Переходные процессы в последовательной
R-C ЦЕПИ ПРИ СКАЧКООБРАЗНОМ ИЗМЕНЕНИИ ЭДС
Рассмотрим переходные процессы в последовательной R-С цепи при скачкообразном изменении ЭДС идеализированного источника постоянного напряжения:
е(t)
=
при
.
Схема цепи при переключении ключа из положения 1 в положение 2 представлена на рис.1.
Требуется определить uС(t) и i(t).
Решение задачи будем проводить в следующем порядке:
1. Определяем значения токов и напряжений в цепи до коммутации и находим независимые начальные условия, предполагая, что до коммутации цепь находилась в установившемся режиме. Учитывая, что E1 = const, (сопротивление ХС = ) находим:
i(-0)
=
=
0; uС(-0)
= E1.
Используя второй закон коммутации, находим независимое начальное условие:
uС(+0)= uС(-0)=E1.
2. Составляем систему уравнений электрического равновесия цепи при t ≥ 0 (по II закону Кирхгофа):
uR + uC = E2; iC = iR = i;
uR
= iR;
.
Исключая из приведенной системы уравнений все неизвестные величины, кроме uC, получаем
.
(3)
Решение уравнения (3) представляем в виде:
uC = uCв+ uCсв.
3. Определяем вынужденную составляющую uСв как частное решение дифференциального уравнения цепи – установившееся значение:
uCв= E2.
4. Определяем свободную составляющую uCсв.
Составляем характеристическое уравнение цепи:
RCp + 1= 0.
Единственный корень характеристического уравнения равен
где С = RC постоянная времени последовательной RC-цепи. Поэтому свободная составляющая напряжения на емкости uCсв равна:
.
5. Находим общее решение для напряжения на емкости после коммутации при произвольных начальных условиях:
.
(4)
6. Определяем постоянную интегрирования A, для чего воспользуемся независимым начальным условием (независимым начальным условием в данном случае является значение при t = -0 величины uC(0), которая не может изменяться скачком), подставив его в выражение (4), рассматриваемое при t = 0:
E1= E2+A, откуда A = E1 E2.
7. Подставив значение A в уравнение (4), запишем уравнение для мгновенного значения напряжения на емкости в переходном режиме:
uC = E2 ( E2 E1)e-t/RC. (5)
Уравнение тока в переходном режиме может быть записано в виде
(6)
Графики
зависимостей е(t),
uC(t)
и i(t)
показаны на рисунках 2 (а), (б), (в),
соответственно.
Как видно из выражений (5) и (6), скорость затухания свободных составляющих тока в цепи и напряжения на емкости не зависит от значения ЭДС идеализированного источника напряжения до и после коммутации и определяется только постоянной времени τС, численно равной промежутку времени, в течение которого свободные составляющие тока и напряжения уменьшаются в е = 2,718 раз .
Переходный процесс считается практически законченным через время равное 5С , в этом случае ошибка составляет 0,7%.