План исследования функции

Сразу отмечу, что некоторые пункты плана можно опускать. Например, зачем у степенной функции у=а^х искать период?

I.

1. область определения функции;

2. область значения функции;

3. чётность – нечётность;

4. периодичность;

5. асимптоты;

6. точки пересечения графика с осями координат;

II. Исследование функции по 1-ой производной:

1. участки монотонности (возрастания, убывания);

2. максимумы, минимумы;

III. Исследование функции с помощью второй производной:

выпуклости, вогнутости, точки перегиба.

Поясню некоторые пункты плана. С областью определения, значения, чётностью, периодичностью, точками пересечения графика с осями координат, надеюсь, всё понятно (кому нет – обратитесь за помощью к учебным пособиям по мат. анализу, благо таковых куча).

Затруднения, на мой взгляд, из I части исследования могут вызвать асимптоты.

Асимптотой кривой называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние между переменной точкой кривой и этой прямой стремиться к нулю при неограниченном удалении точки на кривой от начала координат.

Асимптоты разделяются на вертикальные и наклонные (горизонтальные асимптоты есть частный случай наклонных асимптот).

Откуда приходим к ПРАВИЛУ 1: для отыскания вертикальных асимптот, нужно найти те значения х, при которых функция обращается в бесконечность (lim y(x)  ). Их может быть бесконечно много.

ПРАВИЛО 2. Уравнение наклонной асимптоты: у=kх+b, где , .

Поиск участков монотонности, максимумов и минимумов тоже не должен вызывать затруднений (всё это должно быть известно со школы). - Ищем критические точки (точки в которых производная равна нулю или не существует) – они будут у нас «подозреваемыми» в том, что являются максимами или минимами. Затем смотрим, меняет ли знак производная в окрестности этих точек.

Наибольшее затруднение вызовет, наверное, исследование функции по второй производной – оно позволяет нам найти вогнутости, выпуклости, точки перегиба кривой и подтвердить, найденные с помощью первой производной максимумы и минимумы.

Кривая называется выпуклой на интервале, если она расположена ниже любой своей касательной.

Кривая называется вогнутой на интервале, если она расположена выше любой своей касательной.

Необходимое условие точки перегиба (точки, отделяющей выпуклую часть от вогнутой): Если х=с - точка перегиба, то f ’’(с) либо равно нулю, либо не существует.

Достаточное условие точки перегиба: Если вторая производная при переходе через точку меняет знак – то эта точка есть точка перегиба.

Если f ’’ (х)>0, то кривая вогнутая на интервале, если f ’’ (х)<0 – выпуклая.

Этого конечно недостаточно, для тех, кто совсем не знаком с исследованием функций, но вполне хватит чтобы понять дальнейший материал. По мере необходимости далее я буду приводить каткие математические справки.

Пусть нам требуется найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [1, 5] (пример 3.15) . Для этого необходимо найти максимумы и минимумы функции (или хотя бы просто критические точки, не проверяя их на максимум или минимум) на этом промежутке (обращаю внимание, что максимум не означает максимальное возможное значение, как минимум и не означает минимально возможное значение), и значения функции на концах промежутка. На языке MathCAD это будет выглядеть так:

1. Определяем функцию: .

2. И щем производную (подробно описано в главе дифференцирование). Для этого можно просто нажать на значок оператора производная из панели CALCULUS: . В метку, обведённую кружочком можно вводить только символ (т. к. непосредственно сам вид функции мы определили заранее. Нажимаем CTRL + ю ( в лат регистре) и получаем ответ: . Упрощать не будем – это в данном случае не имеет смысла

3. Скопируем в буфер обмена полученный результат (чтобы не вводить его вручную с клавиатуры), для чего нажимаем левой кнопкой мыши на конце выражения (подчёркнуты места нажатий для копирования – можно нажимать в любом месте) и, перемещая её с нажатой кнопкой (либо вправо либо влево), выделим кусок, необходимый для копирования. Затем выбираем из главного меню пункт «редактирование», а из него пункт «копировать».

