5. Числовые характеристики случайных величин
Законы распределения случайной величины достаточно полно характеризуют случайную величину. Однако невсегда требуется знание закона распределения. В ряде случаев поставленную задачу можно бывает решить, обойдя законы распределения, при помощи отдельных величин, характеризующих случайную величину с той или иной стороны, называемых числовыми характеристиками. Скажем, иногда достаточно знать “среднее значение”, около которого группируются значения случайной величины или знать, как и насколько разбросаны значения случайной величины относительно “средней”. Роль числовых характеристик очень велика в теории вероятностей и математической статистике, поскольку многие задачи удается решить исчерпывающе, не используя законы распределения, а оперируя лишь только числовыми характеристиками.
1. Числовые характеристики дискретных случайных величин
Пусть дискретная случайная величина X дана таблицей
X |
|
|
... |
|
P |
|
|
... |
|
Допустим, что число возможных значений n конечно. Математическим ожиданием случайной величины Х называется сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности, т.е.
.
Случайная величина X - M (X) называется отклонением случайной величины Х от ее математического ожидания.
Дисперсия случайной величины определяется следующим образом
.
Справедлива следующая удобная формула для практического вычисления дисперсии случайной величины
.
2. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, имеющей плотность распределения f(x), называется число
,
а ее дисперсией называется число
.
Из определения ясно, что для дисперсии справедлива формула
.
Отсюда можно получить следующую более удобную для вычисления формулу
.
3. Свойства математического ожидания случайной величины
1. Математическое ожидание постоянной равно самой этой постоянной.
2. Математическое ожидание произведения постоянной величины на случайную величину равно произведению этой постоянной на математическое ожидание случайной величины.
3. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий этих случайных величин.
4. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий
4. Свойства дисперсии случайной величины
.
То есть дисперсия случайной величины
неотрицательна.Дисперсия постоянной величины равна нулю.
Постоянный множитель выносится за знак дисперсии, возводя в квадрат.
D (X + C) = D (X), где С- любое вещественное число.
Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих случайных величин.
Замечание. Указанные свойства математического ожидания и дисперсии справедливы как для дискретных случайных величин, так и для непрерывных случайных величин.
Среднеквадратическое отклонение случайной величины Х определяется так:
.
Величина
называется коэффициентом вариации случайной величины.