4. Правило Крамера для розв`язування систем лінійних рівнянь.

Розглянемо систему двох рівнянь з двома невідомими:

Принаймні одне з чисел не дорівнює нулю. Нехай це . Тоді маємо

.

Якщо розв`язок системи існує і має вигляд

Узагальненням цього факту буде так зване

Правило Крамера. Система рівнянь з невідомими, якщо детермінант системи (визначник, складений із коефіцієнтов при невідомих) не дорівнює нулю, має один і тільки один розв`язок

де - визначник, утворений із визначника заміною коефіцієнтів невідомого ( тобто го стовпчика в ) вільними членами системи

Приклад 1. Розв`язати систему рівнянь за методом Крамера:

Розв`язування.

За правилом Крамера маємо

Зауваження. Якщо правило Крамера має більш теоретичне значення тому, що виникає необхідність обчислювати визначників високого порядку, а це займає багато часу.

5. Обернена матриця. Матричний спосіб розв`язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь.

Матрицею , оберненою до квадратної матриці називається така, для якої справедлива рівність

.

Матриця, визначник якої не дорівнює нулю, називається невиродженою.

Для того, щоб дана матриця мала обернену, необхідно і достатньо, щоб вона була невиродженою.

Щоб знайти матрицю , обернену до даної матриці , треба:

а) знайти визначник даної матриці ; якщо , то дана матриця має обернену;

б) скласти матрицю з алгебраїчних доповнень ;

в) транспонувати її;

г) побудувати обернену матрицю за формулою .

Приклад 1. Знайти матрицю, обернену до матриці

.

Розв`язання. Знаходимо визначник

Обчислюємо алгебраїчні доповнення елементів даної матриці:

,

.

Щоб переконатися , що результат вірний , треба переконатися, що :

.

Тепер розглянемо систему лінійних рівнянь з невідомими і запишемо її в матричній формі:

, (5.1)

де , , .

Припустимо, що матриця невироджена, тобто і існує обернена матриця . Помножимо обидві частини рівняння (5.1) на зліва:

Оскільки і , то

.

Приклад 2. Розв`язати матричним способом систему рівнянь

.

Розв`язання. В нашому випадку

.

матриця невироджена і існує обернена .

За формулою (5.1) маємо

.

Отже

6. Ранг матриці. Теорема Кронекера-Капеллі.

У параграфі 3 було введено поняття мінора квадратної матриці. Проте це поняття мінора можна ввести і для прямокутної матриці. Для цього треба з прямокутнї матриці викреслити стільки рядків і стовпчиків, щоб після закреслювання утворювалась квадратна матриця. Її визначник і буде мінором.

Рангом матриці називається найвищий порядок відмінного від нуля мінора цієї матриці.

Для обчислення рангу матриці (позначається ) застосовується метод елементарних перетворень, до яких відносяться:

1. перестановка рядків (стовпців);

2. множення стовпця (рядка) на число, відмінне від нуля;

3. додавання до елементів рядка (стовпця) відповідних елементів іншого рядка (стовпця), попередньо помножених на деяке число.

Елементарні перетворення не змінюють рангу матриці.

Скориставшись цими перетвореннями, матрицю можна привести до діагонального виду. Після цього ранг матриці одержимо як число відмінних від нуля елементів на діагоналі матриці в її діагональному виді.

Приклад 1. Обчислити ранг матриці

Розв`язання. Застосовуючи послідовно елементарні перетворення, дістаємо

Використовуючи поняття рангу матриці, можна з`ясувати питання про сумісність системи лінійних рівнянь, не розв`язуючи її. Для системи (1.1)

- матриця системи,

- розширена матриця..

Теорема Кронекера-Капеллі. Для того щоб система лінійних алгебраїчних рівнянь була сумісною, необхідно і достатньо, щоб ранг матриці системи рівнянь дорівнював рангу розширеної матриці.

Приклад 2.Перевірити систему рівнянь на сумісність .

Розв`язання. За допомогою елементарних перетворень обчислюємо:

, .

Оскільки ранг матриці системи не дорівнює рангу розширеної матриці, за теоремою Кронекера-Капеллі система несумісна.

Векторна алгебра скінченновимірних просторів.