Внимание: При вставке функции, её аргумент должен находиться в скобках, которые появляются автоматически при вставке соответствующей функции

Т.к. в пределе 11.15 необходимо разделить sin(7х) на x^2+\p*x, то пробелом следует щелкать до тех пор, пока он не «зацепит» sin(7х) (по ошибке может случиться, что вы разделите аргумент на что-либо).

Д ля ввода КОНСТАНТЫ π необходимо воспользоваться либо уже знакомой панелью Калькулятор либо ввести её с помощью панели греческих символов:

Ответ на 11 пример:

В примере 12.15 затруднение может вызвать показатель степени у 3 во втором случае в числителе: . Но это лишь видимое затруднение вводится он совершенно обычным описанным выше способом: поднимаем метку с помощью стрелок на показатель 2х, затем, щелкая пробелом цепляем его, нажимаем SHIFT и ^ и вводим показатель у x, т.е. 2.

Ответ на пример:

СОВЕТ Чтобы получить точный результат (а мы в вышеприведённых случаях получили так называемый символьный результат (т.е. через символы – π и ln)) нажать сразу после символьного ответа знак =, т.е.: .

На мой взгляд, другие примеры не представляют особый интерес, поэтому далее я привожу лишь ответы к ним: 13.15 -

14.15 -

15.15 -

ВНИМАНИЕ Обратные тригонометрические функции (аркусы) в MathCAD отображаются без букв r c (см. пример 14.15)

Глава II.

Дифференцирование в MathCAD.

С помощью MathCAD можно вычислять производные скалярных функций любого количества аргументов, от 0-го до 5-го порядка включительно. И функции, и аргументы могут быть как действительными, так и комплексными. Невозможно дифференцирование функций только вблизи точек их сингулярности. Вычислительный процессор MathCAD обеспечивает превосходную точность численного дифференцирования. Но больше всего вы оцените возможности символьного процессора, который позволяет с легкостью осуществить рутинную работу вычисления производных громоздких функций, поскольку, в отличие от всех других операций, символьное дифференцирование выполняется успешно для подавляющего большинства аналитически заданных функций. В MathCAD 2001 для ускорения и повышения точности численного дифференцирования функций, заданных аналитически, автоматически задействуется символьный процессор.

Для того чтобы продифференцировать функцию f (х) в некоторой точке:

1. Определите точку х, в которой будет вычислена производная, например, х:=1. Можно и не определять эту точку и найти производную в виде функции. Но тогда нельзя будет ставить после оператора дифференцирования знак =, а только 

2. Введите оператор дифференцирования нажатием кнопки Derivative

(Производная) на панели Calculus (Вычисления) или введите с клавиатуры

в опросительный знак <?>

.

3. В появившихся местозаполнителях введите функцию, зависящую от аргумента х, т. е. f (х), и имя самого аргумента - x.

4. Введите оператор <=> численного или  символьного вывода для получения ответа.

СОВЕТ Не забывайте предварительно определять точку, в которой производится

численное дифференцирование!

Рассмотрим выполнение дифференцирования всё на том же ТР Кузнецова.

Пример 3.15: . Здесь, как и во всех предыдущих случаях можно поступить по-разному: 1) способ – вводим функцию , просто набирая необходимые выражения и вставляя функции с соответствующих панелей (описано выше). Затем из меню «символика» выбираем название – «переменная» - «дифференциация».

П РИМЕЧАНИЕ Необходимо, чтобы метка заполнитель стояла ТОЛЬКО под переменной, в функции, над которой производится дифференцирование. Т. е в нашем примере метка должна стоять либо только под х в произведении 2*х, либо также под х, но уже, находящийся в функции sin или ln, но не «задевать само название функции и другие выражения (например 2) Т.е.: (положение метки отмечено линиями). При правильном выполнение этих действий вы получите результат: .

С ледующий пример 5.15 выполним другим способом: 2) из меню CALCULUS выбираем кнопку со значком дифференцирования

З атем щелкаем по нему левой кнопкой мыши. В появившемся на рабочем листе значке начинаем заполнять метки. В верхней метке (обведённой кружочком) вводим функцию, необходимую продифференцировать. В нижнеё метке вводим переменную по которой производится дифференцирование, т.е. . Щёлкаем CTRL + русская буква «ю» в лат. регистре, нажимаем Enter и получаем ответ . Надо признаться, не очень удобочитаемый результат, поэтому попробуем его упростить, для чего сначала скопируем ответ, выделив его мышью (держим левую кнопку и выделяем то, что нам нужно, двигая мышь вправо или влево и держа левую кнопку нажатой), а потом выбираем из меню «редактирование» пункт «копировать», затем из этого же меню пункт «вставить». Завершаем упрощение выбором из меню «символика» пункта «упрощение».