4. Набираем служебное слово Given (используется для решения уравнений и т. п.) и нажимаем ENTER.

5. Если метка, отмеченная красным крестиком, оказалась выше служебного слова, перетащим её под слово Given, для чего следует просто щелкнуть мышью под ним.

6. Выбираем пункт «редактирование» - «вставка». Наша производная должна появиться в месте, где была красная метка.

7. «Цепляем» синей меткой всё выражение, нажимая пробел (подробно описано в примерах выше).

8. И з панели инструментов Булевая ( BOOLEAN) выбираем кнопку с символом = или нажимаем CTRL + =. Равно должно появиться жирное.

ВНИМАНИЕ. Не вводите численное равно с панели Evaluation (или просто = с клавиатуры) и равно - определитель ( ) – будет сообщение об ошибке!

9. Вводим 0.

Математическая справка: по существу мы решаем уравнение y’=0. Т.е. ищем критические точки функции.

10. Набираем на клавиатуре служебное слово Find(x) (найти что-то), где х – это та переменная, значения которой нам нужно найти. Ставим .

11. Нажимаем ENTER и получаем ответ: . Переведём этот результат на обычный математический язык. Это значит, что в точке х=4 производная равна нулю, следовательно это и есть критическая точка. Но существует и ещё одна критическая точка – х=2, т.к., вспомнив определение критических точек, найдём, что производная при х=2 не существует – знаменатель обращается в ноль при х=2. Следовательно, х=2 – тоже критическая точка.

12. Ищем значение функции на концах промежутка и в критических точках: поочерёдно вводим y( x), где вместо х подставляем абсциссу, от которой хотим найти значение функции и нажимаем численное равно (просто нажимаем равно на клавиатуре =) Т. е.: .

Программа сразу же выводит на экран результат. Следователь но функция имеет два наибольших и два наименьших значения на данном отрезке – по одному в критической точке, и по одному на концах отрезка.

Для убедительности привожу график этой функции (подробно построение графиков будет разобрано в следующем примере):

Из графика сразу же становится всё понятно. Например, производная в х=2 не существует, т. к там острый пик у функции, и, следовательно, нельзя провести касательную в данной точке.

Рассмотрим теперь подробно построение графиков функции и асимптот к ним на примере 6.15.

1. О пределим функцию

2. Ищем вертикальные асимптоты ( те х, при которых знаменатель обращается в ноль и функция не существует: вводим _. (см. выше).

3. Вводим и сразу получаем ответ. Следовательно, уравнения вертикальных (их две) будут выглядеть так: .

4. Ищем наклонные асимптоты. Коэффициент k есть , где вместо f(x) программа автоматически подставляет определенную в пункте 1 нами функцию и считает предел (о вычислении пределов см. гл.I). Коэффициент b есть .

5. Теперь определим функцию наклонной асимптоты: (у=kx+b)- она потребуется нам для построения графиков асимптот. Вместо а можно ввести любую букву лат. алфавита. Не забывайте в скобках вводить независимую переменную.

6. Строим график:

   1. н ажимаем на панели Graf (графики) кнопку «декартов график»:

2. в появившемся окне: начинаем заполнять метки: В метку, обведённую кружочком, вводим аргумент первой функции ( ), т. е. х. В метку, обведённую квадратом вводим f(x). (Если бы мы не определили функцию заранее, то пришлось бы вводить в метку сам вид функции сам вид функции, т.е. , что громоздко и неудобно). Перемещение между метками осуществляется нажатием TAB.

3. Ставим запятую после f(x) (запятая не видна) нажимая на б .

4. В появившуюся ниже метку вводим a(x).

5. Переместившись на нижнюю метку (надо нажать на х левой кнопкой мыши), ставим там запятую, и вводим ещё один х.

6. Возвращаемся на вертикальную метку (нажимаем на a(x)) и ставим запятую.

