- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко л.П. Цуканова
- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко л.П. Цуканова
- •Введение
- •1. Ортогональные системы функций и обобщенные ряды Фурье. Интегралы Фурье
- •1.1. Исторические замечания
- •1.2. Гильбертово пространство. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве
- •1.3. Тригонометрические ряды Фурье
- •1.4. Интегральная формула Фурье. Интеграл Фурье
- •1.5. Условия представимости функции интегралом Фурье
- •1.6. Комплексная форма интеграла Фурье. Преобразование Фурье
- •Преобразование Лапласа и его приложения
- •1.1. Свойства преобразования Лапласа
- •2.2. Решение дифференциальных уравнений операционным методом
- •Импульсные функции и их приложение к решению дифференциальных уравнений
- •Приложение операционного метода к решению систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •2.5. Индивидуальные задания
- •Ответы к индивидуальным заданиям
- •Задачи механики и физики, приводящие к основным уравнениям математической физики
- •3.1. Понятие уравнения в частных производных и его решения. Основные уравнения математической физики. Уравнения современной математической физики
- •3.2. Уравнения Пуассона и Лапласа. Вывод уравнений для потенциала электрического поля
- •3.3. Получение уравнения Гельмгольца из уравнений электромагнитного поля
- •3.4. Уравнение распространения тепла в изотропном твердом теле
- •3.5. Уравнение колебаний струны
- •4. Решение одномерных уравнений математической физики. Задача Коши и краевые задачи Коши
- •4.1. Распространение тепла в неограниченном стержне. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности
- •4.2. Метод Фурье для одномерного уравнения теплопроводности. Распространение тепла в ограниченном стержне
- •4.3. Общее решение волнового уравнения в случае одной пространственной переменной. Решение Даламбера
- •4.4. Задача Коши для одномерного волнового уравнения. Формула Даламбера
- •4.5. Колебания ограниченной струны. Решение методом Фурье
- •5. Метод Фурье для уравнений математической физики в двумерном и трехмерном пространствах
- •5.1. Оператор Лапласа в декартовых и криволинейных координатах. Граничные задачи для уравнений Лапласа и Пуассона
- •5.2. Разделение переменных в уравнении Лапласа в декартовой и сферической системах координат
- •5.3. Определение потенциала электрического поля внутри параллелепипеда
- •5.4. Разделение переменных в уравнении Лапласа в цилиндрических координатах
- •5.5. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге. Интеграл Пуассона
- •5.6. Распространение тепла в бесконечном цилиндре
- •5.7. Распространение электромагнитных волн в цилиндрическом волноводе
- •Решение уравнения Гельмгольца методом Фурье
- •5.8. Движение электрона в атоме водорода. Квантовый подход
- •6. Элементы теории специальных функций
- •6.1. Недостаточность элементарных функций для решений дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения, как источник функций
- •6.2. Гипергеометрическое уравнение и функции гипергеометрического типа
- •6.3. Частные случаи гипергеометрической функции: цилиндрические функции Бесселя
- •6.4. Частные случаи гипергеометрической функции: ортогональные полиномы Лежандра
- •7. Функциональные и степенные ряды и их приложения к решению дифференциальных уравнений
- •7.1 Функциональные ряды. Сходимость и равномерная сходимость
- •7.2. Свойства равномерно сходящихся рядов. Признак равномерной сходимости
- •7.3. Степенные ряды. Интервал сходимости, радиус сходимости
- •7.4. Свойства степенных рядов
- •7.5. Арифметические операции и другие действия над степенными рядами
- •7.6. Разложение функций в степенные ряды
- •7.7. Обобщения степенных рядов – интегро – степенные ряды и ряды Вольтерра
- •8. Приближенно-аналитические методы решения дифференциальных уравнений
- •8.1. Необходимость асимптотических методов
- •8.2. Калибровочные функции. Символы порядка
- •8.3. Пример асимптотического разложения. Определение асимптотического ряда
- •8.4. Асимптотические последовательности и асимптотические разложения
- •8.5. Простейшие асимптотические методы решения дифференциальных уравнений
- •8.6. Метод Линдстедта – Пуанкаре
- •1. Ортогональные системы функций .И обобщенные ряды Фурье. Интегралы Фурье……………………………………..... 4
- •2. Преобразование Лапласа и его приложения…………….19
- •2.3. Импульсные функции и их приложение к решению дифференциальных уравнений …………….……….……..…... 38
- •3. Задачи механики и физики, приводящие к основным уравнениям математической физики ……………………......76
- •4. Решение одномерных уравнений математической физики. Задача Коши и краевые задачи ……...……………107
- •5. Метод Фурье для уравнений математической физики в двумерном и трехмерном пространствах .......…………….133
- •6. Элементы теории специальных функций.........................179
- •8. Приближенно-аналитические методы решения дифференциальных уравнений ….........................................221
- •9. Список литературы………………………………………..247
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
1. Ортогональные системы функций и обобщенные ряды Фурье. Интегралы Фурье
1.1. Исторические замечания
В аналитической геометрии и в механике для описания свойств линий, поверхностей и механических величин используются векторы – направленные отрезки в трехмерном пространстве. Потребности развития и геометрии, и механики заставляют обращаться к пространствам большей размерности и даже к бесконечномерным пространствам.
