Тройной интеграл обозначается
. (13)
Замечание. Интегральная сумма S зависит от способа разбиения области Ω и выбора точек Pk (k=1, …, n). Однако, если существует предел , то он не зависит от способа разбиения области Ω и выбора точек Pk . Если сравнить определения двойного и тройного интегралов, то легко увидеть в них полную аналогию.
Достаточное условие существования тройного интеграла. Тройной интеграл (13) существует, если функция f(x, y, z) ограничена в Ω и непрерывна в Ω, за исключением конечного числа кусочно-гладких поверхностей, расположенных в Ω .
10 Некоторые свойства тройного интеграла.
1) Линейность.
Аддитивность.
Объем V(Ω) кубируемого тела Ω равен
. (14)
11. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах.
Пусть D проекция тела Ω на плоскость xOy, поверхности z=φ1(x, y), z=φ2(x, y) ограничивают тело Ω снизу и сверху соответственно (рис. 10). Это значит, что
Рисунок
10 Рисунок
11
D,
φ1(x,
y)
≤ z ≤ φ2(x,
y)}
. Такое
тело назовем z-цилиндрическим.
Тройной интеграл (13) по z-цилиндрическому
телу Ω вычисляется
переходом к повторному интегралу,
состоящему из двойного и определенного
интегралов:
(15)
В этом повторном интеграле сначала вычисляется внутренний определенный интеграл по переменной z, при этом x, y считаются постоянными. Затем вычисляется двойной интеграл от полученной функции по области D.
Если Ω x-цилиндрическое или y-цилиндрическое тело, то верны соответственно формулы
В первой формуле D проекция тела Ω на координатную плоскость yOz, а во второй на плоскость xOz
Примеры. 8)
Тело Ω
ограничено
поверхностями
,
,
,
,
.
Вычислить
Решение. Тело Ω
изображено
на рис.11. Плоскости
,
ограничивают
тело соответственно снизу и сверху,
плоскости
,
ограничивают тело соответственно сзади
и спереди, а плоскость
ограничивает справа. Ω
– z-цилиндрическое
тело, его проекцией D
на плоскость хОу
является
прямоугольник ОАВС.
Положим
,
и применим
формулу (15):
.
Задача 7. Вычислить.
7.1.
7.2.
7.3.
7.4.
7.5.
7.6.
7.7.
7.8.
7.9.
7.10.
7.11.
7.12.
7.13.
7.14.
7.15.
7.16.
7.17.
7.18.
7.19.
7.20.
7.21.
7.22.
7.23.
7.24.
7.25.
7.26.
7.27.
7.28.
Задача 8. Вычислить.
8.1.
8.2.
8.3.
8.4.
8.5.
8.6.
8.7.
8.8.
8.9.
8.10.
8.11.
8.12.
8.13.
8.14.
8.15.
8.16.
8.17.
8.18.
8.19.
8.20.
8.21.
8.22.
8.23.
8.24.
8.25.
8.26.
8.27.
8.28.
12. Криволинейный интеграл 1-го рода. Мы рассмотрим в основном криволинейные интегралы по плоским кривым. В дальнейшем под кривой будем понимать кусочно-гладкую кривую.
Пусть L = АВ незамкнутая кривая в плоскости хОу с концевыми точками А, В; z=f (x,y) функция, определенная на кривой L. Разобьем кривую L последовательными точками
А0=А, А1, А2, . . . , Аn=В
на
дуги 1=
А0А1,
2=
А1А2,
. . . , n=
Аn-1Аn.
На дуге i
выберем
произвольную точку Мi
(ti
,
si)
(i
= 1,2, . . . , n)
(рис. 12). Обозначим li
длину
дуги i
, а
.
Составим интегральную сумму функции f (x,y) по кривой L
Рисунок
12
Определение.
Предел
,
если он существует, называется
криволинейным
интегралом 1-го
рода от
функции f
(x,y)
по кривой L
и обозначается
(16)
Теорема (достаточное условие существования интеграла). Если функция f (x,y) непрерывна на кривой L за исключением, быть может, конечного числа точек и ограничена на L, то криволинейный интеграл 1-го рода (16) существует.
Некоторые свойства криволинейного интеграла 1-го рода. Для криволинейных интегралов 1-го рода выполняются свойства линейности и аддитивности (см. аналогичные свойства для тройного интеграла в п. 10).
L=
,
где L
длина кривой L.Криволинейный интеграл 1-го рода (20) не зависит от ориентации кривой L. Это значит, что интеграл не зависит от того, какая из концевых точек А и В является начальной точкой кривой.
Замечание. Криволинейный интеграл 1-го рода аналогично определяется и для пространственной кривой.