- •Тема: кратные интегралы
- •Двойной интеграл обозначается
- •4. Некоторые свойства двойного интеграла.
- •Тройной интеграл обозначается
- •10 Некоторые свойства тройного интеграла.
- •11. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах.
- •13. Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода.
- •14. Криволинейный интеграл 2-го рода.
- •17. Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода.
- •19. Вычисление поверхностных интегралов первого рода.
13. Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода.
Пусть кривая L задана параметрическими уравнениями
x = (t), y= (t), ≤ t ≤,
где (t), (t) непрерывно дифференцируемые на отрезке [, ] функции. Тогда
. (17)
Пусть кривая L задана явно уравнением
y=g (x), a≤ x ≤b,
где g (x) непрерывно дифференцируемая на [a, b] функция. Тогда
. (18)
Рисунок
13
Решение. Параметрическое уравнение данной кривой L имеет вид x = 2cost , y=2sint, 0 ≤ t ≤/2. Положив
применим формулу (17). Сначала вычислим
.
Далее .
Теперь по формуле (17) имеем
Рисунок
14
Решение. Кривая ОА приведена на рисунке 14. Положим
По формуле (23) имеем
14. Криволинейный интеграл 2-го рода.
Рассмотрим ориентированную незамкнутую кривую L = АВ в плоскости хОу с началом в точке А и концом в точке В; z=f (x,y) функция, определенная на кривой L. Разобьем кривую L последовательными точками
А0=А, А1, А2, . . . , Аn=В
на дуги 1= А0А1, 2= А1А2, . . . , n= Аn-1Аn и на дуге i выберем произвольную точку Мi(ti , si) (i = 1, 2, . . . , n) (рис. 15). Обозначим xi = xi xi1 , yi = yi yi1, а наибольшую из длин дуг i (i = 1,2, . . . , n).
Составим интегральную сумму функции f (x,y) по кривой L относительно х
Определение. Предел , если он существует, называется криволинейным интегралом 2-го рода от функции f (x,y) по кривой L относительно х и обозначается
(19)
Рисунок
15
Некоторые свойства криволинейного интеграла 2-го рода. Для криволинейных интегралов 2-го рода выполняются свойства линейности и аддитивности (см. аналогичные свойства для тройного интеграла в п. 10).
Свойство антиориентированности
.
Это свойство связано с тем, что при изменении направления обхода кривой все приращения xi и, следовательно, интегральная сумма Sx изменяют знак.
Аналогично определяется криволинейный интеграл 2-го рода от функции g(x,y) по кривой L относительно у
, (20)
Где .
Пусть на ориентированной кривой L определены две функции и . Тогда сумма интегралов (19) и (20) называется общим криволинейным интегралом 2-го рода от функций и по кривой L и обозначается
(21)
Замечание. Криволинейный интеграл 2-го рода аналогично определяется и для пространственной ориентированной кривой.
17. Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода.
Пусть ориентированная кривая L задана параметрическими уравнениями
x = (t), y= (t), ≤ t ≤,
где (t), (t) непрерывно дифференцируемые на отрезке [, ] функции. Тогда
. (23)
Пределы интегрирования выбираются в соответствии с ориентацией кривой L: если ориентации кривой L соответствует изменение параметра t от до , то в формуле (23) выбирается первый вариант пределов интегрирования. В противном случае в (23) нужно выбирать вариант пределов интегрирования в скобках.
Пусть кривая L задана явно уравнением , , где непрерывно дифференцируемая на отрезке [a, b] функция. Тогда
. (24)
Пределы интегрирования выбираются в соответствии с ориентацией кривой L.
Пусть кривая L задана явно уравнением , , где непрерывно дифференцируемая на отрезке [a, b] функция. Тогда
. (25)
Примеры. 11) Вычислить , где кривая ВА дана из рис.13.
Решение. Положим , и применим формулу (23). При этом учтем, что при движении по кривой от точки В до точки А параметр t изменяется от /2 до 0.
.
12) Вычислить , где кривая ОА дана на рис. 14.
