5.2 Образование энергетических зон
5.2.1 Приближение слабо связанных электронов
Будем рассматривать кристаллы, образованные атомами со слабо связанными валентными электронами.
С
уменьшением расстояния между атомами
высота потенциальных барьеров понижается
и может реализоваться ситуация, когда
высокий энергетический уровень электрона
в изолированном атоме окажется выше,
чем высота потенциального барьера. При
этом движение электрона (см. рис. 5.2) –
надбарьерное (вероятность отражения
не равна нулю). Валентные электроны
оказываются почти свободными. Совокупность
свободных электронов называется
электронным газом.
Рисунок 5.2 – Иллюстрациянадбарьерного движения єлектрона
Вообще говоря, вследствие уменьшения толщины и высоты потенциального барьера при сближении атомов свободу перемещения по кристаллу получают не только валентные электроны, но и электроны, расположенные на других уровнях атомов. Перемещение происходит путем туннельного перехода сквозь барьеры, отделяющие соседние атомы.
Для
почти свободных электронов периодический
потенциал решетки играет роль малого
возмущения. Очевидно, что волновые
функции
электронов мало отличаются от волновых
функций свободных электронов (от волн
де Бройля). Эта ситуация сохраняется
для всех значений волнового вектора
,
кроме значений
,
лежащих на границах зон Бриллюэна. При
выполнении условия Лауэ
рентгеновское излучение отражается от
кристаллической решетки. Для одномерной
решетки условие Лауэ имеет вид:
,
(5.17)
,
(5.18)
т.е.
если
(
),
то для таких значений k
рентгеновская волна полностью отражается
от кристалла.
Аналогичная
ситуация имеет место и при распространении
упругих волн: при k
=
± π/a
бегущая
волна в кристалле отсутствует (групповая
скорость равна нулю). Обобщая, можно
сделать вывод,
что и электронные волны будут полностью
отражаться на границе зон Бриллюэна.
Таким образом, если
,
то электроны в кристалле описываются
плоскими волнами, т.е. ведут себя подобно
свободным электронам, при
электронные волны отражаются, что
означает, что в кристалле существует
область энергий, соответствующая
границам зон Бриллюэна, которые электрон
не может принимать.
Для свободного электрона
.
(5.19)
Точка
эквивалентна нулю, аналогично, точка
эквивалентна нулю. Малым k
соответствуют большие длины волн, λ>>а.
В этом случае волна "не чувствует"
неоднородности потенциала.
Если
,
то в эквивалентных точках решетки
волновые "колебания" противофазные,
чего принципиально быть не может. Такой
способ представления электронных
уровней в периодическом потенциале
называется схемой расширенных зон (см.
рис. 5.3).
Рисунок 5.3 – Схема расширенных зон
Можно задавать все уровни посредством волновых векторов k из первой зоны Бриллюэна. Для этого нужно перенести кусочки кривых в первую зону, проделав смещение на векторы обратной решетки. Такое направление называется схемой приведенных зон.
Области
значений энергии, которые может принимать
электрон, называется разрешенными.
Область значений энергии, которые
электрон принимать не может, называется
запрещенными
зонами.
В пределах каждой из разрешенных зон
значения
k лежат
в диапазоне от
до
(см. рис. 5.4).
Рисунок 5.4 – Уровни энергии в схеме рпиведенных зон
Разрешенная зона представляет собой совокупность близко расположенных энергетических уровней, отличающихся значением волнового вектора k. Количество значений k равно числу атомов в кристалле. Таким образом, энергия электронов в кристалле зависит от двух квантовых чисел:
,
(5.20)
где k – волновой вектор;
n – номер энергетической зоны.
Одному и тому же значению k из первой зоны Бриллюэна отвечают разные значения E, принадлежащие разным энергетическим зонам. Наличие в пределах разрешенных зон N близко расположенных подуровней обусловлено снятием вырождения. Значение является решением стационарного уравнения Шредингера в одноэлектронном приближении:
(5.21)
где
(для одномерного кристалла).
Потенциал
представляют в виде:
.
(5.22)
где
- коэффициенты разложения.
Решение уравнения находят в виде пакета функций Блоха:
.
(5.23)
Подстановкой
в уравнение Шредингера переходят от
дифференциального уравнения к
алгебраическому с неизвестными
константами
.
Решение системы алгебраических уравнений
приводит к собственным значениям
энергии, зависящим от двух квантовых
чисел n
и k.
5.2.2 Приближение сильно связанных электронов
Считаем, что валентные электроны сильно связаны с ядром, при этом потенциал V рассматривается как малое возмущение, налагаемое на электроны в изолированных атомах. Волновые функции электронов в кристаллах мало отличаются от волновых функций в изолированных атомах.
Состояния
системы при
является N-кратно
вырожденным. По мере уменьшения r
вырождение снимается и каждый из уровней
изолированного атома расщепляется на
N
близко расположенных подуровней. При
достаточном сближении атомов энергетические
зоны, возникающие из разных атомных
уровней, могут расшириться настолько,
что оказывается возможным их перекрытие
(см. рис. 5.5).
Отметим, что в настоящее время разработано несколько методов расчета зонной структуры.
Рисунок 5.5 – Расщепление уровней и образование єнергетических зон при сближении атомов
Первая модель используется для описания металлов, а вторая – валентных кристаллов.