7. Вводим х, но уже на вертикальной оси

8. Возвращаемся на горизонтальную ось, нажимая на х левой кнопкой мыши.

9. Ставим запятую и вводим .

10. Возвращаемся на вертикальную ось и вводим там ещё один х

11. На горизонтальной оси вводим .

Пояснения: лучше всего( чтобы избежать возможных ошибок) вводить столько аргументов на оси Ох, сколько функций будет у вас на оси Оу. В данном случае, т. к. помимо обычных линий необходимо построить вертикальные линии х=а, нужно чтобы на оси Ох стояла а (в нашем случае в роли а и ), а по оси у стояла х. Честно признаться, я потратил часа два, на то, чтобы догадаться как построить вертикальную линию – в Центре Ресурсов и в Помощи это нигде не описано. Здесь видна явная недоработка разработчиков MathCAD.

7. Итоговый график будет выглядеть так: Надо признаться, совсем неказисто. Дело в том, что MathCAD. Изменим их:

1. дважды щелкаем левой кнопкой мыши в любом месте на графике (в прямоугольном окне или щелкаем в окне правой кнопкой мыши и в появившемся всплывающем меню выбираем пункт Формат (FORMAT))

2. Появится одно из следующих окон (в зависимости от того, является ли ваша версия русской или нет). Ниже приведено соответствие между двумя окнами:

Далее по мере необходимости я буду в скобках дублировать английскую команду.

3. из вкладки х-у оси (x-y axes) в блоке «стиль осей графика» (Axes Style) выбираем пункт «пересечение» (crossed) и нажимаем кнопку «применить» (наблюдаем изменения, не закрывая диалог);

4. т еперь закроем окно и изменим масштаб по оси Оу. Для этого нажмём мышью в окне где построен график. Появится рамочка с синей меткой:

5. в метках, обведённых кружочком, вводим удобный нам в данном случае диапазон изменения величины y (в нашем примере путём подгонки я нашёл, что это будет промежуток [-10; 10]). Обычно MathCAD автоматически расставляет пределы, позволяющие «понять» функцию, но в данном случае это у него не получилось

6. е сли хотите, можете изменить пределы по оси x, но в данном примере программа выбрала их оптимально

7. и зменим трассировки (представление, цвет и жирность) линий. Для чего дважды щёлкаем левой кнопкой мыши по окну, где построен график, - для открытия окна форматирования графика (п. b). Выбираем вкладку «трассировка» (Traces). В первой колонке (под названием Legend Label) по существу указаны порядковые номера (trace 1, 2, 3 и т.д.) графиков (сверху вниз по оси Оу). Т.е. сначала идёт трассировку графика f(x), trace 2 – метка графика а(х) и т. д.. (Кстати в окне, где построен график, по оси Оу слева можно увидеть соответствующую ему трассировку). Во второй колонке указан символ, который соответствует данной трассировки. Можете поэкспериментировать с его изменением, но в данном случае оптимальным будет выбор параметра NONE(нет). В колонке LINE (линия) представлена текущее отображение типа линии графика. Вы можете, нажимая мышью по выделенным овалом на рисунке стрелочкам выбирать из всплывающего меню различные пункты (можно поэкспериментировать и с этим параметром, выбирая соответствующий из всплывающего меню, и нажимая кнопку «применить» (чтобы не выходить каждый раз из окна). В столбце COLORS (цвета) можно тем же способом выбрать соответствующий цвет для каждой кривой. В столбце TYPE(тип) можно выбрать тип представления графика (точками, диаграммой и т. д.). В нашем примере, конечно оптимальным будет выбор LINES (линия). Итак, для каждой функции в окне, где построены их графики «сконструируем» из предложенных MathCADом параметров соответствующий вид.

8. В итоге, после всех преобразований должно получиться что-то похожее на представленный ниже рисунок:

На первый взгляд кажется, что построение графиков в MathCAD довольно сложная задача. Но выше я описал весь процесс очень подробно, и, стоит только «приноровиться» к возможностям программы всё пойдёт очень быстро, фактически нажатием трёх-четырёх кнопок.

