- •Лабораторная работа № 11 динамические модели объектов управления
- •Порядок выполнения работы
- •Теоретические сведения
- •Пример выполнения
- •1. Аналитическое решение
- •2. Численные методы решения Решение с помощью функции odesolve
- •Решение с помощью функции rkfixed
- •Контрольные вопросы
- •Содержание отчета
- •Задания
- •Лабораторная работа № 12 синтез регулятора
- •Порядок выполнения работы
- •Теоретические сведения
- •Пример выполнения
- •Контрольные вопросы
- •Содержание отчета
- •Задания
- •Лабораторная работа №13 синтез компенсаторов перекрестных связей системы
- •Порядок выполнения работы
- •Теоретические сведения
- •Пример выполнения
- •Контрольные вопросы
- •Содержание отчета
- •Задания
- •Библиографический список
Таблица 18
Вариант |
T |
mN |
σN |
Вариант |
T |
mN |
σN |
1 |
200 |
0 |
1 |
14 |
250 |
0 |
1.8 |
2 |
200 |
0 |
1.5 |
15 |
250 |
0 |
2.8 |
3 |
200 |
0 |
2 |
16 |
250 |
0 |
3.8 |
4 |
200 |
0 |
2.5 |
17 |
250 |
0 |
0.8 |
5 |
200 |
0 |
3 |
18 |
250 |
0 |
2.2 |
6 |
200 |
0 |
3.5 |
19 |
250 |
0 |
1.2 |
7 |
300 |
0 |
1 |
20 |
400 |
0 |
3.2 |
8 |
300 |
0 |
1.5 |
21 |
400 |
0 |
1.5 |
9 |
300 |
0 |
2 |
22 |
400 |
0 |
2 |
10 |
300 |
0 |
2.5 |
23 |
400 |
1 |
2.5 |
11 |
300 |
0 |
3 |
24 |
400 |
1 |
3 |
12 |
300 |
0 |
1.7 |
25 |
400 |
1 |
1.0 |
13 |
300 |
0 |
2.7 |
26 |
400 |
1 |
2.0 |
Лабораторная работа № 11 динамические модели объектов управления
Цель работы: изучение методов получения и исследования динамических характеристик объектов управления с использованием инструментальных средств Mathcad.
Порядок выполнения работы
Изучить математическую модель смешения двух компонентов и построить для линеаризованной системы дифференциальных уравнений графическое отображение динамики процесса для измеряемых и не измеряемых выходов.
Решения найти при нулевых начальных условиях и различных входных воздействиях:
аналитическим способом;
одним из численных методов, реализованным в виде процедуры Mathcad.
Теоретические сведения
Среди методов получения математических моделей объектов управления наиболее распространенными являются:
экспериментальные или активные [10, 12], заключающиеся в подаче на входы объекта воздействий определенной формы (ступенчатых, импульсных, гармонических) и анализе полученных откликов;
пассивные, основанные на использовании результатов опытной эксплуатации;
аналитические;
комбинированные.
Экспериментальное исследование динамики объектов с целью получения переходных процессов (кривых разгона) или частотных характеристик связано с существенными материальными затратами и не всегда возможно в необходимых интервалах изменения входных воздействий. Последний недостаток присущ также и пассивному методу. Более широкими возможностями обладает метод аналитического описания, но в большинстве случаев проблема его получения для технологических объектов достаточно сложная, так как движение материальных потоков описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, уравнения материальных и тепловых балансов, фазовых переходов также нелинейные, физические величины, используемые в описании процессов тепло- и массообмена зависят от многих факторов и не всегда известны на стадии разработки системы управления. Их уточнение возможно в процессе эксплуатации объекта или предварительного его активного исследования (комбинированный метод).
Рассмотрим задачу аналитического получения математического описания объекта на примере смесителя двух компонентов. На рис. 60 представлена схема смешения. Емкость, в которой происходит непрерывное перемешивание поступающих потоков жидкостей имеет объем V. Первый поток имеет расход и концентрацию . Второй поток имеет расход и концентрацию . После смешения на выходе из емкости общий расход жидкости составляет , а концентрация вещества – , – уровень жидкости.
Рис. 60. Схема смешения
Составим уравнения баланса масс, которые имеют вид:
(59)
где [м3/с] – потоки, которые поступают в бак с концентрациями [кмоль/с] соответственно, а выходной поток имеет расход [м3/с] и концентрацию [кмоль/с]. Расход выходного потока зависит от высоты столба жидкости [м] в соответствии с законом истечения:
, (60)
где [м2/с] – экспериментальная константа; [м2] – площадь поперечного сечения бака.
Подставляя это выражение в (59) получаем нелинейную модель смешения:
В установившемся состоянии, полагая в (59) производные равными нулю, получаем:
(61)
Аналогично вместо (60) в установившемся состоянии будем иметь:
. (62)
При заданных эти уравнения можно разрешить относительно .
Предположим, что возникли небольшие отклонения относительно установившегося состояния. Тогда можно записать:
(63)
Здесь u1(t), u2(t) [м3/с] естественно рассматривать как входные переменные относительно отклонений, а х1(t) [м3], х2(t) [кмоль/с] соответственно как переменные состояния.
Задача состоит в исследовании динамики процесса смешения и его поведения при использовании различных законов регулирования. В дальнейшем рассматривается процесс при небольших отклонениях от установившегося состояния. Учитывая что величина потока F(t) имеет нелинейную зависимость, определенную выражением (60), целесообразно провести линеаризацию. Из (60) и (62) имеем, с учетом третьего соотношения в (63):
(64)
где [с] – постоянная времени объекта.
Подставляя (63) и (64) в уравнения баланса (58), получаем линеаризованную систему уравнений в виде
, (65)
. (66)
Исключая из (66) с помощью (65), полученную систему уравнений можно представить в матричном виде
.
Здесь x(t)=( а . Для более полного описания введем выходные переменные, которые непосредственно доступны для измерения.
В данном случае положим
,
.
В матричном виде это выражение можно записать:
В результате получаем линеаризованную математическую модель смешения, которую можно записать в виде:
, (67)
(68)
Здесь матрицы А, В и С определены следующими выражениями:
, , .
Решение линейного дифференциального уравнения (67) подставляем в (68) и в результате получаем выражение относительно выходной переменной , которое описывает динамическую связь между измеряемым входом и выходом системы.