2.2 Кристаллическая решётка

2.2.1 Пространственная решетка.

В кристалле твердого тела существует упорядоченное расположение составляющих его частей, которое основано на периодическом трехмерном повторении элементарных объектов.

В идеальных кристаллах атомы занимают постоянные позиции. Каждая произвольно выбранная частица строго упорядоченным образом окружена другими частицами (см. рис. 2.8). Однако это условие не может быть реализовано, так как кристаллы даже при абсолютном нуле температуры имеют определенную энергию. Из-за наличия нулевой энергии не существует постоянных атомных положений. При более высоких температурах колебания атомов относительно положения равновесия усиливаются. При изучении структуры кристаллов обычно пренебрегают этими колебаниями и рассматривают только положения равновесия.

а

c b

а

а

а

а

c b

а

а

а

Рисунок 2.8 – Идеальная кристаллическая решетка

М одель реального кристалла — кристаллическая (пространственная) решетка. Построение кристаллической решетки можно осуществить путем периодической трансляции атома (символически изображаемого точкой) вдоль координатных осей. При перемещении исходного атома на трансляционный вектор а получится ряд точек, называемый одномерной решеткой. Перемещение во втором направлении соответствует вектору трансляции b, при этом получается двухмерная решетка. При трансляционном перемещении атома по третьей оси образуется трехмерная или пространственная решетка.

Таким образом, вводят три вектора трансляций кристаллической решетки — a, b и с. Вектор Т, определяющий положение в пространстве любого узла кристаллической решетки относительно другого такого же узла и создающий всю кристаллическую решетку, задается равенством:

, (2.5)

где n₁, n₂, n₃ – произвольные целые числа.

Вектор называется вектором прямой решетки (вектором трансляции).

В екторы a, b, c определяют элементарную ячейку (см. рис. 2.9). Элементарная ячейка, содержащая только один узел решетки, называется примитивной. Выбор векторов a, b, c и, следовательно, элементарной ячейки не является однозначным.

a)

б)

в)

a, б – примитивные ячейки; в – сложная (двойная) ячейка

Рисунок 2.9 – Элементарные ячейки

Различают простые решетки (решетки Браве) и решетки с базисом. Если в ячейке находится один атом, то можно совместить узел решетки с этим атомом. В этом случае решетка называется решеткой Браве.

Ячейку можно построить таким образом, чтобы она была центрально — симметричной (ячейка Вигнера-Зейтца). При этом она захватывает области пространства, наиболее близко расположенные к данному узлу. Ячейка Вигнера-Зейтца строится следующим образом: необходимо разделить пополам прямые, соединяющие узел решетки с соседними узлами, перпендикулярными к ним плоскостями (см. рис. 2.10). Полученная таким образом ячейка является ячейкой наименьшего объема.

Рисунок 2.10 – пример построения ячейки Вигнера – Зейтца

Если в ячейке находятся несколько атомов, решетку можно представить в виде нескольких простых решеток, вставленных друг в друга (см. рис. 2.11).

Рисунок 2.11 – Пример решетки с базисом

При этом решетка описывается векторами a, b, c и базисными векторами , определяющими смещение дополнительных простых решеток относительно решетки с векторами a, b, c. Решетка такого вида называется решеткой с базисом. Такие структуры описывают либо несколькими простыми решетками, смещенными по определенному закону, либо решеткой с базисом (базис составляют различные атомы). Примером может служить решетка алмаза (трехмерная решетка с базисом).

2.2.2 Кристаллические системы

Помимо трансляционной симметрии кристаллическая решетка может обладать и другими элементами симметрии, например, центром симметрии. По симметрии примитивных решеток все кристаллы разделяются на семь кристаллических систем (под симметрией понимается точечная симметрия).

Основы изучения геометрии кристаллов были разработаны в 1848 году французским кристаллографом О. Браве. Им было отмечено, что из всякой примитивной ячейки, за исключением гексагональной, можно выделить параллелепипед, содержащий все те элементы симметрии (за исключением трансляционных), что и решетка в целом. Наименьший из таких параллелепипедов называется параллелепипедом Браве. Браве доказал, что могут существовать 6 типов примитивных решеток, для которых параллелепипед Браве — примитивный. Если к ним присоединить гексагональную решетку, то получится 7 типов решеток, охватывающих все возможные комбинации элементов симметрии решеток Браве. Центрирование граней и объемов параллелепипедов Браве не изменяет симметрию решетки. Однако оно приводит к появлению еще 7 новых типов решеток Браве. Таким образом, существует 14 типов решеток Браве, распределяющихся по 7 кристаллическим системам (сингониям).