Впервые в математике четырехмерное пространство появляется в работе 1827 года “Барицентрическое исчисление” немецкого геометра Августа Фердинанда Мёбиуса (1790-1868 г.). Но саму идею использования времени как четвертого измерения высказал великий французский математик, механик и философ Кан ле Рон Даламбер (1717-1783 г.).
Пространство n измерений впервые отчетливо появились в математике лишь в 1843 г. в работе англичанина Артура Кэли (1821-1895 г.), а год спустя появляется первая монография о многомерной геометрии Германа Грассмана (1809-1877 г.).
Современная математика и физика не мыслима без так называемых функциональных пространств, которые ввел в рассмотрение французский математик Морие Реке Фреше (1878-1973 г.), являвшийся членом Московского математического общества. Но лишь Давид Гильберт (1862-1943 г.) впервые с 1912 года начал рассматривать функции как векторы бесконечномерного линейного пространства, аналогичного по свойствам евклидову пространству.
1.2. Гильбертово пространство. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве
По Гильберту понятие функции есть обобщение понятия вектора в n-мерном пространстве. Разобьем отрезок на n отрезков длины , как показано на рисунке, и на каждом из них выберем точку . Тогда функции f(x) можно сопоставить n-мерный вектор
x
Рис. 1
где – базисные векторы n-мерного пространства. Вектор представляет собой грубое приближение к f(x). Но чем больше n и чем меньше , тем ближе соответствие между и f (x). Векторы образуют n-мерное пространство, в котором вводится обычное скалярное произведение
При n размерность пространства растет, а скалярное произведение принимает вид
(1.1)
В общем случае скалярное произведение в таких пространствах определяется формулой
(1.2)
где функцию h(x), называемую весовой функцией или весом, будем считать непрерывной и положительной в интервале .
Введенное по формуле (1.2) скалярное произведение порождает норму функции
(1.3)
и аналогичное выражение с h(x) = 1 для скалярного произведения в форме (1.1).
Система функций
( для любого k) называется ортонормированной на с весом h(x) , если имеет место равенство
(1.4)
где – символ Кронекера. При h(x) = 1 система функций (k = 1,2,….) называется ортонормированной.
Например, функции Бесселя и ортогональны с весом h(x) = x на , если - корни уравнения , а система функций где – полиномы Лежандра, является ортонормированной на отрезке .
Оказывается, что и производные полиномов Лежандра порядка k =1, 2,…… также ортогональны на , но уже с весом:
, (n m).
Гильбертово пространство является обобщением евклидова пространства и включает его как частный случай. В общем случае гильбертово пространство бесконечномерно. Его элементы представляют собой определенные на функции, вообще говоря комплекснозначные, и интегрируемые с квадратом.
В гильбертовом пространстве по определению вводится скалярное произведение векторов, через которое выражается длина векторов и углы между ними.
Линейное пространство H (с умножением на вещественные числа) называется (вещественным) гильбертовым пространством, если:
указано правило, сопоставляющее каждой паре векторов f и g пространства H вещественное число, называемое скалярным произведением (f, g);
это правило удовлетворяет условиям:
– переместительный закон;
– распределительный закон;
для любого вещественного числа ;
при f 0 и при f =0. Нормой (длины) вектора f называется число
(1.5)
Углом между ненулевыми элементами f и g вещественного гильбертова пространства называется угол , заключенный между 0 и такой, что
Пример 1. В n-мерном пространстве , элементами которого являются вещественные числовые комплексы скалярное произведение элементов x и y вводится по формуле
Конечномерное вещественное гильбертово пространство называют обычно евклидовым пространством.
Пример 2. Пространство . Это пространство функций f(x) интегрируемых с квадратом на . Скалярное произведение в пространстве вводится по формуле (1.1), а норма по формуле (1.3) при h(x) = 1.
В пространстве конечной размерности система векторов называется полной, если каждый вектор x этого пространства может быть представлен в виде
( – числа).
Аналогичным способом определяется полнота системы функций в гильбертовом пространстве: система функций называется полной в пространстве H, если любая функция из H удовлетворяет условию
(1.6)
Ряд в формуле (1.6) называется рядом Фурье, а числа называются коэффициентами Фурье разложения функции f.
Предел в формуле (1.6) в гильбертовом пространстве понимается в том смысле, что
что означает сходимость в среднем.
Если система функций является ортогональной, то коэффициенты Фурье находятся по формуле
(1.7)
В случае ортонормированной системы функций в пространстве (1.4) формула для коэффициентов Фурье принимают вид
Для полных ортонормированных систем функций в пространстве справедливо равенство Парсеваля
,
из которого следует, что числовой ряд в правой части последнего равенства сходится. Дл ортонормированных (но не полных) систем функций выполняется неравенство Бесселя
.