- •Ю.В.Захаров Математическое моделирование
- •Введение
- •1. Основные сведения из теории вероятностей и
- •1.1. Случайные величины. Выборка
- •1.2. Законы распределения случайных величин
- •Экспоненциальный закон распределения
- •Hормальный закон распределения (hзр)
- •1.3. Числовые характеристики случайных величин Характеристики положения
- •Характеристики рассеяния
- •1.4. Статистическая проверка гипотез
- •Гипотеза о равенстве дисперсий
- •Гипотеза об однородности дисперсий
- •Гипотеза о равенстве средних
- •Гипотеза о законе распределения случайной величины
- •1.5. Ошибки измерения физических величин и методы
- •Случайные, систематические и грубые ошибки
- •Методы исключения резко выделяющихся результатов эксперимента
- •Табличные значения критерия Романовского
- •2. Выбор наиболее существенных факторов объекта
- •2.1. Метод экспертных оценок
- •Матрица рангов параметров
- •Сумма рангов и коэффициент весомости
- •Сводные результаты экспертизы
- •2.2. Метод начальных моментов
- •2.3. Дисперсионный анализ
- •Общая постановка и решение задачи да
- •Однофакторный да
- •3. Математическое моделирование в технологии
- •3.1. Методы математического моделирования
- •3.2. Пассивный эксперимент для мм
- •3.2.1. Регрессионный анализ.
- •Примеры.
- •3.2.2. Метод экспоненциального сглаживания
- •3.2.3. Корреляционный анализ.
- •3.2.4 Оценка адекватности мм.
- •3.3. Активный эксперимент для мм
- •3.3.1. Вид и алгоритм построения математической модели
- •3.3.2. Полный факторный эксперимент типа 2k.
- •Проверка воспроизводимости эксперимента
- •Вычисление коэффициентов модели.
- •Примеры вычислений коэффициентов пфэ 22
- •Проверка значимости коэффициентов модели.
- •Проверка адекватности модели.
- •Анализ и синтез тп по полученной модели.
- •Получение математической модели с учетом взаимодействий факторов.
- •3.3.3. Дробный факторный эксперимент.
- •В записи плана дфэ 2k-p p означает количество взаимодействий факторов приравненным независимым переменным. Дфэ 23-1 – половина пфэ 23, т.Е. Полуреплика от пфэ 23.
- •3.3.4. Математические модели второго порядка.
- •Контрольные вопросы
- •Заключение
- •Содержание введение
- •Заключение
- •Литература
Гипотеза об однородности дисперсий
Для К выборок одинакового объема n по результатам контроля СВ Х вычислены дисперсии , ,..., ,..., . Hеобходимо проверить, отличается ли хотя бы одна выборка по дисперсии от остальных.
Гипотеза H0 : дисперсии однородны (нет отличия).
Гипотеза H1 : дисперсии неоднородны (отличаются).
Для проверки гипотезы используется G - критерий:
а) находится:
где - максимальная дисперсия из вычисленных;
б) определяется табличное значение Gтабл.:
;
в) сравниваются Gрасч. и Gтабл.
Если Gрасч.<Gтабл., принимается гипотеза H0 с вероятностью .
Если Gрасч. Gтабл., принимается гипотеза H1 с вероятностью .
Гипотеза о равенстве средних
Берутся две выборки изделий объемом n1 и n2. По результатам контроля параметра Х вычисляются значения .
Hулевая гипотеза H0 : m1 = m2.
Альтернативная - H1 : m1 m2.
Для проверки гипотезы используется t - критерий Стьюдента.
Для этого:
а) проверяется гипотеза о равенстве дисперсий на основе F - критерия Фишера;
б) вычисляется расчетное значение tрасч:
при ; (2)
(3) при ;
в) определяется ,
где при (4)
при ; (5)
г) сравниваются tрасч. и tтабл.
Если tрасч.<tтабл. , то принимается гипотеза H0 с вероятностью Р = 1 - .
Если tрасч. tтабл. , то принимается гипотеза H1 с вероятностью Р = 1 - .
Гипотеза о законе распределения случайной величины
Для проверки соответствия экспериментальных данных HЗР часто используется критерий Колмогорова.
Для этого:
а) строится эмпирическая функция распределения F*(х) по выборке объемом n в интервале Хmin.ХХmax;
б) строится теоретическая функция распределения F(x) в интервале Хmin.XXmax., путем нахождения величин для всех xi, где xi - среднее значение i-го интервала, а Ф - табулированная функция Лапласа;
в) функции F *(х) и F(x) наносят на один график;
г) определяется максимальная величина модуля разности между F * (х) и F(х): H = max|F *(х) - F(х)|;
д) определяется вспомогательная величина ;
е) определяется вероятность :
|
0,33 |
0,57 |
0,97 |
1,0 |
1,07 |
1,22 |
1,36 |
1,63 |
Р |
1 |
0,9 |
0,3 |
0,27 |
0,2 |
0,1 |
0,05 |
0,01 |
;
ж) если , то принимается гипотеза: экспериментальное распределение статистических данных СВ подчиняется нормальному закону.
Оценку соответствия результатов эксперимента НЗР можно осуществить используя критерий Пирсона.
Сущность критерия:
а) строится статистический ряд распределения СВ X в интервале (см. п.1.2 );
б) вычисляется ,
где – число интервалов длиной ;
- число значений СВ, попавших в -ый интервал;
- объем выборки;
- вероятность попадания СВ в -ый интервал ( - табулированная функция Лапласа);
в) определяется табличное значение ;
г) сравниваются и .
Если < , то с вероятностью принимается гипотеза: экспериментальное распределение СВ подчиняется НЗР.
1.5. Ошибки измерения физических величин и методы
их исключения
При производстве электронных средств никогда не удается выполнить изделие, идеально соответствующее замыслу разработчика, воплощенному в рабочей документации на изделие. Как в отдельных составляющих изделие частях, так и в нем самом всегда наблюдаются те или иные отклонения от установленных норм, называемые погрешностями (ошибками). В зависимости от причин, их вызывающих, ошибки делят на случайные, систематические и грубые (промахи).