ВНИМАНИЕ Для того, чтобы выражение упростилось правильным образом, необходимо, чтобы метка «зацепила» ВСЁ выражение, требующее упрощения. После упрощение выражение будет иметь вид: .

В примере 6.15 необходимо правильным образом расставить скобки: , иначе MathCAD не поймёт, что ему надо просчитать. Обращаю внимание, что круглые скобки MathCAD автоматически по мере необходимости преобразует в квадратные, хотя можно и вручную с клавиатуры ввести их.

СОВЕТ Внимательно следите за положением открывающих и закрывающих скобок! Вводите их так, как делали бы вы, решая пример на бумаге. Не забудьте поставить большие скобки после знак дифференцирования и в конце выражения, подвергающемуся дифференцированию (выделены кружками).

Ввод остальных операторов аналогичен предыдущим примерам. Нажимаем CTRL + «ю» и получаем ответ:

.

СПРАВКА Для тех, кто не знает exp(x)=e^x .

Да, большое и некрасивое выражение. Ну что ж, попробуем его упростить описанными выше действиями (см. предыдущий пример 5.15)

После этого выражение приобрело чуть менее угрожающую форму: ,

но всё ещё имеет «плохой вид». С помощью MathCAD оно больше не упростилось. (Можно попытаться упростить его вручную, например, почленным делением числителя на знаменатель).

В примере 8.15: следует внимание обратить на тригонометрическую функцию SIN и вот почему. Как вы могли заметить, на первый взгляд здесь в квадрат возводится как будто бы не сама функция sin, а её аргумент 15х (обычно вы бы написали так sin² (15х) ). Но MathCAD понимает это по-другому! Для него мы возводим в квадрат ВСЮ функцию! Вот если бы мы написали sin((15х)² ) тогда MathCAD возвёл бы в степень сначала 15х, а потом просчитал бы SIN.

Результат: .

Пример 15.15. Здесь задана функция в параметрическом виде.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СПРАВКА. Формула для нахождения производной функции заданной в параметрическом виде, так называемая y’(x), очень легко выводится:

y’(x)=y’(t)*t’(x) (так как у(x)-сложная функция – она зависит от x, а х зависит от t. Т. е. является функцией от функции. По правилу нахождения производной сложной функции мы производную «внешней» функции умножили на производную «внутренней». Если вы не поняли то вспомните как вы искали производную от, например, (2х-3)² )

По определению производной обратной функции t’(x)=1/х’(t). В итоге получаем формулу:

y’(x)=y’(t)/ х’(t).

Разберём на этом примере третий способ вычисления производной.

1. Определим функции:

Д ля чего набираем на клавиатуре соответствующие символы и ставим знак нажатием клавиш SHIFT+ ж (в лат.!) или с панели Evaluation. Если она не видна и вообще, если вам понадобилась какая – либо панель на панели Математика нажмите соответствующий символ. Для Evaluation это будет значок х=.

ВНИМАНИЕ Не перепутайте знаки := и = !!! Равно обозначает ВЫВОД ЧИСЛОВЫХ ДАННЫХ, := присваивание. В MathCADе есть ещё и третий тип «равно» - булевой, но об этом пойдёт речь в главе, посвященной линейной алгебре и решению характеристического уравнения, а ещё ранее в главе, посвященной исследованию функций.

2. Пишем формулу, соответствующую выведенной нами, только в дифференциальной, MathCADовской форме, т.е , ставим , нажимаем ENTER , получаем результат: . Попытаемся его упростить уже знакомыми действиями, и после этого производная принимает «красивый» вид: .

В примере 19.15 необходимо посчитать производную второго порядка от функции, заданной параметрически:

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СПРАВКА: В предыдущем примере мы получили формулу для вычисления производной первого порядка для параметрической функции.

Выведем теперь формулу для вычисления производной 2-ого порядка.

y ''_xx=(y'_x)_x=(y'_t/x'_t)*t'_x=(y''_tx'_t-y'_tx''_t)/(x'_t)

Поступим практически также как и в предыдущем примере:

1. Определим функциональную зависимость х и у от параметра t (описано выше);

2. Вводим выведенную нами формулу вMathCADовской форме:

. Для ввода производной второго порядка используется

оператор «производная N-ого порядка и блока CALCULUS:

В появившемся на рабочем листе выражении начинаем заполнять метки аналогично предыдущему примеру. Внимание следует обратить на метку, выделенную кружочком – в ней следует ввести порядковый номер производной. Для производной второго порядка вводим соответственно 2.

ВНИМАНИЕ Не забудьте правильно расставить скобки в дифференцируемых выражениях.

3. Нажимаем CTRL + ю. Нажимаем ENTER и получаем результат: .

4. Упрощаем: . Как видите, получилось приятное на вид выражение.