Аналітична геометрія

12. Рівняння прямої на площині.

Нехай на площині задано декартову систему координат Рівняння

(12.1)

визначає лінію на площині, тобто геометричне місце точок площини, координати яких задовольняють цьому рівнянню. Лінія називається алгебраїчною лінією го порядку, якщо в деякій системі координат її рівняння (12.1) є алгебраїчним го степеня.

Приклад 1. Рівняння визначає алгебраїчну лінію 2-го степеня -коло з центром у початку координат і радіусом 1.

Приклад 2. Рівняння визначає алгебраїчну лінію 4-го степеня, але йому задовольняють координати лише однієї точки , тобто ця лінія виродилася в одну точку.

Лінія на площі є прямою тоді і тільки тоді, коли в деякій декартовій системі координат її рівняння є алгебраїчним 1-го степеня.

Рівняння прямої на площині може мати різний вигляд:

1) загальне рівняння прямої в площині

Рис.4

нормальний вектор прямої (перпендикулярний до прямої);

якщо в загальному рівнянні вільний член дорівнює нулю , то пряма проходить через початок координат;

2) рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом;

Рис.5

кутовий коефіцієнт прямої; величина відрізка, який відтинається від осі ординат прямою.

Зауваження. Для прямої , що має напрям осі ординат, не існує рівняння з кутовим коефіцієнтом тому, що вона утворює кут з напрямом осі абсцис і тангенс такого кута не визначено.

3) канонічне рівняння прямої, що проходить через точку і паралельна до вектора (такий вектор називають напрямним вектором прямої).

4) - параметричні рівняння прямої; і ті ж самі, що в попередньому випадку.

Рис.6

5) рівняння прямої “у відрізках “; величини відрізків, що відтинаються прямою від осей та відповідно.

Рис.7

Зауваження. Означена форма рівняння не існує для тих прямих, які проходять через початок координат аба паралельні до осей координат.

6) нормальне рівняння прямої; кут, що утворює перпендикуляр до прямої з додатним напрямом осі абсцис; довжина , тобто відстань точки від прямої.

Рис.8

Щоб звести загальне рівняння прямої до нормального вигляду, треба обидві його частини омножити на нормувальний множник

,

при цьому нормувальний множник має знак, протилежний знаку із загального рівняння.

Нормальне рівняння доцільно використовувати при визначенні відстані від точки до прямої:

.

Приклад 1. Скласти рівняння прямої , що проходить через точки Навести всі можливі форми рівняння.

Розв`язання. Пряма, що проходить через точки і , паралельна до вектора ,тому цей вектор буде її напрямним вектором . Отже можна скласти параметричні і канонічне рівняння відповідно:

і

або .

Якщо використати основну властивість пропорції, одержимо загальне рівняння :

.

Із загального рівняння лего одержати рівняння з кутовим коефіцієнтом:

,

рівняння у відрізках:

і нормальне рівняння :