3.3. Случайные величины

1. Понятие случайной величины.

Нередко встречаются опыты, в результате которых случайным образом могут появиться числа. Например, при бросании игрального кубика появятся одно из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6. Однако заранее какое число появится мы предвидеть не можем. Здесь мы имеем дело со случайной величиной. Каждому исходу опыта ставится в соответствие определенное значение к = 1,2,...,6. Или скажем число появлений герба при n бросаниях монеты. При этом рассматриваемая величина может принимать значения 0,1,2, ....,n случайным образом. Под случайной величиной можно понимать переменную величину, принимающую в результате эксперимента то или иное значение, причем заранее неизвестное, какое значение она примет. Или можно сказать, что случайная величина – это функция, заданная на множестве исходов данного опыта. То есть, каждому исходу опыта ставится в соответствие единственное число , которое называется значением случайной величины на исходе опыта и записывают так: . При этом некоторые значения могут совпадать, если же все значения совпадают, то рассматриваемая величина является постоянной.

Функция F(x) , определенная для любого следующим образом:

F(x) = P(X ), называется функцией распределения вероятностей случайной величины Х. Иногда F(x) называют интегральной функцией случайной величины.

Свойства функции распределения вероятностей:

1. 

2. F(x) - неубывающая функция, непрерывная справа:

3. 

4. .

2. Дискретные случайные величины

Случайную величину будем называть дискретной, если она принимает конечное или счетное множество значений.

В качестве примеров дискретных случайных величин отметим следующее: число остановов ткацкого станка за время Т; число очков, выпавших при бросании игрального кубика; число попаданий при 10 выстрелах и т.д.

Чтобы определить дискретную случайную величину Х достаточно указать ее возможные значения и их вероятности поскольку события ,i=1,,...,n образуют полную группу событий.

Закон распределения дискретной случайной величины можно задать таблично

X			...
P			...

В первой строке выписаны возможные значения случайной величины Х в порядке возрастания, во второй - их вероятности. Закон распределения случайной величины Х можно определить полигоном вероятностей, т.е. сначала строят точки в координатной плоскости ХОР, при этом по оси ОХ откладывают возможные значения случайной величины Х, а вдоль вертикальной оси ОР – соответствующие вероятности. И, наконец, закон распределения случайной величины можно задать аналитически, т.е. при помощи функции распределения F(x) = P(X ). При этом в любой точке х значение функции распределения F(x) равно сумме вероятностей возможных значений случайной величины Х, удовлетворяющих условию .т.е.

.