Рассмотрим теперь, как с помощью MathCAD провести полное исследование функций одной переменной. Выше, в математических сведениях был описан примерный план исследования функции. Воплотим теперь его в жизнь на языке MathCAD.

Пусть дана функция (пример 7.15). Требуется повести полное её исследование.

Вспомнив наш план, начнём с области определения. Можно сразу догадаться. Что это любое действительное число (знаменатель x²+4 не равен нулю ни при каком действительном х), а можно проверить это с помощью вычислительного блока и операторов GIVEN-FIND).

Определим функцию: .

Решим уравнение . Вводим служебное слово начала вычислительного блока (Given), выражение с булевым равно, служебное слово FIND(х), нажимаем CTRL+ю (подробно этот процесс описан в пункте, где мы искали наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке) и получаем ответ: . Т.е. уравнение не имеет действительных корней.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СПРАВКА i – мнимая единица, где i²=-1 (не равносильно из-за неоднозначности определения операции извлечения корня у мнимых чисел).

Следующий шаг – проверка функции на чётность. Набираем с клавиатуры у(-х), нажимаем CTRL+ю (), и программа в символьной форме выводит результат: . Мы видим, что , откуда следует, что данная функция является нечётной (её график должен быть симметричен относительно начала координат).

Найдём асимптоты кривой (подробно описано на задаче 6.15). Ясно, что вертикальных асимптот данная кривая не имеет ( функция не «вылетает» в бесконечность ни в одной точке). Ищем наклонные асимптоты. Коэффициент k= , коэффициент b= . Откуда вроде бы следует, что асимптотой данной кривой является ось Ох. Да, действительно, как мы потом увидим из графика, кривая асимптотически приближается к оси Ох, но найдя точки пересечения с осями координат (решая уравнение у(х)=0 через GIVEN-FIND операторы: ), получим, что график проходит через начало координат (х=0, у=0). Так что с точки зрения математики, ось Ох вряд ли можно назвать асимптотой кривой.

Найдем производную в символьном виде с помощью оператора дифференцирования (гл.II) (здесь и далее, чтобы не повторяться, в скобках указываю, где данная тема была подробно разобрана): .

Т.к. производная непрерывна во всех точках, то критические точки следует приравнивая её нулю (если бы производная где-либо была разрывной точку её разрыва нужно было бы включить в критические). Повторяем уже знакомые нам действия и получаем ответ: . Обращаю внимание, что в вычислительный блок в данном случае я не стал копировать и затем вставлять производную (как мы делали в примере 3.15), а просто написал оператор дифференцирования. MathCAD автоматически вычислил производную, а затем приравнял её к нулю.

ВНИМАНИЕ Не всегда это получается, иногда выводятся сообщения об ошибки.

Итак, теперь мы имеем две критические точки, которые могут быть максимами или минимами, а могут, вообще говоря, не являться ни тем ни другим. Поэтому, проверим знак производной при переходе через эти точки. Я сделал это следующим образом:

1. M athCAD отказался почему-то отказывается решать неравенства с помощью блока GIVEN-FIND, поэтому приходиться воспользоваться панелью Символических операторов (Symbolic). Если она не видна, следует на панели Математика (Math) нажать на кнопку с изображением шапочки: .

2. Далее, в появившейся панели символических операторов следует нажать на кнопку с надписью Solve (решить): . В появившемся на рабочем листе служебном слове: начинаем заполнять метки. В левую метку вводим наше неравенство, которое требуется решить, т.е. можно ввести это таким образом: ( т.е., решая такое неравенство, мы по существу ищем промежутки возрастания и убывания функции).

ВНИМАНИЕ Между оператором символьного дифференцирования и нулём необходимо поставить БУЛЕВОЕ «больше или равно» ( на панели BOOLEAN необходимо нажать соответствующую клавишу: ). В правую метку заносим переменную, которую необходимо «отыскать», т.е., в нашем случае х.

