2. Матриці і дії над ними.

Сукупність чисел , записаних у вигляді прямокутної таблиці

називається матрицею.

Елементи матриці мають подвійну нумерацію. Перший індекс вказує номер рядка, другий – стовпчика. Число рядків і стовпчиків вказує на розмір матриці .

Приклад 1. Прогноз погоди в певних містах може бути подано таблицею 1:

Таблиця 1

Характеристика погоди	Міста
	Львів	Одеса	Донецьк	Київ	Чернигів
Температура, ˚С	19	23	25	20	18
Вологість, %	80	89	87	85	90
Тиск, мм рт. ст.	740	750	745	746	730

Числа в таблиці утворюють матрицю розміру .

Матрицю , називають

1) нульовою, якщо всі елементи дорівнюють нулю ;

2) додатною, якщо всі елементи ;

3) від`ємною, якщо всі елементи ;

4) невід`ємною, якщо всі елементи ;

5) квадратною, якщо число рядків її дорівнює числу стовпчиків ( зокрема, елементи називають діагональними);

6) діагональною, якщо вона квадратная і всі елементи, крім діагональних, дорівнюють нулю;

7) одиничною (позначають ), якщо вона діагональная і всі діагональні елементи дорівнюють одиниці;

8) трикутною, якщо всі її елементи під (над) діагоналлю дорівнюють нулю.

Приклад 2.

- невід`ємна і діагональна; одинична матриця.

Дві матриці однаковіх розмірів з одинаковими відповідними елементами називаються рівними між собою.

Добутком матриці на число називається матриця , елементи якої є добутки елементів даної матриці на це число для всіх

Властивості операції множення матриці на число:

1)

2) якщо , то

Сумою двох матриць і називають матрицю , елементи якої обчислюються за формулою для всіх

Властивості операції додавання матриць:

1) (комутативність);

2) (асоціативність);

3) (дистрибутивність);

4) (нейтральність нульової матриці);

Приклад 3. Виконати дії над матрицями

Добутком двох матриць розміру і розміру називається матриця розміру , елемент якої дорівнює сумі добутків елементів го рядка матриці на відповідні елементи -го стовпця матриці :

.

Властивості операції множення матриць:

1)

2)

3) взагалі кажучи;

4)

5)

Приклад 4.

Приклад 5. Систему лінійних рівнянь з невідомими (1.1) можна записати у матричній формі

де , , .

Транспонованою матрицею до матриці називають таку, в якій рядки і стовпчики міняються місцями, і позначають її через

Приклад 6.Для матриці транспонованою буде .

3. Визначники та їх основні властивості.

Квадратній матриці

(3.1)

можна поставити у відповідність певне число, яке називаєься детермінантом або визначником матриці і позначається

. (3.2)

Визначник має порядок, який дорівнює порядку відповідної матриці. Поняття детермінанта вводиться лише для квадратних матриць. Діагональ, що йде із лівого верхнього кута визначника, називається головною, а та, що йде із правого верхнього, - побічною.

Розглянемо деякий елемент матриці квадратної , що стоїть на перетині го рядка та -го стовпця , і побудуємо матрицю го порядку без цього рядка і стовпця. Визначник її називається мінором матриці , що відповідає елементу , і позначається . Алгебраїчним доповненням елемента називається .

Для визначників 2-го і 3-го порядків існують досить прості правила обчислювання, для інших порядків ми дамо спільне правило обчислювання.

1) (3.3)

2)

(3.4)

Для довільного визначник дорівнює сумі добутків елементів деякого рядка (стовпця) на алгебраїчні доповнення цих елементів: , (3.5)

Формули (3.5) називаються розкладом детермінанта за елементами рядка або стовпця і при набувають вигляду (3.3), (3.4).

Приклад 1.

Приклад 2.

Приклад 3.

Властивості визначників.

1. Якщо всі елементи деякого рядка чи стовпчика визначника дорівнюють нулю, то і сам визначник дорівнює нулю.

2. Якщо у визначнику поміняти місцями два сусідні рядки чи стовпчики, то знаки таких визначників будуть протилежними, а їх абсолютні величини рівними.

3. Визначник з двома однаковими рядками чи стовпчиками дорівнює нулю.

4. Якщо всі елементи якого-небудь стовпя (рядка) мають спільний множник, то його можна винести за знак визначника.

5. Визначник, елементи двох стовпців (рядків) якого відповідно пропорціональні, дорівнює нулю.

6. Якщо кожний елемент якого-небудь стовпця (рядка) є сумою двох доданків, то визначник дорівнює сумі двох визначників, у яких стовпцями (рядками) є відповідні доданки, а решта збігається із стовпцями (рядками) заданого визачника.

7. Визначник не зміниться, якщо до елементів якого-небудь його стовпця (рядка) додати відповідні елементи іншого стовпця (рядка), помножені на одне і те саме число.

8. Сума добутків елементів деякого рядка (стовпця) визначника на алгебраїчні доповнення елементів іншого рядка (стовпця) дорівнює нулю.

Приклад 4.

1) 2)

3) 4) 5)

6)

7)