Включение r, l, с-цепи на синусоидальное напряжение

1.Составляем уравнение равновесия цепи. Оно будет иметь вид:

U_msin(ωt + ψ).

2.Определяем вынужденные составляющие тока и напряжения

(14)

где ,  частота приложенного напряжения.

3. Свободные составляющие тока и напряжения на емкости будут иметь те же значения и тот же характер, что и при включении на постоянное напряжение, (если положить u = U_m). Ограничимся рассмотрением колебательного режима .

(15)

где ω_С  угловая частота собственных колебаний,

4. Определяем постоянные интегрирования, исходя из начальных условий:

u_C(-0) = u_C(+0) = 0, i(-0) = i(-0) = 0.

Для t = 0 выражения (15) примут вид

(16)

Решая (16) относительно и и подставляя результат в (17), имеем:

где  угол сдвига двух колебаний, образующих свободные составляющие u_Cсв и i_{св .}

Таким образом, при синусоидальном входном напряжении каждая из свободных составляющих токов и напряжений состоит из двух колебаний частоты ω_С, сдвинутых относительно друг друга на угол θ.

Рассмотрим переходной процесс (качественную картину) при различных соотношениях частот ω и ω_С).

1. Если , то та из составляющих (вынужденная – частоты ω или свободная  частоты ), частота которой меньше, служит как бы криволинейной осью для другой составляющей, колеблющейся относительно нее. Приведем график i(t) при ω < ω_C.

2. Если ω близка к ω_С, то в цепи возникают биения. При этом амплитуда гармонически меняющегося тока меняется также гармонически, но с очень малой частотой .

Опрераторный метод расчета переходных процессов в электрических цепях Операторный метод расчета переходных процессов

Расчет переходных процессов классическим методом осложняется необходимостью определения постоянных интегрирования. Указанный недостаток становится ощутимым по мере усложнения электрических цепей и возрастания порядка дифференциальных уравнений.

Для инженерной практики удобным является так называемый операторный метод расчета переходных процессов, при котором заданные начальные условия включаются в исходные уравнения, и для нахождения искомых функций не требуется определять постоянные интегрирования.

Идея метода заключается в том, что из области функций действительного переменного t решение переносится в область комплексного переменного s = с + jω, где операции принимают более простой вид, а именно: вместо исходных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений получаются алгебраические уравнения.

Затем, полученный решением алгебраических уравнений результат интерпретируется, то есть производится обратный переход в область функций действительного переменного t (с помощью формул или таблиц).

Алгебраизация уравнений может быть произведена посредством формально-операционного исчисления Карсона-Хевисайда или использованием более общего и более строгого метода  преобразований Лапласа.

Преобразования Лапласа  операторный метод позволяет свести операцию дифференцирования к операции умножения, а операцию интегрирования  к делению.