3. Нажимаем ENTER и получаем ответ: . Осмыслим его. По существу, это означает, что наша функция возрастает на промежутке [- ; -2] и [2; ]. Значит, она непременно должна убывать на интервале [2; 2]. Проверим это (можно, конечно, не делать этого, но для тренировки лучше повторить решение неравенств, в тем более, что я покажу далее как можно решать их без помощи блока SOLVE). Итак, решим неравенство . (решить неравенство в виде данным методом не получается).

4. Скопируем в буфер обмена выражение, стоящее справа от оператора дифференцирования (): (подробно о копировании выражений см. гл. II пример 3.15 и в примере из этой главы № 3.15). Вставляем выражение в свободном месте на рабочем листе, для чего из пункта редактировать в главном меню выбираем пункт «вставка». Должно появиться только выражение, выделенное прямоугольником. Если опять появился оператор дифференцирования – сотрите его, нажимая клавишу Backspace на клавиатуре. Далее, мышью поставим метку-заполнитель так, чтобы она «цепляла» только ту переменную, которую необходимо решить, т. е. х в любом месте в выражении (подчёркнуто) . БУДЬТЕ ВНИМАТЕЛЬНЫ! НЕ ЗАЦЕПИТЕ МЕТКОЙ КВАДРАТ!

5. И з пункта «символика» главного меню выбираем пункт «переменная», а далее из выплывающего подменю пункт «решение» («разрешить»).

6. Получаем ответ: . Как и должно было получиться, функция убывает на промежутке [-2; 2]

С ОВЕТ Если вам непонятно как перевести ответ из языка MathCAD в обычный язык поясняю – начертите координатную линию и расставьте точки –2, 2 и т.п.. А дальше смотрим так: первая часть решения х≥-2 – отмечаем всё то, что больше –2, вторая часть решения х≤2 – отмечаем всё то, что меньше 2, затем смотрим, где пересекаются наши отметки )

-2 2

Теперь мы уже имеем в наличии участки монотонности, максимумы и минимумы функции ( -2 – точка максимума т. к. производная меняет знак с + на -, точка 2 – точка минимума – производная меняет знак с – на +). Но всё же, этого не достаточно, чтобы построить приличный график. Найдём вогнутости и выпуклости кривой, для чего посчитаем вторую производную (см. математическую справку).

Используем уже знакомый нам по главе Дифференцирование оператор производной N-ого порядка. Щелкаем его из панели CALCULUS и в появившемся на листе выражении заполним метки соответствующим образом (подробнее см. главу II)  . Напомню, что вместо выражения я вставил символ у(х), т. к. функция была определена нами заранее. Нажимаем CTRL+ю (лат.), ENTER и получаем результат: .

Приравняем нулю вторую производную (необходимое условие точки перегиба) и составим вычислительный блок. Получим ответ: . Посмотрим на выполнение достаточного условия точки перегиба, т. е. решим неравенство: любым из предложенных выше способов. Должно получиться . Переведу это на обычный математический язык: у’’>0 при х€ (-∞;- )U[0; ) Т. е. у наша кривая будет вогнутой на указанных интервалах. Найдём теперь участки, где кривая будет выпуклой, т. е. решим неравенство . Сразу привожу ответ. который должен получиться: . Переводя это на понятный язык, получим. Что кривая будет выпуклой на интервале (- ; 0}U( ; ∞).

Ну что. Всё готово. Чтобы построить график на бумаге и, соответственно на MathCADе тоже. Подробнейшим образом процесс построения графика был описан на примере из данной главы № 6.15, поэтому далее я привожу готовый график функции (MathCAD практически всё сделал автоматически – выбрал удобно масштабы и т.п., я лишь изменил представление осей на CROSSED – пересечение из меню форматирования графиков):

Вспомним то, что я говорил насчёт асимптоты (оси Ох). Да, действительно, график приближается неограниченно к этой оси на бесконечности, но он её пересекает в начале координат, поэтому говорить об оси Ох как об асимптоте, неверно.