Решение. Кривая ОА задается уравнением Положив
,
применим формулу (23), при этом учтем тот факт, что при движении по кривой от точки О до А переменная x меняется от 0 до 4.
13) Вычислить где L замкнутая кривая ОВАО из рис. 13.
Решение. Кривая L состоит из линий ОВ, ВА и АО. По свойству аддитивности
. (26)
Отрезок ОВ задается уравнением при . Значит, dy = 0.Тогда по формуле (24)
.
Отрезок ВA задается уравнением при . Тогда dх = 0 и по формуле (25) имеем
.
Кривая АО задается уравнением при изменении значения у от 4 до 0. Значит, и по формуле (25) получаем
.
Подставив вычисленные интегралы в (26), получаем
Задача 9. Вычислить криволинейный интеграл первого рода.
9.1. , L: , . 9.2. , L: , .
9.3. , L: , . 9.4. , L: , .
9.5. , L: , . 9.6. , L: , .
9.7. , L: , . 9.8. , L: , .
9.9. , L: , . 9.10. , L: , .
9.11. , L: , . 9.12. , L: , .
9.13. , L: , . 9.14. , L: , .
9.15. , L: , . 9.16. , L: , .
9.17. , L: , . 9.18. , L: , .
9.19. , L: , . 9.20. , L: , .
9.21. , L: , . 9.22. , L: , .
9.23. , L: , . 9.24. , L: , .
9.25. , L: , . 9.26. , L: , .
9.27. , L: , . 9.28. , L: , .
Задача 10. Вычислить криволинейный интеграл второго рода.
10.1. , L – дуга параболы y = x2 от точки А(1,1) до точки В(2,4).
10.2. , L отрезок прямой, соединяющий точки (0,0) и (4,8).
10.3. L ломаная ОАВ: А(2,0), В(4,2), О – начало координат.
10.4. , L отрезок прямой, соединяющий точки (0,6) и (3,0).
10.5. , L – дуга кривой от точки (0,0) до точки (2,8).
10.6. , L отрезок прямой, соединяющий точки (0,) и (,0).
10.7. L ломаная ОВА: О(0,0,0), В(0,2,0), А(0,2,1).
10.8. , L отрезок прямой, соединяющий точки (0,0) и (1,1).
10.9. , L дуга кривой от точки (0,0) до точки (1,1).
10.10. , L – винтовая линия , , .
10.11. , L дуга кривой от точки (0,0) до точки (1,1).
10.12. , L отрезок прямой, соединяющий точки (0,0) и (π, 2 π).
10.13. , L – участок винтовой линии , от точки (2,0) до точки (0,3).
10.14. , L дуга кривой от точки (0,0) до точки (1,1).
10.15. , L отрезок прямой, соединяющий точки (0,0) и (1,1).
10.16. , L треугольник, образованный прямыми , , .
10.17. , L дуга линии , .
10.18. , L дуга кривой , , .
10.19. , L отрезок прямой от А(2,1,0 1) до В (4,3,1).
10.20. , L треугольник, образованный осями координат и прямой .
10.21. , L дуга кривой , .
10.22. , L дуга кривой , , .
10.23. , L отрезок прямой от А(1, 0, 0) до В(1, 1, 1).
10.24. , L дуга кривой от точки (0,1) до точки (1,е).
10.25. , L отрезок прямой от А(1,2,1) до В (3,3,2).
10.26. , L отрезок прямой от А(1,0,2) до В (2,-1,0).
10.27. , L дуга кривой , .
10.28. , L дуга кривой от точки (0,0) до точки (1,1).
18. Поверхностный интеграл первого рода (по площади поверхности). Пусть в точках кусочно-гладкой поверхности с кусочно-гладкой границей определена ограниченная функция . Разобьем поверхность на части и составим интегральную сумму
, (26)
где – площадь ячейки . Пусть – наибольший диаметр ячеек . Рассмотрим такую последовательность разбиений , что . Если при этом последовательность стремится к конечному пределу , независящему от способа дробления поверхности и выбора точек , то число называется поверхностным интегралом первого рода от функции и обозначается
. (27)
Свойства поверхностных интегралов первого рода:
1). .
2). Линейность,
3.) Аддитивность.