2.4. Аналогия между движением заряженных частиц в электростатическом поле и распространением световых лучей в прозрачной среде.

С учетом того, что заряд электрона отрицательный, уравнение движения нерялетивисткого электрона в электростатическом поле с потенциалом U( описывается уравнением:

m . (8.4)

При условии равенства потенциала U=0 там, где электрон имеет нулевую скорость, кинетическая энергия определится из равенства:

, (9.4)

а, следовательно, абсолютная величина скорости электрона определяется уравнением:

v= , (10.4)

из которого следует, что электрон может находиться только в областях пространства, где U( ≥0.

Предположим, что электрон из полупространства z≤0, где потенциал U( постоянен и равен U₁ (рис. 1.4), перелетает в полупространство z≥0, где потенциал также постоянен и равен U₂. Скачку потенциала на линейной границе раздела соответствует бесконечно большая величина напряженности поля и в принципе, получить такой скачок потенциала технически невозможно. Наилучшим физическим приближением в этом случае будет система, состоящая из двух близко расположенных чрезвычайно тонких металлических фольг, прозрачных для рассматриваемых частиц.

Рассмотрим, что происходит с траекторией электрона при переходе через границу. Вектор скорости электрона разложим на два составляющих: _n – нор-

Рис.1.4. Преломление траектории электрона при переходе через скачок потенциала.

мальный (перпендикулярный) к границе раздела сред (z) и _t- тангенциальный (параллельный) к границе раздела. Поскольку

, (11.4)

то силы тангенциальные к границе раздела (z=0) отсутствуют, а, следовательно, тангенциальная составляющая скорости согласно уравнению (9.4) остается неизменной. Напротив нормальная составляющая скорости возрастает, так как, проходя через границу раздела (z=0) электрон, испытывает только действие силы, направленной по нормали к границе раздела:

|e| ₂-U₁) (z). (12.4)

Полную скорость до и после прохождения через поверхность раздела (z=0) можно определить из равенства (рис. 1.4):

v = , (13.4)

а её изменение можно вычислить по формуле:

v_1,2= (14.4)

Из равенства тангенциальных составляющих вектора скорости электрона (рис. 1.4), v_t,1=v₁sin до и v_t,2=v₂sin после прохождения границы раздела следует:

= , (15.4)

и с учетом (14.4) получим закон преломления электронных траекторий на границе скачкообразного изменения электростатического потенциала:

= , (16.4)

где углы  и  могут быть названы по аналогии с геометрической оптикой углом падения и углом преломления. Равенство (16.4) полностью совпадает с законом преломления Снелля для геометрической оптики, но здесь роль коэффициента преломления играет квадратный корень из значения потенциала в данной точке поля. Это позволяет считать, что пучок электронов, движущихся в электростатическом поле, ведет себя точно так же, как световой луч в преломляющей среде, если электронно-оптический показатель преломления, определяемый уравнением (16..4), равен оптическому показателю преломления в каждой точке пространства.

Из соотношения Снелля (16.4) видно, что оно применимо и к ионному пучку. В случае положительно заряженных частиц, но с тем, же соотношением потенциалов, поле будет направлено в противоположную сторону, но сила, действующая на частицу, будет действовать в том, же направлении. Под действием этой силы компонента скорости частицы, перпендикулярная поверхности раздела, изменится, а параллельная составляющая скорости останется неизменной.

Полученный результат легко обобщить наглядным, хотя и не строгим способом, на случай произвольного электростатического поля которое можно всегда изобразить с помощью эквипотенциальных поверхностей (рис. 2.4).

U₁

U₂ ≥U₁

U₃≥U₂

U₄≥U₃

Рис.2.4. Преломление электронной траектории на эквипотенциальных поверхностях. Частица движется в ускоряющем электрическом поле.

Если эти поверхности проведены достаточно близко друг к другу, то при рассмотрении движения заряженной частицы можно считать, что потенциал в пространстве между двумя соседними эквипотенциалями постоянен и все изменение потенциала происходит маленькими скачками на самих эквипотенциальных поверхностях. В таком случае траектория частицы аппроксимируется ломаной линией, причем изменение направления траектории на каждом изломе определяется законом преломления. В пределе ломаная линия превращается в плавную кривую, которая описывает траекторию частицы в данном поле. Как следует из метода построения, эта траектория совпадает по форме с траекторией светового луча, распространяющегося в среде с переменным коэффициентом преломления, значения которого в различных точках пропорциональны квадратным корням из потенциалов. Это чрезвычайно важное замечание, влечет за собой множество следствий:

1. Поскольку электростатическое поле изменяется непрерывно, то электронно-оптический показатель преломления n= является непрерывной функцией координат. Согласно уравнениям (15.4) и (16.4) скорость заряженной частицы тем больше чем больше n. В случае световых лучей ситуация противоположна.

2. В геометрической оптике показатель преломления прозрачных сред изменяется в узких пределах (у стекла n≈1,5., а у алмаза n≈2,5). Кроме того показатель преломления можно изменить, только заменив среду. В противоположность этому электронно-оптический показатель преломления вдоль траектории заряженной частицы может меняться в любых пределах за счет изменения потенциала. В этом отношении аналогия со световой оптикой отсутствует, так как оптические свойства стеклянных линз неизменны.

3. Траектория частицы, движущейся в электростатическом поле полностью, определяется относительными значениями потенциалов в различных точках пространства (если значения потенциала отсчитываются от той точки пространства, из которой частица начала двигаться с нулевой скоростью). При этом, на форму траектории не оказывают ни какого влияния величина заряда и масса частицы, так как относительные значения коэффициентов преломления не зависят от этих величин. Если две частицы, различающиеся по величине массы и заряда (при одинаковом знаке заряда), начинают свое движение с нулевой скоростью из некоторой точки в электрическом поле, то их траектории будут идентичны (хотя они и будут пройдены частицами за разные промежутки времени). В этом заключается так называемый закон подобия для движения заряженных частиц в электростатическом поле.

4. Если известен закон движения частицы , где r расстояние от оптической оси z, то уравнение траектории получается переходом от времени (t) к натуральному параметру l-расстоянию вдоль траектории от её начальной точки. Из равенства , взятого по модулю, следует связь между дифференциалами:

dt= . (17.4)

С учетом (17.4) уравнение (8.4) при переходе от переменной t к переменной l преобразуется к виду:

. (18.4)

Подставляя в (18.4) скорость, определяемую по уравнению (14.4), получим дифференциальное уравнение для траектории движения электрона в электростатическом поле:

. (19.4)

Данное уравнение является основным уравнением электронной оптики. Оно полностью аналогично уравнению светового луча в геометрической оптике, но в нем роль показателя преломления среды имеет функция - именуемая в специальной литературе электронно-оптическим показателем преломления.