Кубическая система. Решетки этой системы наиболее симметричны. Параллелепипедом Браве является куб. Существует три типа решеток Браве кубической системы: простая (Р), объемноцентрированная (I) и гранецентрированная (F) (см. рис. 2.12). Длина ребра куба для всех трех кубических решеток является единственным пространственным параметром решетки. Эту длину называют постоянной решетки и обозначают а. Решетки этой системы наиболее симметричны.

Рисунок 2.12 – Решетки Браве кубической системы

Тетрагональная (или квадратная) система. Параллелепипед Браве имеет форму прямой квадратной призмы. Наряду с простой решеткой (Р) существует объемноцентрированная решетка (I) (см. рис. 2.13). Тетрагональная решетка определяется двумя параметрами: длиной стороны а квадратного основания параллелепипеда Браве и его высотой с.

Рисунок 2.13 – Решетка Браве тетрагональной системы

Гексагональная система. Ее решетка обозначается Н (см. рис. 2.14). Для кристаллов этой системы понятие параллелепипеда Браве теряет смысл. Основной параллелепипед имеет форму прямой призмы, основанием которой служит ромб с острым углом 60⁰ . Однако такой параллелепипед не передает симметрию пространственной решетки. Для достижения этого три таких параллелепипеда соединяют вместе, чтобы они образовывали правильную шестигранную призму, которая полностью характеризует симметрию решетки. Гексагональная решетка определяется двумя параметрами: длиной стороны основания a и высотой призмы c.

Рисунок 2.14 – Решетка Браве гексагональной системы

Ромбоэдрическая система (R). Параллелепипед Браве имеет форму ромбоэдра (см. рис. 2.15). Последний можно получить путем равномерного растяжения или сжатия куба в направлении его пространственной диагонали. Решетка является простой. Она характеризуется двумя параметрами: длиной ребра а параллелепипеда Браве и углом α между ними. Такая сингония называется тригональной.

Рисунок 2.15 – Решетка Браве ромбоэдрической системы

Ромбическая (или ортогональная) система. Параллелепипед Браве – прямоугольный с тремя различными длинами ребер a, b, c, которые являются параметрами решетки. Существует 4 типа решеток Браве этой системы: простая (Р), объемноцентрированная (I), гранецентрированная (F) и базоцентрированная (С), которые представлены на рисунке 2.16.

Рисунок 2.16 – Решетки Браве ромбической системы

Моноклинная система. Параллелепипедом Браве является прямой параллелепипед, основанием которого есть произвольный параллелограмм (см. рис. 2.17). Моноклинная система характеризуется четырьмя параметрами — длинами a, b, c ребер параллелепипеда Браве и углом γ между двумя из них (остальные углы прямые). Существуют простая (Р) и базецентрированная (С) решетки Браве.

Рисунок 2.17 – Решетка Браве моноклинной системы

Триклинная система. Решетки этой системы только простые (Р). Параллелепипед Браве может быть любой формы (см. рис. 2.18). Решетки этой системы характеризуются наименьшей степенью симметрии. Параметрами решетки являются длины ребер параллелепипеда a, b, c, и углы между ними — α, β, γ.

Рисунок 2.18 – Решетка Браве триклинной системы

Принадлежность решетке Браве к какой-либо кристаллической системе однозначно определяется числом и характером осей симметрии.

Для кристаллов существуют только оси симметрии 2-го, 3-го, 4-го и 6-го порядков. Другие оси в кристаллической решетке невозможны. Классификация и общее число осей симметрии для различных кристаллических систем приведены в таблице 2.1.

Таблица 2.1 – Число осей симметрии кристаллических систем

Системы	Число осей симметрии				Общее число осей симметрии
	2-го	3-го	4-го	6-го
Кубическая	6	4	3	-	13
Тетрагональная	4	-	1	-	5
Гексагональная	6	-	-	1	7
Ромбоэдрическая	3	1	-	-	4
Ромбическая	3	-	-	-	3
Моноклинная	1	-	-	-	1
Триклинная	-	-	-	-	-

Правила выбора формы и размера ячейки по Браве:

• симметрия элементарной ячейки должна быть такой же, как и симметрия пространственной решетки;

• элементарная ячейка должна иметь наибольшее число прямых углов;

• при соблюдении первого и второго условий объем ячейки должен быть наименьшим.