантовым числом. Энергия электрона в атоме в соответствии с формулой (5.114) дается выражением
,
которое называется формулой для бальмеровых уровней энергии. При переходе электрона из состояния в состояние , атом излучает фотон с частотой . Таким образом движение электрона в атоме водорода описывается волновой функцией
Задачи для самостоятельного решения
Для решения нижеследующих задач в качестве пособий можно использовать книгу [1], гл. 18, книгу [2] и пособие для решения [3].
1. Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа в круге и в кольце ( - полярный угол)
2. Найти функцию , удовлетворяющую внутри круга уравнению Гельмгольца, а на границе заданному условию
3. Получить уравнение (4.117) из уравнения (4.115), вводя новую неизвестную функцию по формуле (4.116).
4. Показать, что в сферических координатах разделение переменных в уравнении Шредингера возможно, если потенциал имеет вид , где , - постоянная.