Переходные процессы в цепях с последовательно включенными r, l, c- элементами

Указанная цепь запасает энергию электрического (в элементе С; u_c  интеграл) и магнитного (в элементе L; i_L – интеграл) полей. Следовательно, в цепи не будет скачков ни тока, ни напряжения.

Методика расчета переходного процесса в r-l-c-цепи

Рассмотрим электрическую цепь, представленную на рис. 5.

1.Составляем уравнение электрического равновесия цепи по II закону Кирхгофа:

u_R + u_L + u_C = u. (7)

Выражаем все напряжения через u_C, учитывая, что :

; . (8)

Тогда (7) с учетом (8) примет вид:

(9)

Решение уравнения (9) можно записать в виде

u_C = u_Cв +u_Ссв.

2. Определяем величину вынужденной составляющей u_Cв, значение и закон изменения которой зависят от величины и формы приложенного к цепи напряжения (так, например, при u = const вынужденная составляющая тока

i_в = 0, а вынужденная составляющая напряжения u_Cв = U; при ток i_в и напряжение u_Cв будут изменяться по синусоидальному закону).

3. Определяем свободную составляющую из уравнения

.

Случаю, когда в цепи 2 накопителя энергии соответствует дифференциальное уравнение второго порядка. Его решение будет иметь вид

. (10)

Корни р₁ и р₂ находим из характеристического уравнения

(11)

Проанализируем свободную составляющую и режим работы R, L, С цепи в зависимости от соотношения параметров цепи (от вида подкоренного выражения).

Случай 1: или ,

где  характеристическое сопротивление цепи.

Корни р₁ и р₂ вещественны, отрицательны и различны. Обозначим

,

тогда

,

причем |p₁| < |p₂| . Такой режим называется апериодическим (ток и напряжение приближаются к своему установившемуся режиму, не меняя направления).

Случай 2: .

Корни р₁ и р₂ вещественны, отрицательны и равны друг другу (кратные корни) .

Тогда решение дифференциального уравнения относительно u_Ссв будет иметь вид:

Такой режим называется пограничным, предельным или критическим. Он очень неустойчив, поэтому в практических электронных устройствах не используется.

Случай 3: .

Корни р₁ и р₂ комплексно-сопряженные с отрицательной вещественной частью:

где  коэффициент затухания;  угловая частота собственных колебаний.

Такой режим называется периодическим или колебательным.

Собственные колебания с частотой _C характеризуют число «обменов» энергией в единицу времени между конденсатором и индуктивностью. Собственная частота колебаний не зависит от частоты приложенного к цепи напряжения. Процесс будет затухающим, так как часть энергии будет выделяться в виде тепла в сопротивлении R.

4. Определяем постоянные интегрирования. Для этого запишем выражения для полных величин i и u_C (которые не могут изменяться скачком), чтобы потом использовать законы коммутации:

(12)

Для момента t = +0 имеем:

(13)

Решая (13) находим постоянные интегрирования A₁ и A₂ .

ВКЛЮЧЕНИЕ R, L, С-ЦЕПИ НА ПОСТОЯННОЕ НАПРЯЖЕНИЕ

Для цепи рис. 5 считаем, что u =U₀ = const.

1. Составляем уравнение электрического равновесия цепи

.

2. Определяем вынужденные составляющие u_Cв и i_в. Так как для постоянного тока емкость представляет разрыв цепи, то

3. Определяем свободную составляющую. Для этого:

а) запишем характеристическое уравнение и найдем корни:

б) используя нулевые независимые начальные условия найдем постоянные интегрирования A₁ и А₂

Тогда

4. Запишем искомые значения тока i и напряжения u_С:

(8)

5. Исследуем систему (8) при различных значениях корней p₁ и p₂.

Случай 1

Режим апериодический. Тогда корни p₁ и p₂ – отрицательные, вещественные, различные

постоянные времени будут равны

Графики для тока i(t) и напряжения u_C(t) показаны на рис. 6 а,б.

Случай 2

Режим критический. Кривые для i(t) и u_C(t) подобны приведенным выше, характер процесса апериодический.

Случай 3

Режим колебательный. Корни p₁ и p₂ будут комплексно-сопряжен-ными и иметь вид

Тогда ,

где ω₀  резонансная частота (если включить рассматриваемую цепь на синусоидальное напряжение частоты ω₀ , то в ней будет резонанс напряжений). Подставим комплексно-сопряженные корни в выражение для и u_C в (8)

(9)

Переведем стоящие в квадратных скобках комплексы в показательную форму

(10)

где

Подставим (7.2.10) в (7.2.9), получим

(11)

где использованы соотношения:

; .

Подобным образом можно преобразовать и выражение для тока

(12)

Если учесть, что и то

и для тока можно записать

(13)

Построим графики u_C(t) и_. i(t) (рис.7 а,б).

Для построения определим период собственных колебаний Т и постоянную времени τ

; .

Методика построения

1. По обе стороны оси строятся огибающие (при построении u_C осью является u_Cпр =U₀ );

2. В том же масштабе, что и τ откладываются доли периода (при этом надо учитывать начальный угол γ);

3. Вписывается синусоида, которая в точках максимума касается огибающих.

Если обозначить амплитуды напряжения и тока через U_m и I_m , то их отношение даст известное ранее волновое сопротивление

Рассмотрим идеальный случай, когда R ≈ 0. В этом случае . Энергия будет переходить из одного поля (магнитного) в другое (электрическое) и обратно без затухания. Отсюда: ω₀ называется также частотой незатухающих колебаний. Угол при равен 90^о.

В реальном случае процесс будет затухающим. Для оценки быстроты затухания сравним две соседние амплитуды тока (или напряжения) с одинаковым знаком

но так как то отношение амплитуд даст, так называемый, декремент колебаний

(7.2.14)

Обычно пользуются логарифмическим декрементом колебаний δ, который представляет собой натуральный логарифм декремента колебаний

(7.2.15)

В колебательных контурах радиоаппаратуры стремятся сделать δ как можно меньше, так как тогда затухание процессов в контуре почти не сказывается.