Повторим исследование для разрывной функции . ( пример 8.15)

Найдем её область определения, решая неравенство (логарифмическая функция определена только тогда, когда аргумент её строго больше нуля) - . Т.е. ( - ; -1)U(0; )

Теперь исследуем функцию на чётность – нечётность, для чего вводим с клавиатуры f(-x), нажимаем CTRL+ю, ENTER, и получаем результат: - функция не является ни чётной ни нечетной.

Найдём теперь асимптоты кривой. Решим такое уравнение: (мы ищем такие значения х, которые «выкидывают» функцию в бесконечность, а, как известно, ). Мы, проводя вычисления в SOLVE-блоке, должны получить следующий результат:

.

Значит, точка х=0 является вертикальной асимптотой данной функции. Но это ещё не всё. Внимательно посмотрев на уравнение. Задающее функцию, найдем, что она уходит в бесконечность при х=-1. (По-существу мы должны решить такое уравнение: , где х₀ его корни, т.е. найти те значения х_0, при которых функция обращается в бесконечность – но в таком виде MathCAD решить его не может, поэтому приходиться додумываться самому, глядя на уравнение искать «необычные» точки). Имеем две вертикальные асимптоты: _. Наклонные асимптоты находим, используя оператор предела (подробно см. пример 6.15): , .

Точки пересечения с осями координат вычислим следующим образом:

. Обратите внимание на строку 3. В ней я использовал оператор присвоения (определения). Таким образом. Присвоив в строке 3 найденному корню букву у, в строке 4 программа автоматически посчитала значение функции в этой точке. И мы сразу получили точку пересечения с осью Ох: ( , 0 ). Для того, чтобы найти точку пересечения с ось Оу вычислим . Правильно, MathCAD выдаёт ошибку т.к. функция в нуле неопределенна.

Вычисляя производную и решая следующее уравнение (критические точки):

получим сообщение об ошибки. Да, действительно, производная не равна нулю нигде, но это не означает, что не существует критических точек – они есть: x = 0 x=-1 – в них выражение, определяющее производную не существует.

Посмотрим, где производная меньше, а где больше нуля, решая неравенства:

1. (ответ )

2. (ответ )

С учётом области определения имеем: возрастание (- ;-1]U(0; ). Промежуток убывания [-1; 0] не входит в область определения.

Вычисляя вторую производную, а затем. Приравнивая её к нулю, получим:

Необходимое условие точки перегиба выполнено, но, к сожалению, она не входит в область определения, и, поэтому таковой не является.

Из неравенства

находим вогнутости и выпуклости (ответ на неравенство т. е. (- ; -1)U(-1; -1.2)). Но промежуток (- ; -1)U(-1; -1.2) не входит в область определения и, окончательно имеем вогнутость кривой на промежутке (- ; -1).

Из неравенства:

находим, что кривая выпукла на промежутке (0; ) (учётом области определения).

Строим график. Выбирая соответствующие трассировки и пункт «пересечение осей» (подробнейшим образом описано на примерах выше) (crossed) получаем:

.ПРИМЕЧАНИЕ Коэффициенты k и b наклонной (горизонтальной) асимптоты были определены нами заранее.

На этом считаю необходимым завершить данную главу, т.к. думаю, что более чем подробно описал исследование функций и построение их графиков. На мой взгляд MathCAD обладает достаточно мощными возможностями, чтобы провести полное исследование функции, но всё таки кое-что необходимо додумывать самому, подключая знания из математики (критические точки, область определения и т. п.).

Настало время перейти к не менее важному разделу математики, к действию «обратному дифференцированию», как говорят математики (хотя интегрирование первоначально не имело к дифференцированию никакого отношения, и лишь благодаря Лейбницу и Ньютону, мы теперь смотрим на интегрирование и дифференцирование как на неразрывные вещи, а то бы и сейчас писали все интегралы через интегральные суммы).