2.4. Пространственные группы и кристаллические классы.

Таким образом, пространственные группы наиболее полно характеризуют симметрию внутреннего строения кристаллов. Как показал в 1890 году на основе геометрических соображений русский кристаллограф и минералог Е.С.Федоров, может существовать всего 230 различных пространственных групп, которые распределяются по кристаллическим системам следующим образом: кубическая — 36, тетрагональная — 68, гексагональная — 27, ромбоэдрическая — 59, моноклинная — 13, триклинная — 2, ромбическая — 25.

Среди 230 пространственных групп 11 пар отличаются только направлением вращения винтовых осей, это — энантиоморфные группы. По-видимому, не все пространственные группы Федорова реализуются в природе, так как для 53 групп пока не найдено ни одного кристалла.

В ряде случаев кристаллические тела рассматривают как сплошные среды (континуум), характеризующиеся определенными макроскопическими параметрами. В учении о кристаллах континуум следует рассматривать как предельный случай кристаллической решетки. Однако континуум обладает свойствами однородности и анизотропии.

Однородность означает, что все точки среды совершенно идентичны.

Анизотропия означает, что свойства кристаллов в различных направлениях разные. Но в некоторых направлениях они могут быть одинаковыми. Тогда говорят о наличии симметрии кристалла, рассматриваемого как континуум. Специфичность континуума состоит в том, что в нем исчезает разница между простыми и винтовыми осями симметрии, а также между простыми плоскостями симметрии и плоскостями зеркального скольжения.

Для континуума остаются только следующие элементы симметрии: центр, плоскость, поворотные и зеркально-поворотные оси симметрии. Совокупность всех этих элементов симметрии кристаллической решетки, как континуума, называется ее классом.

Могут существовать 32 кристаллических класса: кубическая — 5, тетрагональная — 7, гексагональная — 7, ромбоэдрическая — 5, ромбическая — 3, моноклинная — 3, триклинная — 2.

2.5 Обозначение узлов, плоскостей и направлений в кристалле.

Анизотропия кристаллов приводит к необходимости введения определенной системы в обозначении узлов, узловых плоскостей и направлений в кристалле.

Выберем систему координат, оси которых совпадают с тремя ребрами элементарной кристаллической ячейки, начало координат находится в одном из узлов решетки, в котором пересекаются эти ребра, а осевые единицы соответствуют длине ребер кристаллической ячейки. Т.е. масштаб по оси x будет а, по оси y — b и по z — c.

Рисунок 2.22 – Система координат элементарной кристаллической ячейки

Разномасштабность осей координат вполне оправдывает себя, так как позволяет ввести наиболее рациональную систему индексов.

Индексы узлов записываются в двойных квадратных скобках [[mnp]]. Для отрицательных индексов над буквой ставится знак минус, например, .

Узловой линией называется прямая, на которой расположено бесконечное множество атомов. Для указания направления какой-либо узловой линии кристаллической решетки достаточно указать разности координат двух соседних идентичных узлов, лежащих на этой линии. Первый узел обычно помещают в начале координат (для чего достаточно через начало координат провести прямую, параллельную рассматриваемому направлению). Полученные таким путем целые числа называют индексами направлений и заключают в квадратные скобки [mnp]. Индексы направлений задают не одну прямую в кристалле, а семейство параллельных прямых. Изменение всех индексов на обратные по знаку означает то же самое направление в кристалле. Все направления данного типа обозначаются .

Кристаллической или узловой плоскостью называется всякая плоскость, в которой находится бесконечное множество атомов решетки. Положение любой плоскости в пространстве определяется тремя точками. В выбранной системе координат удобно в качестве трех опорных точек взять точки пересечения заданной плоскости с осями координат.

Пусть определяемая узловая плоскость пересекает оси координат в точках А, В и С, и отсекает по осям отрезки длиной m, n, p, выраженные в осевых единицах (m = OA/a; n = OB/b; p = OC/c). Составим отношение обратных величин осевых отрезков 1/m : 1/n : 1/p и выразим его через отношение трех наименьших чисел h, k, l, т.е. h:k:l=1/m:1/n:1/p.

Для нахождения индексов h, k, l нужно отношение 1/m:1/n:1/p привести к наименьшему общему знаменателю и отбросить его. Тройку чисел (h k l) называют индексами Миллера.

Если плоскость параллельна одной из осей, то соответствующий индекс Миллера равен нулю. Если плоскость пересекает ось при отрицательном значении координаты, то над соответствующим индексом ставят знак минус.

Индексы Миллера (h k l) задают не какую-то определенную плоскость, а семейство параллельных плоскостей, т.е. они определяют кристаллографическую ориентацию плоскости. Совершенно очевидно, что плоскости (hkl) и принадлежат одному семейству (они параллельны).

Для кубической системы (см. рисунок 2.23) грань куба (100), (010), (001) называется плоскостью куба; плоскость (110), проходящая через диагонали граней, называется плоскостью ромбического додекаэдра; а плоскость (111) называется плоскостью октаэдра.

Некоторые плоскости, различающиеся по индексам Миллера, являются эквивалентными в кристаллографическом и физическом смысле. Например, в кубической системе эквивалентными являются грани куба (100), (010), (001), . Кристаллографическая эквивалентность их проявляется в том, что эти плоскости совмещаются друг с другом при повороте вокруг одной из осей координат на угол, кратный 90⁰. Физическая эквивалентность заключается в том, что все эти плоскости обладают одинаковой структурой в

Рисунок 2.23 – Пример плоскостей для кубической системы

расположении узлов решетки, а, следовательно, и одинаковыми физическими свойствами. Семейство эквивалентных плоскостей обозначается фигурными скобками. Символом {100} обозначается все семейство граней куба (100), (010) и т.д.

Отметим, что в кубической системе направление [mnp] перпендикулярно плоскости (h k l), если h = m, k = n, l = p. В кристаллах более низкой симметрии эта закономерность не соблюдается.

Индексы Миллера применяются для всех кристаллических систем, кроме гексагональной. Кристаллы гексагональной системы описываются с помощью четырех осей координат X, Y,U, Z , представленных на рисунке 2,24.

Оси X, Y,U имеют одинаковый осевой масштаб, лежат в одной плоскости и расходятся из начала координат под углом 120⁰. В гексагональной системе

Рисунок 2.23 – Оси координат гексагональной системы

применяются индексы Миллере - Браве. Принцип их нахождения аналогичен построению для нахождения индексов Миллера, а именно, если плоскость отсекает осевые отрезки m, n, q, p, то индексы Миллера - Браве h, k, i, l могут быть найдены из равенства: h:k:i:l =1/m:1/n:1/q:1/p.

Вследствие того, что оси X, Y и U лежат в одной плоскости, то имеется закономерность: і = - (h + k).

Индексы Миллера – Браве применяют для того, чтобы отразить особенности симметрии гексагональной системы. Обозначение направлений по четырехкомпонентной символике составляет значительные трудности и применяется очень редко. Направления в гексагональной решетке обычно выражаются по трехкомпонентной системе индексов.